数学建模论文(乒乓球)

摘要一、问题重述1.背景：2.问题：A、B两乒乓球队进行一场五局三胜制的乒乓球赛，两队各派3名选手上场，并各有3种选手的出场顺序（分别记为123,,和123,,）。根据过去的比赛记录，可以预测出如果A队以i次序出场而B队以j次序出场，则打满5局A队可胜ija局。由此得矩阵()ijRa如下：123123214034531R（1）根据矩阵R能看出哪一队的实力较强吗？（2）如果两队都采取稳妥的方案，比赛会出现什么结果？（3）如果你是A队的教练，你会采取何种出场顺序？（4）比赛为五战三胜制，但矩阵R中的元素却是在打满五局的情况下得到的，这样的数据处理和预测方式有何优缺点？二、问题分析乒乓球比赛对阵双方谁获胜可以看作是概率问题。根据题目意思，两队各派3名选手上场，并各有3种出场顺序（分别记为123,,和123,,）。而且根据以往经验给出了打满5局A队可胜的局数构成的矩阵（如题图）。我们可以通过这个矩阵求出在双方某种出场顺序下，A队每一局获胜的概率，并求出对应矩阵。由于是五局三胜制，获胜情况包括：1.前三局获胜，整场结束。2.打完四局后才结束，即前三局只赢了两局。3.打完第五局后才结束，即前四局只赢了两局。我们进而可以求出整场比赛下来，A队获胜的概率。对于问题一，我们可以通过比较对阵双方在各种出场顺序情况下，赢得整场比赛的概率平均值来判断哪一方的实力更强。对于问题二，我们可以求出每队在选择某一出场顺序下，赢得整场比赛的概率，这其实可以看成是条件概率的问题。概率平均值大的即为所求的稳妥方案。例如A队选择a1出场方案的情况下赢得整场比赛的概率，求出在B队以各种出场方案情况下，A队获胜概率的平均值，若此平均值比a2,a3的情况下大，则对A队来说，a1方案即为稳妥方案。在这里，还要求出B队的各种矩阵。对于问题三，与问题二类似，较为稳妥的方案即为所要的方案。对于问题四，由于比赛存在没打满五局就结束的情况，因为比赛是采取五局三胜制，如果在五局之前比赛结果就出来了，就没有必要进行下面几局的必要了。三、模型假设与约定1、假设队员都正常发挥。2、外界环境变化忽略。3、对手双方的出场顺序相互独立，互不影响。四、符号说明R：在打满5局，A队可胜局数的矩阵。Q：在打满5局，A队可胜局数的矩阵。R1:在打满5局，A队每局可胜的概率矩阵。R2:在打满5局，A队最终可胜的概率矩阵。Q1:在打满5局，B队每局可胜的概率矩阵。Q2:在打满5局，B队最终可胜概率的矩阵。五、模型建立A队打满5局A队可胜ija局。的矩阵()ijRa已知，如下：123123214034531R因此可以求出B队打满5局A队可胜ijb局。由此得矩阵)(ijbQ如下：411224053Q321321对于A队，由R矩阵可以求得矩阵R1，ijP1=/5aij:2.06.018.06.008.02.04.01R同理对于B队：8.02.02.04.04.08.0016.01Q2）（ijP比赛是五局三胜制，要在五局三胜制比赛中最后获胜，才是真正获胜。下面我们来计算在五局三胜制比赛中A队最后获胜的概率：A队最后获胜，可以分成下列几种情况：令ijijP1p;（1）A队前三局获胜。这种情况的概率为3jip；（2）在前三局中A队胜二局，B队胜一局，第四局A队又胜一局。这种情况的概率为)1(3)1(3223jijijijijipppppC；（3）在前四局中A队胜二局，最后A队又胜一局。这种情况的概率为232224)1(6)1(jijijijijipppppC；把这三种情况加起来，就得到在五局三胜制比赛中A队最后获胜的概率jiq2333)1(6)1(3jijijijijippppp)]21(6)1(31[23jijijijipppp)61510(23jijijippp。将2.06.018.06.008.02.04.01R各数值代入上式，可以计算出A队最后获胜的一个矩阵06.068.0194.068.0094.006.032.0)(2Rijr对于B队，最后获胜，可以分成下列几种情况：令ijijP2p;（1）B队前三局获胜。这种情况的概率为3jip；（2）在前三局中B队胜二局，A队胜一局，第四局B队又胜一局。这种情况的概率为)1(3)1(3223jijijijijipppppC；（3）在前四局中B队胜二局，最后B队又胜一局。这种情况的概率为232224)1(6)1(jijijijijipppppC；把这三种情况加起来，就得到在五局三胜制比赛中A队最后获胜的概率jiq2333)1(6)1(3jijijijijippppp)]21(6)1(31[23jijijijipppp)61510(23jijijippp。将8.02.02.04.04.08.0016.01Q各数值代入上式，可以计算出B队最后获胜的一个矩阵94.006.006.032.032.094.00186.0q2Q）（ij问题1：最后平均获胜概率为：A队9/p131i31ijjrB队9/q2p31i31ijj取p1,p2中大者所属队即为实力更强的。问题2：对于A队，若选用1出场顺序，平均获胜概率为3/p31j11jr；若选用2出场顺序，平均获胜概率为3/p31j22jr；若选用3出场顺序，平均获胜概率为3/p31j33jr；对于B队，若选用1出场顺序，平均获胜概率为3/p31j11jq；若选用2出场顺序，平均获胜概率为3/p31j22jq；若选用3出场顺序，平均获胜概率为3/qp31j33j；稳妥方案即为选平均获胜概率最大的那种出场方案。即A队选用1p，2p，3p中较大的那种出场顺序。B队选用1p，2p，3p中较大的那种出场顺序。问题3：此问题类似问题2，选用较为稳妥的方案即是。问题4：此问题将在模型优缺点分析中讲述。六、模型求解问题1：依题目所给的数据，52.09/p131i31ijjr,48.09/q2p31i31ijj。队的实力更强些。A2p1p问题2：依题目所给的数据，44.03/p31j11jr54.03/p31j22jr58.03/p31j33jr所以A队最稳妥的方案是3出场顺序。56.03/p31j11jq53.03/p31j22jq35.03/qp31j33j所以B队最稳妥的出场顺序是1出场顺序所以当A队以3，B队以1出场顺序，时，找到对应的R2，或者Q2矩阵，得知，最终将是A队获胜。问题3：由问题2，知在稳妥的方案下，A队获胜的概率为1，所以会选用以3的出场顺序参赛。问题4：此问题将在模型优缺点分析中讲述。七、模型优缺点分析比赛为五战三胜制，但矩阵R中的元素却是在打满五局的情况下得到的，这样的数据处理和预测方式优点也有缺点。优点：虽是在打满五局的情况下得到的，但是可以推测两队的实力情况，进而指导出场方案缺点：这只是在打满五局的情况下得到的，并不符合实际参赛规格，因此以上处理也仅供参考，但并不能完全凭借。八、进一步讨论针对其他赛事，如网球，排球，以及下等，我们也可以采取上述类似的方案，建立相应的模型，从而找到最优解。九、附录