2013年中考数学复习 第5章基本图形 第23课 平行四边形课件

第23课平行四边形基础知识自主学习1．n边形以及四边形的性质(1)n边形的内角和为，外角和为，对角线条数为.(2)四边形的内角和为，外角和为，对角线条数为.(3)正多边形的定义：各条边都，且各内角都的多边形叫正多边形．要点梳理nn－32(n－2)·180°360°360°360°2相等相等2．平行四边形的性质以及判定(1)性质：①平行四边形两组对边分别平行且相等；②平行四边形对角相等，邻角互补；③平行四边形对角线互相平分；④平行四边形是中心对称图形．(2)判定方法：①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④两组对角分别相等的四边形是平行四边形；⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．3．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．[难点正本疑点清源]1．理解平行四边形相关概念四边形的对边、对角与三角形中所说的对边、对角不同．在三角形中，对边指一角的对边，对角指一边的对角；而在四边形中，对边指不相邻的边，也就是没有公共顶点的边，对角指不相邻的角，邻边是指四边形中有公共端点的边，邻角是指四边形中有一条公共边的两个角．平行四边形的表示方法，一般按照一定的方向(顺时针或逆时针)依次表示各个顶点．2．正确运用平行四边形的性质、判定来解题平行四边形的性质是我们研究平行四边形的角或边的重要依据，利用平行四边形的性质，可以求角的度数、线段的长度，也可以证明角相等、线段相等、线段平分线等问题．其关键是根据所要证明的全等三角形，选择需要的边、角相等条件．包括定义在内，平行四边形共有五种判定方法，对于不同的题目，应通过仔细观察分析，选出合适的判定方法来解答，在实际运用中，要注意性质和判定的联系和区别．3．三角形的中位线性质三角形中位线性质为我们证明两直线的位置和数量关系提供了一个重要的依据，当题目中遇到中点问题时，常作出三角形的中位线．当已知三角形一边中点时，可以设法找出另一边的中点，构造三角形中位线，进一步可以利用其证明线段平行或倍分问题，可简单的概括为“已知中点找中位线”．基础自测1．(2011·绵阳)王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少要再钉上几根木条？()A．0根B．1根C．2根D．3根答案B解析画一条对角线，将四边形分成两个三角形，依据三角形的稳定性，这个木架不变形．2．(2011·邵阳)如图所示，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AB≠AD，则下列式子不正确的是()A．AC⊥BDB．AB＝CDC．BO＝ODD．∠BAD＝∠BCD答案A解析由平行四边形的性质，一定有AB＝CD，BO＝OD，∠BAD＝∠BCD，不正确的是AC⊥BD.3．(2011·广州)已知▱ABCD的周长为32，AB＝4，则BC＝()A.4B．12C．24D．28答案B解析因为2(AB＋BC)＝32，所以AB＋BC＝16，BC＝12.4．(2011·义乌)如图，DE是△ABC的中位线，若BC的长是3cm，则DE的长是()A．2cmB．1.5cmC．1.2cmD．1cm答案B解析因为DE是△ABC的中位数，所以DE＝12BC＝12×3＝1.5cm.5．(2011·潼南)如图，在平行四边形ABCD中(AB≠BC)，直线EF经过其对角线的交点O，且分别交AD、BC于点M、N，交BA、DC的延长线于点E、F，下列结论：①AO＝BO；②OE＝OF;③△EAM∽△EBN；④△EAO≌△CNO，其中正确的是()A.①②B．②③C．②④D．③④答案B解析∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，AD∥BC，∴△EAM∽△EBN；易证△EAO≌△FCO，∴OE＝OF；综上，结论②、③正确.题型分类深度剖析【例1】(2012·恩施)如图，已知，在▱ABCD中，AE＝CF，M、N分别是BE、DF的中点．求证：四边形MFNE是平行四边形.题型一平行四边形的判定解证明：由平行四边形可知，AB＝CD，∠BAE＝∠DFC.又∵AE＝CF，∴△BAE≌△DCF，∴BE＝DF，∠AEB＝∠CFD.又∵M、N分别是BE、DF的中点，∴ME＝NF.又由AD∥BC，得∠ADF＝∠DFC，∴∠ADF＝∠BEA，∴ME∥NF.∴四边形MFNE为平行四边形．探究提高探索平行四边形成立的条件，有多种方法判定平行四边形：①若条件中涉及角，考虑用“两组对角分别相等”或“两组对边分别平行”来证明；②若条件中涉及对角线，考虑用“对角线互相平分”来说明；③若条件中涉及边，考虑用“两组对边分别平行”或“一组对边平行且相等”来证明，也可以巧添辅助线，构建平行四边形．知能迁移1(1)如图，在▱ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，证明：四边形AECF是平行四边形．解证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF.在平行四边形ABCD中，AB∥CD，且AB⊥CD∴∠ABE＝∠CDF.又∵∠AEB＝∠CFD＝90°，∴Rt△ABE≌Rt△CDF.∴AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形．(2)(2012·郴州)已知：如图，把△ABC绕边BC的中点O旋转180°得到△DCB.求证：四边形ABDC是平行四边形．解证明：∵△DCB是由△ABC旋转180°而得，∴点A、D，点B、C关于点O中心对称，∴OB＝OC，OA＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形．(注：还可以利用旋转变换得到AB＝CD，AC＝BD相等；或证明△ABC≌△DCB来证ABCD是平行四边形)题型二平行四边形相关边、角、周长与面积问题【例2】已知：如图，在□ABCD中，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，E在AD上，BE＝12cm，CE＝5cm.求□ABCD的周长和面积．解在□ABCD中，AD∥BC，且AD⊥BC；AB∥CD，且AB⊥CD.∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，又∠AEB＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE.同理，CD＝DE.∴AB＝CD＝12AD.∵∠CBE＋∠ECB＝12∠ABC＋12∠DCB＝12(∠ABC＋∠DCB)＝12×180°＝90°，∴∠BEC＝90°.在Rt△BCE中，BE＝12，CE＝5，∴BC＝125＋52＝13，∴□ABCD的周长＝2×13＋132＝39.S▱ABCD＝2S△EBC＝2×12×12×5＝60.答：平行四边形ABCD的周长是39cm，面积是60cm2.探究提高平行四边形对边相等，对边平行，对角相等，邻角互补，对角线互相平分，利用这些性质可以解决与平行四边形相关的问题，也可将四边形的问题转化为三角形的问题．知能迁移2(1)在□ABCD中，对角线AC＝12，BD＝10，边AB＝m，则m的取值范围是()A．10m12B．2m22C．1m11D．5m6答案C解析设AC、BD交于点O，在△ABO中，AO＝12AC＝6，BO＝12BD＝5，∴6－5m6＋5，即1m11.(2)在□ABCD中，DB＝DC，∠A＝65°，CE⊥BD于E，则∠BCE＝________.答案25°解析在□ABCD中，∠DCB＝∠A＝65°.∵DB＝DC，∴∠DCB＝∠DBC＝65°.在Rt△BCE中，∠BCE＝90°－65°＝25°.题型三运用平行四边形的性质进行推理论证【例3】已知：如图，E、F分别是□ABCD的边AD、BC的中点，求证：AF＝CE.解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！解证法一：在□ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D.∵E、F分别是AD、BC的中点，∴BF＝12BC，DE＝12AD，∴BF＝DE.[2分]在△ABF与△CDE中，AB＝CD，∠B＝∠D，BF＝DE，∴△ABF≌△CDE(SAS)．[5分]∴AF＝CE.[6分]证法二：在□ABCD中，AD∥BC，且AD⊥BC.[2分]∵E、F分别是AD、BC的中点，∴AE＝AD，CF＝CB，∴AE＝CF.[4分]又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．∴AF＝CE.[6分]探究提高利用平行四边形的性质，可以证角相等、线段相等，其关键是根据所要证明的全等三角形，选择需要的边、角相等条件，也可以证明相关联的四边形是平行四边形．知能迁移3(1)(2011·宜宾)如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F在AC上，G、H在BD上，AF＝CE，BH＝DG.求证：GF∥HE.解证明：在平行四边形ABCD中，OA＝OC.∵AF＝CE，∴AF－OA＝CE－OC，∴OF＝OE.同理得，OG＝OH.∴四边形EGFH是平行四边形，∴GF∥HE.(2)(2011·常德)如图，已知四边形ABCD是平行四边形．①求证：△MEF∽△MBA；②若AF、BE分别为∠DAB、∠CBA的平分线，求证DF＝EC.解证明：①在▱ABCD中，CD∥AB，∴∠MEF＝∠MBA，∠MFE＝∠MAB，∴△MEF∽△MBA.②∵在▱ABCD中，CD∥AB，∴∠DFA＝∠FAB.又∵AF是∠DAB的平分线，∴∠DAF＝∠FAB，∴∠DAF＝∠DFA，∴AD＝DF.同理可得，EC＝BC.∵在▱ABCD中，AD＝BC，∴DF＝EC.题型四三角形中位线定理【例4】如图，在△ABC中，D是BC上一点，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，求证：EG、HF互相平分．解证明：连接EH、FG.∵E、H分别是BD、AD的中点，∴EH∥12AB，且EH⊥12AB.同理FG∥12AB，且FG⊥12AB.∴EH∥FG，且EH⊥FG，∴四边形EFGH是平行四边形，∴EG、HF互相平分．探究提高当已知三角形一边中点时，可以设法找出另一边的中点，构造三角形中位线，进一步利用三角形的中位线定理，证明线段平行或倍分问题．知能迁移4(1)(2011·铜仁)已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，DE、DF是的中位线，连接EF、AD.求证：EF＝AD.解证明：∵DE、DF是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DF∥AC.∴四边形AEDF是平行四边形．又∵∠BAC＝90°，∴平行四边形AEDF是矩形．∴EF＝AD.(2)如图，在△ABC中，BD、CE是角平分线，AM⊥CE，AN⊥BD，M、N分别是垂足，求证：MN∥BC.解证明：分别延长AM、AN交BC于P、Q.∵CE平分∠ACB，AM⊥CE，∴∠ACM＝∠PCM，∠AMC＝∠PMC＝90°.又∵CM＝CM，∴△ACM≌△PCM，∴AM＝PM.同理AN＝QN.∴MN是△APQ的中位线，∴MN∥PQ，即MN∥BC.易错警示试题如图，已知六边形ABCDEF的六个内角均为120°，CD＝10cm，BC＝8cm，AB＝8cm，AF＝5cm，求此六边形周长．14．不可将未加证明的条件作为已知条件或推理依据学生答案展示如图，连接EB、DA、FC，分别交于点M、N、P.∵∠FED＝∠EDC＝120°，∴∠DEM＝∠EDM＝60°.∴△DEM是等边三角形．同理，△MAB、△NFA也是等边三角形．∴FN＝AF＝5，MA＝AB＝8.∵∠EFA＝120°，∴∠EFC＝60°，∴ED∥FC，同理，EF∥DN.∴四边形EDNF是平行四边形．同理，四边形EMAF也是平行四边形．∴ED＝FN＝5，EF＝MA＝8.∴六边形ABCDEF的周长＝AB＋BC＋CD＋DE＋EF＋FA＝8＋8＋10＋5＋8＋5＝44(cm)．剖析上述解法最根本的错误在于多边形的对角线不是角平分线，从证明的一开始，由∠FED＝∠EDC＝120°得到∠DEM＝∠EDM＝60°的这个结论就是错误的，所以后面的推理就没有依据了，请注意对角线与角平分线的区别，只有菱形和正方形的对角线才有平分一组对角的特性，其他的不具有这一性质．不可凭直观感觉就以为对角线AD、BE平分∠CDE、∠DEF，切记，视觉不可代替论证，直观判断不能代替逻辑推理．正解如图，分别延长ED、BC交于点M，延长EF、BA交于点N.∵∠EDC＝∠DCB＝120°，∴∠MDC＝∠MCD＝60°.∴∠M＝60°，△MDC是等边三