概率论 古典概型与几何概型

1.3古典概型与几何概型1.3.1排列与组合公式1.排列从n个不同元素中任取r个元素排成一列（考虑元素先后出现次序），称此为一个排列，此种排列的总数为若r=n，则称为全排列,全排列的总数为An=n!．)!(!)1()1(rnnrnnnArn第1章概率论基础2.重复排列从n个不同元素中每次取出一个，放回后再取出下一个，如此连续取r次所得的排列称为重复排列，此种重复排列数共有nr个，这里r允许大于n．1.3.1排列与组合公式3.组合从n个不同元素中任取r个元素并成一组（不考虑元素先后出现次序），称为一个组合，此种组合的总数为易知，．排列组合公式在古典概型的概率计算中经常使用．)!(!!!)1()1(rnrnrrnnnCrn!rCArnrnrnnrnCC1.3.1排列与组合公式1.3.2古典概型具有以下两个特点的试验称为古典概型：(1)有限性：试验的样本空间只含有限个样本点；(2)等可能性：试验中每个基本事件发生的可能性相同．对于古典概型，若样本空间中共有n个样本点，事件A包含k个样本点，则事件A的概率为容易验证，由上式确定的概率满足公理化定义．nkAAP中所有样本点的个数中所包含样本点的个数事件)(1.3古典概型与几何概型【例1.5】（摸球问题）箱中盛有个白球和个黑球，从其中任意地接连取出k+1个球(k+1+)，如果每个球被取出后不再放回，试求最后取出的球是白球的概率．1.3.2古典概型解：由于注意了球的次序，故应考虑排列．接连不放回地取k+1个球的所有结果共有个，即样本空间中共有个样本点．最后取出的白球可以是个白球中的任一个，共有种取法，其余k个可以是其余+–1个的任意k个，共有种取法，因而事件A=“取出的k+1球中最后一个是白球”中共含有个样本点，于是．1kA1kAkA1kA111)(kkAAAP于是与k无关！1.3.2古典概型【例1.6】（分房问题）有n个人，每个人都以同样的概率被分配在N（nN）间房中的每一间中，试求下列各事件的概率：(1)A=“某指定n间房中各有一人”；(2)B=“恰有n间房，其中各有一人”；(3)C=“某指定房中恰有m(mn)人”．1.3.2古典概型解：因为每个人都可以分配到N间房中任一间，所以n个人分配房间的方式共有Nn种，即样本空间中所有样本点的个数为Nn．(1)A=“某指定n间房中各有一人”，“某指定n间房中各有一人”的分配方法共有n!种，因而事件A中含有n!个样本点，于是nNnAP!)(1.3.2古典概型(2)B=“恰有n间房，其中各有一人”这n间房可自N间中任意选出，共有种选法，因而事件B中含有个样本点，于是nNC!nCnNnnNNnCBP!)()!(!nNNNn1.3.2古典概型(3)C=“某指定房中恰有m(mn)人”事件C中的m个人可自n个人中任意选出,共有种选法，其余n–m个人可以任意分配在其余N–1间房里，共有个分配法，因而事件C中有个样本点，于是mnCmnN)1(mnmnNC)1(nmnmnNNCCP)1()(mnmmnNNNC1)1(1.3.2古典概型兴趣拓展生日问题(1)n个人生日各不相同的概率(n≤365)..)2(日相同的概率个人中至少有两个人生n).365)1365(3643651:(nnp答案3653653643651365365()(:).nnnAnp答案解答下面问题并利用计算机进行计算:计算机计算结果:☺课堂思考某接待站在某一周曾接待过12次来访,已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的,问是否可以推断接待时间是有规定的.假设接待站的接待时间没有规定,且各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的.解.712种一周内接待12次来访共有12次接待都是在周二和周四进行的共有.212种故12次接待都是在周二和周四进行的概率为121272p.3000000.0实际应用中，认为小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的,从而可知接待时间是有规定的.古典概型的本质特征：样本空间中样本点个数有限，每一个样本点都是等可能发生的。早在概率论发展初期，人们就认识到，只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不够的.1.3.3几何概型问题：假设车站每隔10分钟发一班车，随机到达车站，问等车时间不超过3分钟的概率？借助于古典概率的定义，设想仍用“事件的概率”等于“部分”比“全体”的方法，来规定事件的概率.不过现在的“部分”和“全体”所包含的样本点是无限的.用什么数学方法才能构造出这样的数学模型？显然用几何的方法是容易达到的.1.3.3几何概型具有以下两个特点的试验称为几何概型：(1)随机试验的样本空间为某可度量的区域；(2)中任一区域出现的可能性的大小与该区域的几何度量成正比而与该区域的位置和形状无关．1.3.3几何概型对于几何概型，若事件A是中的某一区域，且A可以度量，则事件A的概率为其中，如果是一维、二维或三维的区域，则的几何度量分别是长度、面积和体积．的几何度量的几何度量AAP)(1.3.3几何概型【例1.8】（约会问题）甲乙两人约定在下午6点到7点之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人20分钟，过时即可离去，求两人能会面的概率．1.3.3几何概型解：以x和y分别表示甲乙两人到达约会地点的时间（以分钟为单位），在平面上建立xOy直角坐标系，因为甲乙都是在0到60分钟内等可能到达，所以这是一个几何概型问题．样本空间={(x，y)：0x，y60}事件A=“甲乙将会面”={(x，y)：|x–y|20}因此的面积的面积AAP)(956040602221.3.3几何概型xoy20yx20xy20606020附加例甲、乙两人约定在下午1时到2时之间到某站乘公共汽车,又这段时间内有四班公共汽车，它们的开车时刻分别为1:15、1:30、1:45、2:00.如果甲、乙约定(1)见车就乘;(2)最多等一辆车.求甲、乙同乘一车的概率.假定甲、乙两人到达车站的时刻是互相不牵连的，且每人在1时到2时的任何时刻到达车站是等可能的.xoy12正方形面积阴影部分面积p22)12()41(4.4145:130:11:151215:130:145:1解设x,y分别为甲、乙两人到达的时刻,则{(.)|12,12}xyxy1.2.4概率的几何定义A={同乘一车}:1,1.25;xy1.5,1.75;xy1.25,1.5;xy1.75,2.xy或或或(2)最多等一辆车甲、乙同乘一车的概率为.8521)161(341pxoy1245:130:115:11215:130:145:1【例1.9】（蒲丰投针问题）平面上画有间隔为d(d0)的等距平行线，向平面任意投掷一枚长为l(ld)的针，求针与任一平行线相交的概率．解：以x表示针的中点与最近一条平行线的距离，又以表示针与直线间的交角．易知样本空间满足由这两式可以确定xOy面上的一个矩形，其面积为0,20dx2d1.3.3几何概型事件A=“针与平行线相交”当且仅当因此sin2lx的面积的面积AAP)(dlddl22sin201.3.3几何概型蒲丰投针试验的应用及意义：当投针试验次数n很大时，测出针与平行线相交的次数m，根据频率的稳定性，频率值可作为P(A)的近似值带入上式，那么利用上式可以计算圆周率的近似值．π2dlnmnmdmnl21.3.3几何概型历史上一些学者的计算结果(直线距离a=1)3.179585925200.54191925Reina3.1415929180834080.831901Lazzerini3.159548910300.751884Fox3.1373826001.01860DeMorgan3.1554121832040.61855Smith3.1596253250000.81850Wolf相交次数投掷次数针长时间试验者的近似值π1.2.4概率的几何定义基本原理及思想这是一个颇为奇妙的方法：只要设计一个随机实验，使一个事件A出现的概率与某个未知数有关，然后通过某种“试验”的方法，得到这事件A出现的频率，以频率估计概率，即可求得未知数的近似解。一般来说，试验次数越多，则近似解就越精确。称这种方法为蒙特·卡罗方法。蒙特·卡罗方法在金融工程学，宏观经济学，生物医学，计算物理学(如量子热力学计算、空气动力学计算)等领域应用广泛。蒙特卡罗(Monte-Carlo)法蒙特卡罗（MonteCarlo）方法，又称随机抽样或统计试验方法，属于计算数学的一个分支，它是在本世纪四十年代中期为了适应当时原子能事业的发展而发展起来的。1在如图所示的边长为2的正方形中随机投点，求该点落在三角形区域的概率，由此估计无理数的值.330°22课堂练习由几何概率的计算公式得所求事件的概率为83)(AP()nPAN83NnNn83在正方形区域内随机投点N次，数出落在三角形区域内的次数n.用事件发生的频率估计其概率得：如此，可以估算所求无理数的数值。3例、怎样求一个不规则图形的面积？做正方形S，随机向图中投点，计算落在A中的点的频率，A的面积的近似值就是该频率与S的面积的乘积。方程有实根的概率是多少？附加例、方程210axbx中的系数,ab分别在[0,1]区间随机取值，那么这个解：我们把,ab放到一起考虑，那么任取[0,1]中的两个值作为,ab矩形区域S中任取一个点，把横坐标作为，可以看作是在平面直角坐标系中a，纵坐b。坐标作为(,)ab方程有实根等价于40.ba这等价于要求点必须取在区域A中。所以积积所求概率A的面=S的面118==.18HomeworkP28:5,7,10,11