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第2课时等差数列的性质*n+1n（一）等差数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等差数列.等于同一个常数，那么这个数列就叫做a-a=d(n∈N)复习回顾（二）等差中项的概念由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项.n1nm（三）等差数列的通项公式a=a+(n-1)d推导方法：迭加法.推广的通项公式：a=a+(n-m)d.N*1.,,,,,,2,2.33在等差数列中，若则探究等差数特别地：若则思考：若，则成立吗的性质？列nmnpqmnppqnmamnpqmnpqaaaamnpaaapqnmaaaa答：成立若是公差为的等差数列则和也是等差数列.2212.,nnnadaa思考：在上述两个数列中，首项和公差各是多少？数列的首项是公差是数列结论项差：的首是公是22211,2;,2.nnaadaad例1某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km（不含4千米）计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费?n1根据意，市出租的行程大于或等于4km，每增加1km，乘客需要支付1.2元.所以，我可以建立一等差列a算.令a=11.2,表示4km的，公差d=1.2.那么解：题当该车时们个数来计车费处车费当车处时时车费11出租行至14km，n=11,此需要支付a=11.2+(11-1)×1.2=23.2(元).1方法技巧.建立等差数列的数学模型；2.解得模型的结果.车费需要支付2答：3.2元.例2已知数列的通项公式为，其中，为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？napnqpqnannn-1判定a是不是等差列，可以利用等差列的定，也就是看a-an1是不是一与n的析：常.分数数义个无关数nnn-1nn-1n取列a中的任意相a与a(n1),求差得a-a=pn+q-pn-1+q=pn+q-(pn-p+q)=p.它是一与n的常解：.所以a是等差列.数邻两项个无关数数证明等差数列的方法：1.利用定义;2.利用等差中项的性质;3.利用通项公式是一次函数的性质.例3梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽.解:由题意知，建立一个等差数列{an}来计算中间各级的宽，由已知条件，有a1=33,a12=110，n=12,又a12=a1+(12-1)d，即110＝33＋11d，所以d=7，因此，a2=33+7=40，a3=40+7=47，…，a11=96+7=103.答：梯子中间各级的宽从上到下依次是40cm、47cm、54cm、61cm、68cm、75cm、82cm、89cm、96cm、103cm.例4在等差数列{an}中，(1)已知a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20.(2)已知a3+a11=10，求a6+a7+a8.解：由a1+a20=a6+a15=a9+a12及a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10.解：a3+a11=a6+a8=2a7，又a3+a11=10，所以a6+a7+a8=（a3+a11）=15.32熟记性质(3)已知a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.解:a4+a5+a6+a7=56，所以a4+a7=28，①又a4a7=187②，联立①②解得a4=17，a7=11，a4=11，a7=17，或所以d=-2或2,从而a14=-3或31.1.等差数列{an}的前三项依次为a-6，2a-5，-3a+2，则a等于（)A.-1B.1C.-2D.2B2(2a-5)=(-3a+2)+(a-6).提示:2.（福建高考）等差数列{an}中，则数列{an}的公差为（)15410,7,aaaA．1B．2C．3D．4B提示:为153343因a+a=2a=10,所以a=5，d=a-a=23．（上海高考）在等差数列中，若naa1+a2+a3+a4=30，则a2+a3=.解析：123423232()3015aaaaaaaa答案：154.（重庆高考）若2,a,b,c,9成等差数列，则c-a=________________.47429d272dac解析：因为2,a,b,c,9成等差数列，所以公差,72答案：.（一）等差数列的基本性质1.在等差数列{an}中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq.(m,n,p,q∈N*)2.等差中项：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.3.等差数列中项数成等差数列的项构成等差数列.4.两个等差数列{an},{bn}的和、差还是等差数列,即{an±bn}也是等差数列，{pan}、{an+c}也是等差数列.（二）等差数列的证明1.利用定义;2.利用等差中项的性质;3.利用通项公式是一次函数的性质.