模糊数学 之 模糊决策

第4章模糊决策§4.1模糊集中意见决策为了对论域U={u1,u2,…,un}中的元素进行排序,由m个专家组成专家小组M,分别对U中的元素排序,得到m种意见：V={v1,v2,…,vm},其中vi是第i种意见序列,即U中的元素的某一个排序.若uj在第i种意见vi中排第k位,则令Bi(uj)=n–k,称mijijuBuB1)()(为uj的Borda数.此时论域U的所有元素可按Borda数的大小排序,此排序就是是比较合理的.例1设U={a,b,c,d,e,f},|M|=m=4人,v1:a,c,d,b,e,f;v2:e,b,c,a,f,d;v3:a,b,c,e,d,f;v4:c,a,b,d,e,f;B(a)=5+2+5+4=16;B(b)=2+4+4+3=13;B(c)=4+3+3+5=15;B(d)=3+0+1+2=6;B(e)=1+5+2+1=9;B(f)=0+1+0+0=1;按Borda数集中后的排序为：a,c,b,d,e,f.例2设有6名运动员U={u1,u2,u3,u4,u5,u6}参加五项全能比赛,已知他们每项比赛的成绩如下：200m跑u1,u2,u4,u3,u6,u5；1500m跑u2,u3,u6,u5,u4,u1；跳远u1,u2,u4,u3,u5,u6；掷铁饼u1,u2,u3,u4,u6,u5；掷标枪u1,u2,u4,u5,u6,u3；B(u1)=5+0+5+5+5=20;B(u2)=4+5+4+4+4=21;B(u3)=2+4+2+3+0=11;B(u4)=3+1+3+2+3=12;B(u5)=0+2+1+0+2=5;B(u6)=1+3+0+1+1=6;按Borda数集中后的排序为：u2,u1,u4,u3,u6,u5.若uj在第i种意见vi中排第k位，设第k位的权重为ak，则令Bi(uj)=ak(n–k)，称mijijuBuB1)()(为uj的加权Borda数。名次一二三四五六权重0.350.250.180.110.070.04B(u1)=7,B(u2)=5.75,B(u3)=1.98,B(u4)=1.91,B(u5)=0.51,B(u6)=0.75.按加权Borda数集中后的排序为：u1,u2,u3,u4,u6,u5设论域X={x1,x2,…,xn}为n个被选方案,在n个被选方案中建立一种模糊优先关系,即先两两进行比较,再将这种比较模糊化.然后用模糊数学方法给出总体排序,这就是模糊二元对比决策.在xi与xj作对比时,用rij表示xi比xj的优先程度,并且要求rij满足①rii=1(便于计算)；②0≤rij≤1；③当i≠j时,rij+rji=1.这样的rij组成的矩阵R=(rij)n×n称为模糊优先矩阵,由此矩阵确定的关系称为模糊优先关系.§4.2模糊二元对比决策模糊二元对比决策的方法与步骤是：⑴建立模糊优先关系.先两两进行比较，建立模糊优先矩阵：R=(rij)n×n.⑵排序方法：①隶属函数法即直接对模糊优先矩阵进行适当的数学加工处理,得到X上模糊优先集A的隶属函数,再根据各元素隶属度的大小给全体对象排出一定的优劣次序.通常采用的方法是：取小法：A(xi)=∧{rij|1≤j≤n},i=1,2,…,n;平均法：A(xi)=(ri1+ri2+…+rin)/n,i=1,2,…,n.②-截矩阵法即取定阈值,确定优先对象.取定阈值∈[0,1]得-截矩阵R=(rij())n×n,当由1逐渐下降时,若R中首次出现第k行的元素全等于1时,则认定xk是第一优先对象(不一定唯一).再在R中划去xk所在的行与列,得到一个新的n-1阶模糊优先矩阵,用同样的方法获取的对象作为第二优先对象；如此进行下去,可将全体对象排出一定的优劣次序.③下确界法先求R每一行的下确界,以最大下确界所在行对应的xk是第一优先对象(不一定唯一).再在R中划去xk所在的行与列,得到一个新的n-1阶模糊优先矩阵,再以此类推.§4.3模糊综合评判决策在实际工作中,对一个事物的评价或评估,常常涉及多个因素或多个指标,这时就要求根据这多个因素对事物作出综合评价,而不能只从某一因素的情况去评价事物,这就是综合评判.模糊综合评判决策是对受多种因素影响的事物作出全面评价的一种十分有效的多因素决策方法.经典综合评判决策评总分法加权评分法模糊映射与模糊变换例1设X={x1,x2},Y={y1,y2,y3},令.,7.03.06.0,,5.04.01.0)(.},,{11,},,{11)(232113212313112121xxyyyxxyyyxgxxyyyyxxyyyyxff(x),g(x)都是从X到Y的模糊映射,并且f(x)是从X到Y的点集映射.命题1设X={x1,x2,…,xn},Y={y1,y2,…,ym},(1)X到Y的任一个模糊映射f可唯一确定X到Y的一个模糊关系Rf；(2)X到Y的任一个模糊关系R可唯一确定X到Y的一个模糊映射fR.模糊变换若映射T将X的一个模糊子集A映射到Y的一个模糊子集B,则称映射T为从X到Y的模糊变换.若模糊变换T满足(1)T(A∪B)=T(A)∪T(B),(2)T(A)=T(A),则称T为模糊线性变换.命题2设X={x1,x2,…,xn},Y={y1,y2,…,ym},(1)给定X到Y的一个模糊关系R可确定X到Y的一个模糊模糊线性变换TR(A)=A°R；(2)给定X到Y的一个模糊线性变换T可确定X到Y的一个模糊关系RT.例2设X={x1,x2,x3,x4,x5},Y={y1,y2,y3,y4},00000013.02.04.08.06.01.003.01102.05.0R(1)A={x1,x2},求TR(A)；(2)B=(0.5,0.6,0.9,1,0),求TR(B)；TR(A)=A°RTR(A)=(1,1,0,0,0)°R=(1,0.3,0,1)42113.01yyyTR(B)=(0.5,0.6,0.9,1,0)°R=(0.6,1,0.4,0.5)43215.04.016.0yyyy例3设X={x1,x2,x3},Y={y1,y2},映射T为从X到Y的模糊线性变换.已知(1)求由T诱导出X到Y的模糊关系RT；(2)求由模糊关系RT诱导出X到Y的模糊映射f.,5.07.08.05.01,2.05.01.08.0,5.06.07.04.0,3.05.06.04.021321213221312121yyxxxTyyxxTyyxxTyyxxT设,323122211211rrrrrrRT则,5.07.02.05.05.06.03.05.08.05.011.08.007.004.006.04.0323122211211rrrrrr0.50.60.50.20.30.7模糊综合评判决策的数学模型设U={u1,u2,…,un}为n种因素(或指标),V={v1,v2,…,vm}为m种评判(或等级).由于各种因素所处地位不同,作用也不一样,可用权重A=(a1,a2,…,an)来描述,它是因素集U的一个模糊子集.对于每一个因素ui,单独作出的一个评判f(ui),可看作是U到V的一个模糊映射f,由f可诱导出U到V的一个模糊关系Rf,由Rf可诱导出U到V的一个模糊线性变换TR(A)=A°R=B,它是评判集V的一个模糊子集,即为综合评判.(U,V,R)构成模糊综合评判决策模型,U,V,R是此模型的三个要素.模糊综合评判决策的方法与步骤是：⑴建立因素集U={u1,u2,…,un}与决断集V={v1,v2,…,vm}.⑵建立模糊综合评判矩阵.对于每一个因素ui,先建立单因素评判：(ri1,ri2,…,rim)即rij(0≤rij≤1)表示vj对因素ui所作的评判,这样就得到单因素评判矩阵R=(rij)n×m.⑶综合评判.根据各因素权重A=(a1,a2,…,an)综合评判:B=A⊕R=(b1,b2,…,bm)是V上的一个模糊子集,根据运算⊕的不同定义,可得到不同的模型.模型Ⅰ：M(∧,∨)——主因素决定型bj=∨{(ai∧rij),1≤i≤n}(j=1,2,…,m).由于综合评判的结果bj的值仅由ai与rij(i=1,2,…,n)中的某一个确定(先取小,后取大运算),着眼点是考虑主要因素,其他因素对结果影响不大,这种运算有时出现决策结果不易分辨的情况.模型Ⅱ：M(·,∨)——主因素突出型bj=∨{(ai·rij),1≤i≤n}(j=1,2,…,m).M(·,∨)与模型M(∧,∨)较接近,区别在于用airij代替了M(∧,∨)中的ai∧rij.在模型M(·,∨)中,对rij乘以小于1的权重ai表明ai是在考虑多因素时rij的修正值,与主要因素有关,忽略了次要因素.模型Ⅲ：M(∧,＋)——主因素突出型bj=∑(ai∧rij)(j=1,2,…,m).模型Ⅲ也突出了主要因素.在实际应用中,如果主因素在综合评判中起主导作用,建议采纳Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,当模型Ⅰ失效时可采用Ⅱ,Ⅲ.模型Ⅳ：M(·,＋)——加权平均模型bj=∑(ai·rij)(j=1,2,…,m).模型M(·,＋)对所有因素依权重大小均衡兼顾,适用于考虑各因素起作用的情况.例1.服装评判因素集U={u1(花色),u2(式样),u3(耐穿程度),u4(价格)}；评判集V={v1(很欢迎),v2(较欢迎),v3(不太欢迎),v4(不欢迎)}.对各因素所作的评判如下：u1：(0.2,0.5,0.2,0.1)u2：(0.7,0.2,0.1,0)u3：(0,0.4,0.5,0.1)u4：(0.2,0.3,0.5,0)05.03.02.01.05.04.0001.02.07.01.02.05.02.0R对于给定各因素权重A=(0.1,0.2,0.3,0.4),分别用各种模型所作的评判如下：M(∧,∨)：B=(0.2,0.3,0.4,0.1)M(·,∨)：B=(0.14,0.12,0.2,0.03)M(∧,＋)：B=(0.5,0.9,0.9,0.2)M(·,＋)：B=(0.24,0.33,0.39,0.04)05.03.02.01.05.04.0001.02.07.01.02.05.02.0R对于给定各因素权重A=(0.4,0.35,0.15,0.1),分别用各种模型所作的评判如下：M(∧,∨)：B=(0.35,0.4,0.2,0.1)M(·,∨)：B=(0.245,0.2,0.08,0.04)M(∧,＋)：B=(0.65,0.85,0.55,0.2)M(·,＋)：B=(0.345,0.36,0.24,0.055)例2.“晋升”的数学模型.以高校老师晋升教授为例：因素集U={政治表现及工作态度,教学水平,科研水平,外语水平},评判集V={好,较好,一般,较差,差}.因素好较好一般较差差政治表现及工作态度42100教学水平61000科研水平00511外语水平221117/17/17/17/27/27/17/17/5000007/17/6007/17/27/4R给定以教学为主的权重A=(0.2,0.5,0.1,0.2)，分别用M(∧,∨)、M(·,＋)模型所作的评判如下：M(∧,∨)：B=(0.5,0.2,0.14,0.14,0.14)归一化后，B=(0.46,0.18,0.12,0.12,0.12)M(·,＋)：B=(0.6,0.19,0.13,0.04,0.04)例3利用模糊综合评判对20家制药厂经济效益的好坏进行排序(P209).企业名称u1u2u3u41东北制药厂1.61110.590.691.672北京第二制药厂1.4299.440.611.50……………………20四川制药厂1.99221.631.011.89设ci