布朗运动的计算

§2.与布朗运动有关的随机过程过程1：d维布朗运动若12(),(),,()nWtWtWt是d个相互独立的SBM，则称1=((),,())dWtWtW是d维标准布朗运动.过程2：2(,)布朗运动2,=+(),0,0tBtWttR相关函数均值函数2,()=Bmtt2,22(,)=+min(,)BRststst2(,)布朗运动是一个高斯过程性质带漂移的布朗运动的民用航空发动机实时性能可靠性预测，航空动力学报2009，Vol.1,No.12.任淑红2(,)布朗运动是一个高斯过程证明对任意自然数2,n不是一般性，取n个不同的时间指标010=,nttt定义增量22-1,,=-,=1,,kkkttBBkn则2-1-1~((-),(-))kkkkkNtttt221,,1(,,)=(,,)nttnnnBBM过程3：布朗桥=()-(1)[0,1]brtBWttWt则称={,[0,1]}brbrtBBt为从0到0的布朗桥均值函数()=[()-(1)]=0,[0,1]brBmtEWttWt相关函数(s,)=min{s,t}-st,,[0,1]brBRtst性质，从0到0的布朗桥是高斯过程例设常数,,abR定义从a到b的布朗桥：=+(-)+[0,1]abbrttBabatBt证明：01(1)=,=ababBaBb(2)从a到b的布朗桥是高斯过程,且()=+(-)[0,1]abmtabatt(,)=[(-())(-(t))=min{,}-[0,1]abababababstCstEBmsBmststt布朗桥在研究经验分布函数中起着非常重要的作用。设X1,X2,…Xn,…独立同分布，Xn~U(0,1)，对0s1,记1innXsiNsINn(s)表示前n个X1,X2,…Xn中取值不超过s的个数，1nnFsNsn称Fn(s)为经验分布函数。显然Nn(s)~B(n,s)，由强大数定理有补充：布朗桥在统计中的应用lim1nnPFss由格利汶科-康泰利定理可以得到更强的结果，01limsup01nnsPFss即Fn(s)以概率1一致地收敛于s.,nnsnFss令则222(1)0()(1)1,lim21nnnnuxssnnEsnEFssNsDsnDssnxPsxeduss所以的极限过程是一正态过程。可以证明的联合分布趋于二维正态分布。,01nss,nnst201cov,111[][]11[](1)1nnnnnnnnnnnnnnnnnnststEstnEFssFttENsNtntEFsnsEFtnstnEENsNtNtnstENtENsNtnstnnssENtNtnstntnntnstntntst所以当n→∞时，(),01nss的极限过程即为布朗桥过程。一般的，设X1,X2,…Xn,…独立同分布，F(x)为分布函数，则随机变量F(Xi)~U(0,1)。记1innFXsiNsI类似可讨论的极限分布。supnxnFXFX过程:4：几何布朗运动（指数布朗运动）2,2=exp()0,,0gettBBtR均值函数相关函数22,()=[exp()]=exp{(+)},02getBmtEBtt22(-)(+)22(s,)=,,0getstssBRteeest股票价格服从几何布朗运动的证明谢惠扬2,()=[exp()]getBmtEB2-++2-1=2xtxteedxt2-2-+2-1=2xtxtteedxt22(-)()-+22-1=2xttttteeedxt2=exp{(+)},02tt+()+(t)(+)+(()+())(s,)==gesWstWstWsWtBRtEeeEe(+)(()+())=stWsWteEe(+)[()+(()-())+()]=stWsWtWsWseEe(+)2()[()-()]=stWsWtWseEeE22(-)(+)22=,,0tstsseeest过程5：反射布朗运动=()0retBWtt均值函数2()=[()]=,0reBtmtEWtt()=[()]reBmtEWt2-+2-1=2xtxedxt2+-202=(-)2xttet2=,0tt过程6：奥恩斯坦-乌伦贝克过程-=(()00outtBeWtt），其中2201()==(-1)2tsttedse均值函数-()=[(()]=0,0outBmtEeWtt）-(+)(,)=min{(s),(t)},,0oustBRstest相关函数补充：随机变量序列或随机过程均方极限均方连续均方可导均方可积1．均方极限的定义定义设,,1,2,nXXHn如果则称{Xn,n=1,2,…}均方收敛于X,或称X为{Xn,n=1,2,…}的均方极限，记为..nnlimXX2lim0nnEXX2均方连续设{X(t),t∈T}是二阶矩过程,t0∈T,若00..()()ttlimXtXt则称{X(t),t∈T}在t0处均方连续若对任意的t∈T,{X(t),t∈T}在t处均方连续,则称{X(t),t∈T}在T上均方连续.或称{X(t),t∈T}是均方连续的.1.均方连续定义3均方导数1.均方导数的定义设{(),}XttT是二阶矩过程，0,tT若均方极限000()()..tXttXtlimt存在,则称此极限为{(),}XttT在t0点的均方导数.0()Xt或0().ttdXtdt这时称{(),}XttT在t0处均方可导．记为4均方积分1.均方积分的定义设{X(t),t∈[a,b]}是二阶矩过程，f(t,u)是[a,b]×U上的普通函数，对区间[a,b]任一划分01natttb1,1,2,,)kkktttkn（记1[,],1,2,,kkkttntk任取（）作和式1(,)(),kknkkttfuXtH如果以下均方极限存在01..(,)()nkkkklimftuXtt1maxkknt令该均方极限值Y(u)称为{(,)(),[,]}ftuXttab在[a,b]上的均方积分.kt且此极限不依懒于对[a,b]的分法及的取法,则称{(,)(),[,]}ftuXttab在[a,b]上均方可积.(,)(),baftuXtdt记为即(,)(),()baftuXtdtuYUu结论设二阶矩过程{X(t),t∈T}均方可导.则(1)导数过程的均值函数等于原过程{(),}XttT均值函数的导数，即()(),;XXmtmttT{(),}XttT(2)导数过程{(),}XttT和原过程{(),}XttT的互相关函数(,)XXRst等于原过程{(),}XttT的相关函数(,)XRst关于s的偏导数，即(,)(,),,;XXXRstRststTs(,)(,),,;XXXRstRststTt(3)原过程{(),}XttT{(),}XttT和导数过程的互相关函数(,)XXRst等于原过程{(),}XttT的相关函数(,)XRst关于t的偏导数，即的的(4)导数过程{(),}XttT相关函数(,)XRst等于原过程{(),}XttT相关函数(,)XRst的二阶混合偏导数，即22(,)(,)(,),,.XXXRstRstRststTstts是参数为定义设{(),0}Wtt2的Wiener过程.如果存在实随机过程以2()st为其相关函数，则称该过程为Wiener过程{(),0}Wtt的导数过程．记为{(),0}.Wtt从而2(,)(),,0.WRststst称参数为2的Wiener过程{(),0}Wtt的导数过程{(),0}Wtt为参数为2的白噪声过程或白噪声.七.布朗运动的导数过程tststsRsW,0,),(2因为tststsu,0,1)(令：)(),(2tsutsRsW则有()()stDriustcat再引进函数：)(),(22tstsRstW于是有)(),(22tstsRtsW同理八.布朗运动的积分过程0()(),().tStWuduSt令称为积分布朗运动积分布朗运动是正态过程()0Es20(,)()23SstssCstt当九：在某点被吸收的布朗运动()0.(),(),{(),0}.()xxxTWtxxWttTZtxtTZttxxZt设为布朗运动首次击中的时刻，令则是击中后被吸收停留在状态的布朗运动是混合型随机变量.本章作业1.2.3.6.8.举例1.写出(μ，σ2)布朗运动的均值向量和协方差矩阵。2.计算标准布朗运动的二维分布函数及其密度函数。11()()21221()(2)TxxnBexfB3)mNCBCTnm（）Y=XC(C),服从维正态分布(C,3.写出W(1)+W(2)+W(3)+W(4)的分布