模糊控制的数学基础

第二章模糊控制的数学基础CollegeofElectricalandInformationEngineering,HunanUniv.22.1概述模糊数学(模糊集）是模糊控制的数学基础，它是由美国加利福尼亚大学Zadeh教授最先提出的。他将模糊性和集合论统一起来，在不放弃集合的数学严格性的同时，使其吸取人脑思维中对于模糊现象认识和推理的优点。“模糊”，是指客观事物彼此间的差异在中间过渡时，界限不明显，呈现出的“亦此亦彼”性。“模糊”是相对于“精确”而言的。“精确”：“老师”、“学生”、“工人”“模糊”：“高个子”、“热天气”、“年轻人”模糊数学并不是让数学变成模模糊糊的东西，而是用数学工具对模糊现象进行描述和分析。模糊数学是对经典数学的扩展，它在经典集合理论的基础上引入了“隶属函数”的概念，来描述事物对模糊概念的从属程度。CollegeofElectricalandInformationEngineering,HunanUniv.32.2普通集合*集合具有特定属性的对象的全体，称为集合。例如：“湖南大学的学生”可以作为一个集合。集合通常用大写字母A，B，……，Z来表示。*元素组成集合的各个对象，称为元素，也称为个体。通常用小写字母a，b，……，z来表示。*论域所研究的全部对象的总和，叫做论域，也叫全集合。*空集不包含任何元素的集合，称为空集，记做Φ。*子集集合中的一部分元素组成的集合，称为集合的子集。1）集合的概念若元素a是集合A的元素，则称元素a属于集合A，记为a∈A；反之，称a不属于集合A，记做。Aa*属于*包含BAAB若集合A是集合B的子集，则称集合A包含于集合B，记为；或者集合B包含集合A，记为。BAAB对于两个集合A和B，如果和同时成立，则称A和B相等，记做A=B。此时A和B有相同的元素，互为子集。*相等*有限集如果一个集合包含的元素为有限个，就叫做有限集；否则，叫做无限集。CollegeofElectricalandInformationEngineering,HunanUniv.42）集合的表示法将集合中的所有元素都列在大括号中表示出来，该方法只能用于有限集的表示。例如10-20之间的偶数组成集合A，则A可表示为A={10，12，14，16，18，20}*表征法表征法将集合中所有元素的共同特征列在大括号中表征出来。上例中的集合A也可用表征法表示为A={a|a为偶数，10≤a≤20}2.2普通集合*列举法CollegeofElectricalandInformationEngineering,HunanUniv.5*集合交设X，Y为两个集合，由既属于X又属于Y的元素组成的集合P称为X，Y的交集，记作P=X∩Y*集合并设X，Y为两个集合，由属于X或者属于Y的元素组成的集合Q称为X，Y的并集，记作Q=X∪Y*集合补在论域Y上有集合X，则X的补集为}|{XxxXXYPXYQXYX3）集合的运算2.2普通集合CollegeofElectricalandInformationEngineering,HunanUniv.6具体算法是：在X，Y中各取一个元素组成序偶（x，y），所有序偶组成的集合，就是X，Y的直积。*集合的直积设X，Y为两集合，定义X，Y的直积为},|),{(YyXxyxYX4）集合的特征函数设x为论域X中的元素，A为论域X中定义的一个集合，则x和A的关系可以用集合A的特征函数来表示。它的值域是{0，1}，它表示元素x是否属于集合A。如果x属于集合A，那么的值为1；如果x不属于集合A，那么的值为0。即Ax0,Ax,xA1)(2.2普通集合CollegeofElectricalandInformationEngineering,HunanUniv.7(1)模糊集合的定义：5.0)30(~A2.3模糊集合35255251125151)(2~xxxxA例2.3.1论域为15到35岁之间的人，模糊集表示“年轻人”，则模糊集的隶属函数可定义为则年龄为30岁的人属于“年轻人”的程度为：~A)(~xA给定论域E中的一个模糊集，是指任意元素x∈E，都不同程度地属于这个集合，元素属于这个集合的程度可以用隶属函数∈[0，1]来表示。CollegeofElectricalandInformationEngineering,HunanUniv.8(2)模糊集合的表示法：1）Zadeh表示法当论域上的元素为有限个时，定义在该论域上的模糊集可表示为：nnAAAxxxxxxA)()()(~~~2211~注意：式中的“＋”和“/”，仅仅是分隔符号，并不代表“加”和“除”。例2.3.2假设论域为5个人的身高，分别为172cm、165cm、175cm、180cm、178cm，他们的身高对于“高个子”的模糊概念的隶属度分别为0.8、0.78、0.85、0.90、0.88。则模糊集“高个子”可以表示为高个子17888.01809.017585.016578.01728.02.3模糊集合CollegeofElectricalandInformationEngineering,HunanUniv.92）序偶表示法当论域上的元素为有限个时，定义在该论域上的模糊集还可用序偶的形式表示为：))(,))(,))(,~~~2211~nAnAAxxxxxxA，（，，（（或简化为：），，，（)()()(~~~21~nAAAxxxA对于上例的模糊集“高个子”可以用序偶法表示为高个子)88.0,178(),9.0,180(),85.0,175(),78.0,165(),8.0,172(或高个子88.0,9.0,85.0,78.0,8.02.3模糊集合CollegeofElectricalandInformationEngineering,HunanUniv.103）隶属函数描述法论域U上的模糊子集可以完全由其隶属函数表示。假设年龄的论域为U=[15，35]，则模糊集“年轻”可用隶属函数表征为：35255251125151)(2xxxx年轻该隶属函数的形状如图152535x）（年轻x012.3模糊集合CollegeofElectricalandInformationEngineering,HunanUniv.11~A（3)模糊集合的运算模糊集合与普通集合一样也有交、并、补的运算。假设~A和~B为论域U上的两个模糊集，它们的隶属函数分别为)(~xA)(~xB和模糊集交)()()(~~~xxxBAC模糊集并)()()(~~~xxxBAD模糊集补~A)(1)(~~xxAA相等若Ux，总有)()(~~xxBA成立，则称~A和~B相等，记作~~BA。包含若Ux，总有)()(~~xxBA成立，则称~A包含~B，记作。~~BA2.3模糊集合~~~BAC~~~BADCollegeofElectricalandInformationEngineering,HunanUniv.12~A例2.3.3：设论域U={a,b,c,d,e}上有两个模糊集分别为：edcbaA1.02.04.03.05.0~edcbaB4.07.01.08.02.0~求~~BA~~BA~AedcbaBA4.01.07.02.01.04.08.03.02.05.0~~edcba1.02.01.03.02.0edcbaBA4.01.07.02.01.04.08.03.02.05.0~~edcba4.07.04.08.05.0edcbaA1.012.014.013.015.01~edcba9.08.06.07.05.02.3模糊集合CollegeofElectricalandInformationEngineering,HunanUniv.13（4）模糊运算的性质：交换率~~~~ABBA~~~~ABBA，结合率~~~~~~)()(CBACBA，~~~~~~)()(CBACBA分配率)()()(~~~~~~~CABACBA)()()(~~~~~~~CABACBA传递率~~BA，~~CB，则~~CA，幂等率~~~AAA~~~AAA摩根率~~~~BABA~~~~BABA，复原率~~AA2.3模糊集合CollegeofElectricalandInformationEngineering,HunanUniv.142.4λ水平截集水平截集的定义在论域U中，给定一个模糊集合A，由对于A的隶属度大于某一水平值λ（阈值）的元素组成的集合，叫做该模糊集合的λ水平截集。用公式可以描述如下：})(|{~xxAA其中x∈U，λ∈[0,1]。显然，Aλ是一个普通集合。例2.4.1已知54321~9.07.05.03.01.0xxxxxA，求A0.1、A0.2、A0.7},,,,{543211.0xxxxxA},,,{54322.0xxxxA},{547.0xxACollegeofElectricalandInformationEngineering,HunanUniv.152.4λ水平截集水平截集的性质1）A∪B的λ水平截集是Aλ和Bλ的并集：BABA)(~~2）A∩B的λ水平截集是Aλ和Bλ的交集：BABA)(~~3）如果λ∈[0,1],α∈[0,1]且λ≤α，则AACollegeofElectricalandInformationEngineering,HunanUniv.162.5模糊关系(1)普通关系“关系”是集合论中的一个重要概念，它反映了不同集合的元素之间的关联。普通关系是用数学方法描述不同普通集合中的元素之间有无关联。例2.5.1举行一次东西亚足球对抗赛，分两个小组A={中国，日本，韩国}，B={伊朗，沙特，阿联酋}。抽签决定的对阵形势为：中国-伊朗，日本-阿联酋，韩国-沙特。用R表示两组的对阵关系，则R可用序偶的形式表示为：R={（中国，伊朗），（日本，阿联酋），（韩国，沙特）}CollegeofElectricalandInformationEngineering,HunanUniv.17可见关系R是A，B的直积A×B的子集。也可将R表示为矩阵形式，假设R中的元素r(i,j)表示A组第i个球队与B组第j个球队的对应关系，如有对阵关系，则r(i,j)为1，否则为0，则R可表示为：中国010100001日本韩国伊朗沙特阿联酋R该矩阵称为A和B的关系矩阵。由普通关系的定义可以看出：在定义了某种关系之后，两个集合的元素对于这种关系要么有关联，r(i,j)＝1；要么没有关联，r(i,j)＝0。这种关系是很明确的。2.5模糊关系CollegeofElectricalandInformationEngineering,HunanUniv.18（2）模糊关系人和人之间关系的“亲密”与否？儿子和父亲之间长相的“相像”与否？家庭是否“和睦”？这些关系就无法简单的用“是”或“否”来描述，而只能描述为“在多大程度上是”或“在多大程度上否“。这些关系就是模糊关系。我们可以将普通关系的概念进行扩展，从而得出模糊关系的定义。2.5模糊关系CollegeofElectricalandInformationEngineering,HunanUniv.19①模糊关系的定义假设x是论域U中的元素，y是论域V中的元素，则U到V的一个模糊关系是指定义在VU上的一个模糊子集~R，其隶属度]1,0[),(~yxR代表x和y对于该模糊关系的关联程度。例2.5.2我们用模糊关