工程数学积分变换(第四版)第2讲

第二节Fourier变换一.Fourier变换的概念二.单位脉冲函数及其Fourier变换三.非周期函数的频谱我们知道,若函数f(t)满足Fourier积分定理的条件,则在f(t)的连续点处,有jj1()()eded2tftf可以看出f(t)与F()可相互转换,分别记为F()=F[f(t)]和f(t)=F1[F()]1.Fourier变换的概念j()()ed(1.9)Ff设j1()()ed(1.10)2tftF则(1.9)式叫做f(t)的Fourier变换式,(1.10)式为F()的Fourier逆变换式,可以说象函数F()和象原函数f(t)构成了一个Fourier变换对.它们有相同的奇偶性(习题二).还可以将f(t)放在左端,F()放在右端,中间用双向箭头连接:f(t)F()F()称作f(t)的象函数,(1.9)式右端的积分运算,叫做f(t)的Fourier变换,f(t)称作F()的象原函数.同样,(1.10)式右端的积分运算,叫做F()的Fourier逆变换.(),ft当为奇函数时002()()sindsindftft由f(t)的Fourier正弦积分公式可得,0()()sindsFftttf(t)的Fourier正弦变换02()()sindsftFtF()的Fourier正弦逆变换(),ft当为偶函数时由f(t)的Fourier余弦积分公式002()()cosdcosdftft可得,0()()cosdcFfttt02()()cosdcftFtf(t)的Fourier余弦变换F()的Fourier余弦逆变换()[()]ssFftF1()[()]ssftFF()[()]ccFftF1()[()]ccftFFtf(t)0,01()Fourier,e,00.(),.ttfttft例求函数的变换及其积分表达式其中这个叫做指数衰减函数是工程技术中常碰到的一个函数1根据(1.9)式,有j()[()]()edtFftfttF这就是指数衰减函数的Fourier变换.j0eedttt(j)(j)0eed0jttt221jj根据(1.10)式,有1j1()[()]()ed2tftFFF现在,我们来求指数衰减函数的积分表达式.j221jed2t2201cossindtt22000cossind()/20e0ttttfttt因此221cossind2tt22()eFourier,,0.,.tftAA例求函数的变换及其积分表达式其中这个函数叫做钟形脉冲函数也是工程技术中常碰到的一个图见14数(2页函)(1.9),解:根据式有2jeedttAt22j24eedtAtj()[()]()edtFftfttF24eA1.柯西-古萨基本定理.22..tedt普阿松积分公式见复变函数课本第170页例5.因此有如果令=1/2,就有422eeAAt2222e2eAAt可见钟形函数的Fourier变换也是钟形函数.求钟形脉冲函数的积分表达式,根据(1.10)式1j1()[()]()ed2tftFFF241e(cosjsin)d2Att240ecosdAt因此,我们得到一个含参量广义积分的结果:2240ecosd()ttfteA1,01,3().0,1.tftt例求函数的正弦变换和余弦变换(1.11)()ft解:根据式,的正弦变换为()[()]ssFftF0()sindfttt11001sindsind()tttt1cos,(1.13)()ft根据式,的余弦变换为()[()]ccFftF0()cosdfttt11001cosdcosd()ttttsin.注意:在半无限区间上的同一函数,其正弦变换和余弦变换结果是不同的.在物理和工程技术中,常常会碰到单位脉冲函数.有许多物理现象具有脉冲性质,如：2.单位脉冲函数及其Fourier变换在电学中,要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电流;在力学中,要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等.在原来电流为零的电路中,某一瞬时(设为t=0)进入一单位电量的脉冲,现在要确定电路上的电流i(t).0,0,()1,0.tqttttqttqttqtit)()(limd)(d)(0由于电流强度是电荷函数对时间的变化率,即当t0时,若以q(t)表示上述电路中的电荷函数,则当t=0时,q(t)在这一点不连续,0是q(t)的第一类间断点.从而在普通导数意义下,q(t)在这一点不存在导数.i(t)=0.如果我们形式地计算这个导数,则得00(0)(0)1(0)limlimttqtqitt问题:在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度.解决办法:引进狄拉克(Dirac)函数,简单记成函数.弱收敛:若对任何一个无穷次可微的函数f(t),如果函数序列{Sn}满足lim()()d()()dbbnaanStfttStftt{()}().nStSt则称函数列弱收敛于函数出发点:想办法把无法表示的函数用某个可以表出的函数列求弱极限来得到.称e(t)的弱极限为-函数,记为(t)0lim()()d()()dtftttfttee其它00/1)(eeette(t)1/eeO0()()ttee弱即即:-函数可以看成一个普通函数序列的弱极限.-函数的性质:()d1.tt证明:因为对任何一个无穷次可微的函数f(t),0()()dlim()()dtftttfttee,()1,ft特别的取则0()dlim()dttttee01()dd1.ttteee显然,()d1.tt所以,性质1.工程上将-函数称为单位脉冲函数,tO(t)1可将-函数用一个长度等于1的有向线段表示,这个线段的长度表示-函数的积分值,称为-函数的强度.(t)()()()d(0).fttfttf若为无穷次可微函数,则性质2.证明:0()()dlim()()dtftttfttee由于001lim()dftteee001lim()dftteee无穷次可微函数必连续,由积分中值定理可得0()d()(01),fttfeee01()()dlim()tfttfeeee所以0lim()fee(0).f-函数的筛选性质推论.00()()()d().ftttfttft若为无穷次可微函数,则证明:000()()dlim()()dttfttttfttee由于0001lim()dttftteee0001lim()dttftteee001lim()fteeee0()ft-函数的其他性质（习题13）1.()();tt-函数是偶函数,即-d2.()(),()(),dtdututtt0,0,()1,0tutt其中称为单位阶跃函数；3.()'()()d'(0),fttfttf若为无穷次可微函数,则(),()()d(1)(0).nnntfttf一般地有-函数的Fourier变换-函数的Fourier变换为:()[()]()edjtFtttF根据-函数的筛选性质可得,0()[()]()ed1.jtjttFttteF可见,-函数和1构成了一个Fourier变换对.0-0,()Fourierjttte同理和也构成了一个变换对.注意:此处的Fourier变换是一种广义Fourier变换.所谓广义是相对于古典意义而言的.tO(t)1OF()1可见,单位脉冲函数(t)与常数1构成了一Fourier变换对.同理,(tt0)和亦构成了一个Fourier变换对.0jte在物理学和工程技术中,有许多重要函数不满足Fourier积分定理中的绝对可积条件,即不满足条件ttfd|)(|例如常数,符号函数,单位阶跃函数以及正,余弦函数等,然而它们的广义Fourier变换也是存在的,利用单位脉冲函数及其Fourier变换就可以求出它们的Fourier变换.引入单位脉冲函数的意义:0,0,4()Fourier1,01().tuttj例证明单位阶跃函数的变换为O|F()|Otu(t)1,()(),FourierjF事实上若由逆变换可得证:分析:jFourier()()ed,tFftt已知变换为j1Fourier()()ed,2tftF逆变换为当没有办法直接验证F()是一个函数的Fourier变换时,可以将F()代入Fourier逆变换,看结果是否为f(t).1j11()[()]()d2jtftFeFjj11d()d2j2ttee1cossind2jtjtcossinjtt1sind2t01sindtj1()d2tej012tte120sind,2因为则0,02sind0,0,02tttt011sin()d2tft11()0,022111,022tt011sin0,()d.2ttut当时1()()Fourier.jut因此,和构成了一个变换对若F()=2()时,由Fourier逆变换可得jj11()()ed2()ed22ttftF所以1和2()也构成了一个Fourier变换对.j1()()ed2tftF推论:1同理,如果F()=2(0)j012()ed2t0jet0j0e2()Fouriert即和也构成了一个变换对.由上面两个函数的变换可得jed2()ttj12()ed12t0j()0ed2()ttj012()ed2t0jet12()002()jte意义:函数的引入使得在普通意义下不存在的积分有了确定的数值.()F()F()F()F例5求正弦函数f(t)=sin0t的Fourier变换.j0()[()]esindtFftttF由Fourier变换公式