余弦定理教学设计

余弦定理教学设计魏永智一、教学目标：（1）由已有的知识直角三角形、正弦定理进一步研究三角形中其他的边角关系。（2）学生合作探究通过直角三角形等已有知识，经历余弦定理的证明过程。（3）注重公式结构及变形，掌握公式的内在联系（4）公式的顺用与逆用二、教学重点：余弦定理的发现及证明过程教学难点：余弦定理的发现及证明三、信息化设备：电子白板，录播室，几何画板四、教学过程知识回顾;：(1)在一个三角形中各边和它的对边的正弦比相等，即：2sinsinsinabcRABC(2)运用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题呢？由,sinsinsinsinabbcABBC，可以解决“已知两角及其一边可以求其他边。”“已知两边及其一边的对角可以求其他角。”等解三角形问题余弦定理的教学过程：1）创设情境，激发学生兴趣我们已经解决了两边及一边对角，以及两角一边解三角形----------正弦定理。问题1：思考：如图，在ABC中，已知,,ABCBCaACbBCAC中，求c即AB。我们发现用正弦定理已无法解决这个问题，这就需要我们继续研究三角形中其他的边角关系。问题2：我们研究问题的途径是什么？（由特殊到一般）问题3：怎样把一般三角形化为特殊三角形呢？（分割、辅助线化为直角三角形）问题:4、怎样表示出三角形的边c呢？让学生遇到问题，激发兴趣，尝试解决2）余弦定理的得出及推导：cBbBbBaBbBBCA先让学生尝试具体问题：①已知三角形ABC中，a=5，b=1，C=60，求第三边c进而，改为字母：②已知三角形ABC中，BC=a，AC=b，∠ACB=C，试用a，b及C表示第三边c设想：学生可能把图形加以分割转化为已有知识直角三角形进行解决。小组合作探讨：证明：学生可能想法有方法（1）化归为直角三角形，作BD⊥AC于D，DABC教师引导：问题5：怎样把未知量用已知量表示出来呢？（直角三角形边角关系）化归思想CabbaCabCaCDACBDADBDABcos2)cos()sin()(222222222方法（2）教师引导：在证明正弦定理时BCBAAC两边同时乘以AD推出正弦定理那么三角形中还有其他方法将向量数量化吗？（平方）向量法ABACCB)cos(22)(222222CCBACCBACCBACCBACCBACABCabbaccos2222方法（3）教师引导：向量是二维空间的数，能否转化到二维空间推导呢？（建系）请学生尝试坐标法以C为原点，CB为x轴建立直角坐标系，则A（bcosC，bsinC）,,B（a，0）,CababCbaCbABcos2)sin()cos(22222同理可得，Abccbacos2222，Baccabcos2222教师可以借助用几何画板形象直观的反映出数量关系。8642-2-4-10-55AC2+BC2-2×AC×BC×cosmÐACB()=33.94厘米2cosmÐACB()=-0.37AB2=33.94厘米2BC=3.02厘米AC=4.00厘米AB=5.83厘米mÐACB=111.62°运动点CAB(几何画板供参考)利用几何画板制作动画，帮助学生认知：Cabbaccos2222公式变形：bcacbA2cos222，acbcaB2cos222，abcbaC2cos222问题6我们怎样记忆公式：结构的对称性，角和边的对应，我们观察一个等式是从整体到局部，由特殊到一般的过程，余弦定理就是勾股定理的推广。（1）余弦定理与正弦定理一样，也是任何三角形边角之间存在的共同规律,余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例.（2）等式2222cosabcbcA含有四个量abcA、、、，从方程的角度看，已知其中三个量，总可以求出第四个量。问题7：我们为什么要学余弦定理，他有什么用呢？利用余弦定理及推论可以解决以下两类三角形的问题：①已知三边求三角形的三个角；②已知两边及其夹角求三角形的其他边与角。这两种类型问题在有解时都只有一个解，把“边、边、边”和“边、角、边”判定三角形全等的定理从数量化的角度进行刻画，使其变成了可计算的公式。（4）从余弦定理和余弦函数的性质可知：在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角；如果两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；余弦定理是勾股定理的推广，利用余弦定理可以解决以下两类问题：已知三边求三角；已知两边和夹角求第三边和其他各角五、问题解决：问题1：ABC中，7,5,3abc，解这个三角形。解：∵abc，∴这个三角形的最大角是A。222cos2bcaAbc2225371.2532所以这个三角形的最大角是23A。引申：已知三角形三边长为abc、、，怎样判断ABC是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形？反馈练习：1、ABC中，23,62,4acB，求b及A。（学生板演、教师评讲，强调规范化解题）六、归纳小结反思拓展（一）归纳小结1、余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。能否用余弦定理证明勾股定理呢？2、余弦定理有两个基本应用：一是已知三边求三角,二是已知两边及他们的夹角求第三边。3、余弦定理和正弦定理是同一三角形的约束条件的不同表现形式，在本质上应该是一致的。4、要让学生体会余弦定理的发现过程，尤其是怎么想到这个方法的。（二）反思拓展、课后探讨1、余弦定理和正弦定理反映了同一三角形边、角之间的的度量关系,本质上是一致的.你能证明这两个定理时等价的吗?2、总结解三角形的方法：已知三角形边角中哪三个量，有唯一解或多解或无解？分别用什么方法？作业;1、P51练习第1、2题；2、课后探讨内容