数学建模竞赛讲座(清华大学姜启源)

清华大学姜启源[e-mail]储油罐的变位识别与罐容表标定全国大学生数学建模竞赛2010年A题•题目•题目的背景与分析•问题（1）的通常做法•问题（2）的通常做法•一种建立储油量模型的新方法•对学生论文的评述•题目的启示通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。题目油油浮子出油管油位探测装置注油口检查口地平线2m6m1m1m3m油位高度图1储油罐正面示意图油位探针油位探针α地平线图2储油罐纵向倾斜变位后示意图油油浮子出油管油位探测装置注油口检查口水平线请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。图3储油罐截面示意图（b）横向偏转倾斜后正截面图β地平线垂直线油位探针（a）无偏转倾斜的正截面图油位探针油位探测装置3m油(b)小椭圆油罐截面示意图α油油浮子出油管油位探针注油口水平线2.05mcm0.4m1.2m1.2m1.78m(a)小椭圆油罐正面示意图图4小椭圆型油罐形状及尺寸示意图流水号C进油量/LD油位高度/mm采集时间说明1150159.022010-08-2010:32:18(1)罐体无变位进油，罐内油量初值262L；12100176.142010-08-2010:33:18(2)C列进油量是每次加入50L油后的累加值13150192.592010-08-2010:34:18(3)D列是原罐内初始油量加入相应油量后油位高度值。流水号C进油量/LD油位高度/mm采集时间说明11747.86411.292010-08-1915:10:2712797.86423.452010-08-1915:11:2713847.86438.332010-08-1915:12:3714897.86450.542010-08-1915:13:27(1)罐体纵向倾斜变位进油，纵向倾斜角4.10,罐内油量初值215L；(2)C列进油量是每次加入50L油后的累加值，个别的有小数零头；(3)D列是原罐内油量加入相应油量后油位高度值。附件1实验数据流水号C进油量/LD出油量/LE显示油高/mm显示油量容积/L采集时间备注说明201060.002632.2360448.882010-08-0108:00:49←开始采集2020149.092624.3060311.432010-08-0108:15:421)C列进油量,通常进油是一次性连续完成203068.452620.6760248.032010-08-0108:23:412)D列出油量是加油机不同时段的出油量vi2040199.272610.2960065.112010-08-0108:38:143)E列显示油高是进/出油vi后对应的罐内油位显示高度hi；205070.052606.6159999.692010-08-0108:53:084)F列显示油量容积是进/出油vi后,罐内油位5020显示高度为hi时的罐容表显示储油量Ｖi。50360.81469.746086.74511242486.2157704.792010-08-0811:43:402010-08-0812:52:52←一次性补充进油附件2检测数据来自于加油站设备研究与生产企业的一个实际课题.（2）根据实际检测数据，正确识别罐体是如何变位的，具体变了多少？同时要给出罐容表的修正标定方法和结果，属于“反问题”。题目背景问题分析问题由两部分组成：（1）为了观察检验罐体变位对罐容表的影响，在已知变位参数的情况下，检测出油位高度和油量的对应数值，建模分析罐容表的变化规律，并给出修正的罐容表，属于“正问题”。02004006008001000120005001000150020002500300035004000hvalpha=0alpha=4.1问题（1）的通常做法•根据附件1的实验数据画出罐体不变位（α=0）和罐体变位（α=4.10）时油位高度h和储油量V的曲线.实验数据表明，在同样的油位高度h下，罐体变位时储油量V减少.zx0z=HabS(H)12222bzaxz=H下的面积bHbbHabHbbaHabHS,sin2)(122油位高度h时坐标y处z=HLybhLybhH0,20,tan)(1LybhhyS0,20),,(油位高度h时坐标y处的截面面积罐体变位α时油位高度h和储油量(体积)V的数学模型化重积分为定积分zyxhyH0L1Lα油位计L2V(h,α)z=Htan0:211LhhD,tan/,),()(1101hLydyhyShVytan2:1212LbhhhDLdyhyShV0),()(bhhD2:23tan/)2(,),()(1222hbLydyhySabyhVLy]),(,0[)0(10LdyhySV],),([)2(11abLdyhySabLbVLLLybhhyS0,20),,(高度h与储油量V的模型D3D2D1yh10L1L2αh2y1y2油位计02040608010012000.511.522.533.544.5hvalpha=0alpha=4.1高度h与储油量V的模型V(h,α)h/cmV/Lh/cmV/Lh/cmV/Lh/cmV/L1070.1340965.66702232.501003450.7220281.86501371.88802661.421103776.6430595.25601798.52903072.431204012.74=4.10的罐容表(部分)按照模型讨论变位对罐容表的影响与实验数据表示的影响一致.变位后储油量平均约小200L.00.20.40.60.811.21.4012345hv模型实验0.40.50.60.70.80.911.10.511.522.533.54hv模型实验模型结果与实验数据的比较=4.10=0模型结果与实验数据基本吻合，而在同样的油位高度h下，储油量v的实验数据均比模型结果小.可以有各种解释.是否要修正、怎样修正模型？问题（2）的通常做法1.罐体变位α,β时油位高度h和储油量V的数学模型hβD1D2D3整体考虑αhVxy0z•写出左右球面、圆柱面及油位高度h的油平面方程.•将罐体分为3个区域：D1,D2,D3•在3个区域中分别写出体积的重积分，并化为（对z的）定积分.rhLyrhH20,tan)(1222rzxrhrhh20),cos1(cos将罐体分为圆柱体和球缺，圆柱体按照问题（1）考虑z=H下的面积rHrrHrHrHrHS,sin2)(12222zx0rh'hβz=H截面面积S(y,h,α,β)圆柱体体积V1(h,α,β)0xzyD1D2D3αh将罐体分为圆柱体和球缺，球缺部分单独考虑•精确计算球缺部分体积V2•将倾斜角α的油平面近似为水平面（α=0）计算球缺部分体积V2.直接将罐体的球缺部分按照体积不变条件折合成圆柱，一起计算.用各种方法得到罐体体积V(h,α,β),一般是积分表达式,给定α,β,可以数值计算油位高度h时的储油量V.问题（2）的通常做法2.根据储油量的数学模型V(h,α,β)和实测数据（附件2）辨识罐体变位参数α,β流水号C进油量/LD出油量/LE显示油高/mm显示油量容积/L采集时间备注说明201060.002632.2360448.882010-08-0108:00:49←开始采集（i=0）2020149.092624.3060311.432010-08-0108:15:42i=1hiViuiVi=Vi(hi,0,0)不能用！应该用数据ui,hi与模型V(h,α,β)辨识参数α,β确定α,β应使储油量的改变ΔVi与出油量ui相吻合！),,(),,(),(1iiihVhVV辨识准则niiiuVQ12]),([),(),,(),,(),(1iiihVhVViiiniiiiihhhhuhVQ112,]),([),(确定α,β使Q最小•搜索法：按照α,β的可能范围划分区间，逐步搜索.•直接利用MATLAB的非线性曲线拟合程序lsqcurvefit辨识方法辨识结果ui,hi取进油前的300组数据)(3.4),1.0(1.2000h/cm20406080100V/L1065.803702.657371.3811756.6116664.62h/cm120140160180200V/L21941.1827450.7733066.9938667.2744128.48h/cm220240260280300V/L49322.4454109.9358329.2761768.9064026.17=2.110,β=4.310的修正罐容表(部分)00.511.522.5301234567x104油位高度值h储油量值Ｖ显示的储油量曲线实际的储油量曲线罐体变位后显示储油量与实际储油量的比较模型及结果检验•取进油后的300组数据检验辨识结果α,β•α,β的灵敏性检验020406α的灵敏度00.201.202.2β的灵敏度纵向倾斜角α比横向偏转角β对罐容量的影响显著得多！一种建立模型V(h,α,β)的新方法xy0zαhYZX0绕x轴转动α绕z轴转动βcossin0sincos0001,11TzyxTZYX1000cossin0sincos,22TzyxTZYXcoscossinsinsinsincoscossincos0sincos,21TTTzyxTZYXT2T1=T1T2?αhYZX0Vαcoscossinsinsinsincoscossincos0sincos,TzyxTZYXxy0zLdh-r油浮子坐标(0,h-r,L/2-d)过油浮子的油平面方程sin)2/(coscos)(sincoscossincosdLrhzyxCY坐标变换xy0zrsRVα222222222sin)2/(coscos)(sincoscossincos:ryxyxRszyxRsd