置信度(置信区间计算方法)

区间估计引例已知X~N(,1),不同样本算得的的估计值不同，因此除了给出的点估计外,还希望根据所给的样本确定一个随机区间,使其包含参数真值的概率达到指定的要求.的无偏、有效点估计为X随机变量常数§7.3如引例中，要找一个区间,使其包含的真值的概率为0.95.(设n=5)51,~NX1,0~51NX取05.0查表得96.12/z这说明即称随机区间为未知参数的置信度为0.95的置信区间.95.05196.15196.1XXP05.096.151XP5196.1,5196.1XX反复抽取容量为5的样本,都可得一个区间,此区间不一定包含未知参数的真值,而包含真值的区间占95%.置信区间的意义若测得一组样本值,它可能包含也可能不包含的真值,反复则得一区间(1.86–0.877,1.86+0.877)抽样得到的区间中有95%包含的真值.86.1x算得)51,51(22zXzX当置信区间为时区间的长度为5122z——达到最短?2/z为何要取97.3)13.2(84.13321zz92.3)96.1(96.1221zz-2-1120.10.20.30.432z31z-2-1120.10.20.30.42z21z取=0.05设为待估参数,是一给定的数,(01).若能找到统计量21,TT,使1)(21TTP则称],[21TT为的置信水平为1-的置信区间或区间估计.置信下限置信上限置信区间的定义定义1T2T反映了估计的可靠度,越小,越可靠.置信区间的长度反映了估计精度12TT越小,1-越大,估计的可靠度越高,但确定后,置信区间的选取方法不唯一,常选最小的一个.几点说明越小,估计精度越高.12TT这时,往往增大,因而估计精度降低.12TT求参数置信区间保证可靠性先提高精度再处理“可靠性与精度关系”的原则寻找一个样本的函数),,,,(2nxXXXg它含有待估参数,不含其它未知参数,它的分布已知,且分布不依赖于待估参数(常由的点估计出发考虑).)5/1,(NX～5/1),,,,(21XXXXgn例如求置信区间的步骤—称为枢轴量)1,0(~N取枢轴量给定置信度1,定出常数a,b,使得1)),,,((21bXXXgaPn(引例中)96.1,96.1ba由bXXXgan),,,(21解出得置信区间),(21TT引例中)5196.1,5196.1(),(21XXTT21,TT(一)一个正态总体X~N(2)的情形置信区间常用公式(1)方差2已知,的置信区间)1(),(22nzXnzX推导)1,0(~),,,,(21NnXXXXgn),(~2nNX由选取枢轴量公式(一)(1)由确定2znXP2z),(0022nzXnzX解2znX得的置信度为的置信区间为1(2)方差2未知,的置信区间)1(~nTnSXT由)1(2ntnSXP确定)1(2nt故的置信区间为nSntXnSntX)1(,)1(22推导选取枢轴量)2()1(,)1(22nSntXnSntX公式(2)(3)当已知时,方差2的置信区间)3()()(,)()(211221222nXnXniinii)(~212nXQnii取枢轴量，得2的置信度为置信区间为11)()()(22122122nXnPnii由概率公式(3)(4)当未知时,方差2的置信区间-22468100.0250.050.0750.10.1250.152)1(~)1(222nSnK选取得2的置信区间为)4()1()1(,)1()1(2122222nSnnSn222•212•1))1((2222122SnP则由公式(4)例1某工厂生产一批滚珠,其直径X服从解(1))6/06.0,(~NX)01.0,(N即)1,0(~1.0NX96.1025.02zz正态分布N(2),现从某天的产品中随机(1)若2=0.06,求的置信区间(2)若2未知,求的置信区间(3)求方差2的置信区间.抽取6件,测得直径为15.1,14.8,15.2,14.9,14.6,15.1置信度均为0.95例1由给定数据算得95.146161iixx由公式(1)得的置信区间为)15.15,75.14()1.096.195.14,1.096.195.14((2)取)5(~6tSXT5706.2)5(025.0t查表由给定数据算得95.14x226.0.051.0)6(5126122sxxsii)187.15,71.14())5(6),5(6(025.0025.0tsxtsx由公式(4)得2的置信区间为(3)选取枢轴量)5(~5222SK831.0)5(,833.12)5(209752025.0)3069.0,0199.0())5(5,)5(5(2975.022025.02ss查表得.051.02s由公式(2)得的置信区间为),,,(21nXXX为取自总体N(112)的样本,),,,(21mYYY为取自总体N(222)的样本,置信度为12221,;,SYSX分别表示两样本的均值与方差(二)两个正态总体的情形(二)),(~),,(~222211mNYnNXYX,相互独立,21的置信区间为)1,0(~)()(222121NmnYX(1)2221,已知,的置信区间21mnzYXmnzYX2221222122)(,)()5(公式(5))1,0(~11)()(),(~212221NmnYXmnNYX)1(~)1(2221nSn)2(~2)1()1(11)()(222121mntmnSmSnmnYX2221,22221(2)未知(但)的置信区间21)2(~)1()1(2222221mnSmSn)1(~)1(2222mSm21的置信区间为12)1()1(11)()(2222121tmnSmSnmnYXP2)1()1(11)(22212mnSmSnmntYX)6(公式(6)YX,相互独立,mSnSzYX22212)()1,0(~)()(222121NmSnSYX2221,(3)未知,n,m50,的置信区间2121的置信区间为因此mSnSmn22212221)7(公式(7)令Zi=Xi-Yi,i=1,2,…,n,可以将它们看成来自正态总体Z~N(12,12+22)的样本仿单个正态总体公式(2)的置信区间为21niiiZYXYXnS122)()(112221,(4)未知,但n=m,的置信区间21nSntYXZ)1()(2)8(公式(8),YXZ取枢轴量(5)方差比2221的置信区间(1,2未知))1,1(~//2221222122222121mnFSSSSF因此,方差比2221的置信区间为)1,1(1,)1,1(121222122221mnFSSmnFSS)9(公式(9)取枢轴量),(~)()()(1)(122211221212212221121mnFYXnmYmXnFmjjniimjjnii(6)方差比2221的置信区间(1,2已知)因此,方差比2221的置信区间为),()()(,),()()(221122121122121mnFYXnmmnFYXnmmjjniimjjnii)10(公式(10)例2某厂利用两条自动化流水线罐装番茄酱.现分别从两条流水线上抽取了容量分别为13与17的两个相互独立的样本1321,,,XXX1721,,,YYY与已知2222217.4,4.2,5.9,6.10gsgsgygx假设两条流水线上罐装的番茄酱的重量都服从正态分布,其均值分别为1与2例2(1)若它们的方差相同,,22221求均值(2)若不知它们的方差是否相同,求它们的方差比的置信度为0.95的置信区间21的置信度为0.95的置信区间;差)2(~2)1()1(11)()(222121mntmnSmSnmnYX解查表得0484.2)28(025.0t21由公式(6)的置信区间为)5545.2,3545.0(2)1()1(11)(22212mnSmSnmntYX(1)取枢轴量(2)枢轴量为)16,12(~//2221222122222121FSSSSF查表得16.31)12,16(1)16,12(89.2)16,12(025.0975.0025.0FFF2221由公式(9)得方差比的置信区间为)6136.1,1767.0()1,1(1,)1,1(1975.02221025.02221mnFSSmnFSS(三)单侧置信区间定义对于给定的(01),是待估参数),,,(21nXXX是总体X的样本,若能确定一个统计量),,,(21nXXX使得)1)((1)(PP或则称(,)((,))或为置信度为1-的单侧置信区间.)),,,(21nXXX或（单侧置信下限单侧置信上限(三)例3已知灯泡寿命X服从正态分布,从中随机抽取5只作寿命试验,测得寿命为1050,1100,1120,1250,1280(小时)求灯泡寿命均值的单侧置信下限与寿命方差的单侧置信上限.解22,,),(~NX未知.9950)5(415122xxsii例3取.05.0,1160,5xn(1)选取枢轴量)4(~tnSX1318.205.0tt9.1064505.0stx(2)选取枢轴量)4(~)1(222Sn711.0)4(295.055977)4(4295.022s若总体X的分布未知,但样本容量很大,由中心极限定理,可近似地视),(~2nNX若2已知,则的置信度为1-的置信区间可取为nzX2若2未知,则的置信度为1-的置信区间可取为nStX2(四)非正态总体均值的区间估计(四)例4设X服从参数为p的0-1分布,样本为求p的置信度为1的置信区间解),(~1pnBXnii1))1()((22zpppXnzPnXXX,,,21(n50).)1,0(~)1()(NpppXn(近似)222)1()(0zpppXn0)2()(222222XnpzXnpzn令222),2(),(22XnczXnbzna