概率统计基础知识中级

质量专业理论与实务讲师:张宝山第一章概率统计基础知识（中级）农民歌手—朱之文1.概率基础知识2.随机变量及其分布3.统计基础知识4.参数估计5.假设检验培训主要内容第一节概率基础知识一、事件与概率（一）随机现象随机现象在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象。特点——随机现象的结果至少有两个——至于哪一个出现，人们事先并不知道【例1.1-1】以下是随机现象的另外一些例子（1）一天内进入某超市的顾客数；（2）一顾客在超市中购买的商品数；（3）一顾客在超市排队等候付款的时间；（4）一颗麦穗上长着的麦粒数；样本点认识一个随机现象，首要的是能罗列出它的一切可能发生的基本结果。这里的基本结果是今后的抽样单元即样本点。样本空间：记为Ω随机现象可能样本点的全部称为这个随机现象的样本空间。“抛一枚硬币”的样本空间Ω正面，反面}“抛一颗骰子”的样本空间Ω={1，2，3，4，5，6}（二）随机事件事件（随机事件）：随机现象的某些样本点组成的集合。用大写英文字母A、B、C……表示。1.随机事件的特征——任一事件A是相应样本空间Ω中的一个子集。——事件A发生当且仅当（）A中某一样本点发生。——事件A的表示可用集合，也可用语言，但所用语言要大家明白无误。——任一样本空间Ω有一个最大子集即Ω；它对应的事件称为必然事件，仍用Ω表示。——任一样本空间Ω都有一个最小子集即空集，它对应的事件称为不可能事件，记为Φ【例1.1-2】若产品只区分合格与不合格，并记合格品为“0”，不合格品为“1”。则检查两件产品的样本空间Ω由下列四个样本点组成。其中样本点（0，1）表示第一件产品为合格品，第二件产品为不合格品，其他样本点可类似解释。Ω={（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）}2.随机事件的关系——包含：AB或BA在一个随机现象中有两个事件A与B，若事件A中任一个样本点必在B中，则称A被包含在B中，或B包含A。——互不相容在一个随机现象中有两个事件A与B，若事件A与B没有相同的样本点，则称A与B互不相容。可推广到三个或更多个事件间的互不相容——相等：A=B即AB且AB在一个随机现象中有两个事件A与B，若样本A与B含有相同的样本点，则称事件A与B相等。例：A={（x，y）：x+y=奇数}B={（x，y）：x与y的奇偶性不同}A=B=(1,2),(1,4),(1,6),(2.1),(2,3),(2,5)(3,2),(3,4),(3,6)…则：（三）事件的运算事件运算——对立事件：A→A在一个随机现象中，Ω是样本空间，A为事件，则由在Ω中而不在A中的样本点组成的事件称为A的对立事件，记。A则AA，，——事件A与B的并：AB由事件A与B中所有样本点（相同的只计入一次）组成的新事件。称为A与B的并，发生意味着“事件A与B至少一个发生”BA——事件A与B的交：AB或AB由事件A与B中公共的样本点组成的新事件称为事件A与B的交。发生意味着“事件A与B同时发生”BA事件的并和交可推广到更多个事件上去。——事件A对B的差：A-B由在事件A中而不在B中的样本点组成的新事件，称为A对B的差。（a）A-B（b）A-B（）BA事件运算性质：——交换律：，ABBAABBA——结合律：CBACBACBACBA——分配律：CABACBACABACBA——对偶律：BABABABA可用维恩图验证，可推广到三个或三个以上事件的运算。（四）事件的概率概率——事件发生可能性大小的度量在一个随机现象中，用来表示任一随机事件A发生可能性大小的实数称为该事件的概率，记为P（A）。概率是一个介于0和1之间的数，即0≤P(A)≤1;必然事件的概率等于1，即P（Ω）=1；不可能事件的概率等于0，即P（Φ）=0。二、概率的古典定义与统计定义（一）古典定义——所涉及的随机现象只有有限个样本点。如共有n个样本点；——每个样本点出现的可能性是相同的（等可能性）；——假如被考察事件A含有K个样本点，则事件A的概率定义为中样本点的总数中含样本点的个数AnK)A(P例1.1-3掷两颗骰子，其样本点可用数对（x,y）表示，其中x与y分别表示第一与第二颗骰子出现的点数。这一随机现象的样本空间为：Ω={（x，y），x，y=1，2…6}它共含36个样本点，并且每个样本点出现的可能性都相同。（1）定义事件A=“点数之和为2”={（1，1）}，它只含一个样本点，故P（A）=1/36（2）定义事件B=“点数之和为5”={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)},它含有4个样本点，故P(B)=4/36=1/9（3）定义事件C=“点数之和超过9”={(4,6),(5,5),(6,4),(5,6),(6,5),(6,6)},它含有6个样本点，故P(C)=6/36=1/6。用古典方法获得概率常需要用排列与组合的公式。现概要介绍如下：排列与组合是两类计数公式，它们的获得都基于如下两条计数原理。（1）乘法原理：如果做某件事需经k步才能完成，其中做第一步有种方法，做第二步有种方法做第k步有种方法，那么完成这件事共有种方法。2m1mkm12kmmm（2）加法原理：如果做某件事可由k类不同方法之一去完成，其中在第一类方法中又有种完成方法，在第二类方法中又有种方法在第k类方法中又有种完成方法，那么完成这件事共有种方法。1m2mkm12kmmm（1）排列：从n个不同元素中任取个元素排成一列称为一个排列。按乘法原理有（2）重复排列：从n个不同元素中每次取出一个做记录后放回，再取下一个，如此连续取r次所得的排列称为重复排列。按乘法原理，此种重复排列有个。()rrn(1)(1),!rnnPnnnrPnrn（3）组合：从n个不同元素中任取个元素并成一组（不考虑其中的顺序）称为一个组合，此种组合为(1)(1)!!rnnPnnnrrrr()rrn（二）概率的统计定义——与考察事件A有关的随机现象是可以大量重复试验的；——若在n次重复试验中，事件A发生Kn次，则事件A发生的频率为：重复试验数发生次数事件AnK)A(fnn——fn(A)将会随着重复试验次数不断增加而趋于稳定，这个频率的稳定值就是事件A的概率。一般用重复次数n较大时的频率去近似概率。三、概率的性质及其运算法则（一）概率的性质：（可由概率的定义看出）——性质1：对任意事件A，有0≤P(A)≤1；——性质2：)(1)(APAP——性质3：若AB则P（A-B）=P（A）-P（B）——性质4：P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）若A与B互不相容P（A∪B）=P（A）+P（B）——性质5：对于多个互不相容事件A1，A2，……，有P(A1∪A2∪A3∪……)=P(A1)+P(A2)+p(A3)+……；【例1.1-7】抛三枚硬币，至少一个正面出现（记为事件）的概率是多少？【例1.1-8】一批产品共100件，其中5件不合格品，现从中随机抽出10件，其中最多有两件不合格的概率是多少？【例1.1-8】某足球队在未来一周中有两场比赛，在第一场比赛中获胜概率为1/2,在第二场比赛中获胜概率为1/3,如果在两场比赛中都获胜的概率是1/6，那么该队在这两场比赛中至少有一场获胜的概率是多少？（二）条件概率与概率的乘法法则条件概率两个事件A与B，在事件B已发生的条件下，事件A再发生的概率称为条件概率，记P（A/B）。计算公式：))B(P()B(P)AB(P)BA(P0性质6：对任意二个事件A与B，有P(AB)=P(AB)P(B)=P(BA)P(A)P(B)0P(A)0（三）独立性和独立事件的概率相互独立：设有两个事件A与B，假如其中一个事件的发生不影响另一个事件的发生与否，则称A事件与B事件相互独立。性质7：假如二个事件A与B相互独立，则A与B同时发生的概率为P(AB)=P(A)P(B)性质8：假如二个事件A与B相互独立，则在事件B发生条件下，事件A的条件概率P(AB)等于事件A的（无条件）概率p(A)∵)()()()()()()(APBPBPAPBPABPBAP事件的相互独立可推广到三个或更多的事件上去。【例1.1-10】设某样本空间含有25个等可能的样本点，又设事件A含有15个样本点，事件B含有7个样本点，交事件AB含有5个样本点。由古典定义可知1575(),(),(),25257()5/255(|)()7/257PAPBPABPABPABPB第二节随机变量及其分布一、随机变量随机变量用来表示随机现象结果的变量称为随机变量。常用大写字母X、Y、Z……表示。随机变量类型——离散随机变量一个随机变量仅取数轴上有限个点或可列个点，则此随机变量为离散（型）随机变量。——连续随机变量如一个随机变量的所有可能取值充满数轴上一个范围（a，b）或整个数轴，则此随机变量为连续（型）随机变量。二、随机变量的分布随机变量的分布随机变量取值的统计规律性。随机变量X的分布内容：——X可能取哪些值或在哪个区间上取值——X取这些值的概率各是多少？或X在任一小区间上取值的概率是多少？（一）离散随机变量的分布离散随机变量的分布可用分布列表示（离散分布）分布列或用数学式表达：P(X=Xi)=pii=1，2……n（p1+…+pn=1）pi也称为分布的概率函数XX1X2……XnPp1p2……pn（二）连续随机变量的分布用概率密度函数表示（简称分布）条件：①p（x）≥0②1)(dxxp概率密度函数p(x)的各种形式——位置不同——散布不同——形状不同其中p(x)在x0点的值p(x)不是概率，是高度。注：纵轴原为“单位长度上的频率”，由频率的稳定性，可用概率代替频率，纵轴就成为“单位长度上的概率”即概率密度的概念，故最后形成的曲线称为概率密度曲线。p（x）x重要结论：1．X在区间（a，b）上取值的概率p(a＜X＜b)为概率密度曲线以下区间（a，b）上的面积，即P(a＜Χ＜b)=badxxp)(2.X在一点取值的概率为零，即P(X=a)=0故：P(a＜x＜b)=P(a≤x≤b)=P(a≤X＜b)=P(a＜X≤b)三、随机变量分布的均值、方差与标准差均值：用来表示分布的中心位置，用E(X)表示X是离散随机变量X是连续随机变量)(XEiipxdxxxp)(方差：用来表示分布的散布大小，用Var(x)表示)(XVarX是离散随机变量X是连续随机变量iiPxEx2)]([dxxPxEx)()]([2标准差：用σ表示)()(XVarX表示分布散布大小。均值与方差的运算性质——对任意二个随机变量X1和X2，有E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)——设X为随机变量，a与b为任意常数，有E(ax+b)=aE(x)+b)()(2XVarabaXVar——设X1与X2相互独立)()()(2121XVarXVarXXVar（和的方差等于方差之和）这个性质可推广到三个或更多个相互独立随机变量场合——方差的这个性质不能推广到标准差场合，对任意两个相互独立的随机变量X1与X2，σ(X1+X2)≠σ(X1)+σ(X2)而应为：)X(Var)X(Var)XX(2121方差具有可加性，标准差不具有可加性。四、常用分布（一）常用的离散分布1.二项分布xnxnx)p(p)xX(P1x=0，1，……，n其中表示从n个不同元素取出x个的组合数。)!xn(!x!nnx记为b（n，p）二项分布均值、方差和标准差——均值E(x)=np——方差：Var(x)=np(1-p)——标准差：)p(np1特别，当n=1的二项分布称为二点分布2.泊松分布：（常用于计点过程）e!x)xX(PXx=0，1，2，……记为P(λ)其中e=2.71828泊松分布均值、方差和标准差——均值：E