排列组合课件

做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有N=m1×m2×…×mn种不同的方法.2.乘法原理：做一件事情，完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法.1.加法原理：复习引入引例1在航海中，航舰之间常以“旗语”相互联系，即利用不同颜色的旗帜的排列传递某种信号.现有红、黄、蓝三面旗子，同时升旗，共可表示多少种不同的信号？观察与思考上中下红黄蓝黄蓝红蓝红黄蓝黄蓝红黄红复习引入引例1在航海中，航舰之间常以“旗语”相互联系，即利用不同颜色的旗帜的排列传递某种信号.现有红、黄、蓝三面旗子，同时升旗，共可表示多少种不同的信号？引入概念上中下红黄蓝黄蓝红蓝红黄蓝黄蓝红黄红红黄蓝以上的每一种“旗语”－－利用不同颜色的旗帜的排列传递某种信号.就叫做“从3个元素中选取3个元素的一个排列”.本问题共有6个不同的排列！根据乘法原理：3×2×1＝6.深化理解把这个计算过程321633记为A：引例2从甲、乙、丙3名同学中选2名参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？第一步：确定参加上午活动的同学即从3名中任选1名，有3种选法第二步：确定参加下午活动的同学，有2种方法根据乘法原理：3×2=6即共6种方法.复习引入引例2从甲、乙、丙3名同学中选2名参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？甲乙丙乙丙甲丙甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙甲乙上午下午相当于队列站法深化理解引例2从甲、乙、丙3名同学中选2名参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？从3个不同的元素a,b,c中任取2个，然后按一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法.我们把上面问题中被取的对象叫做元素.所有不同排法是ab,ac,ba,bc,ca,cb.甲乙丙的每一种排列法，就叫做“从3个元素中选取2个元素的一个排列”.共有3×2＝6个排列.深化理解把这个计算过程32623记A为：所有不同排法是45452432352533421深化理解引例3由1、2、3、4、5能组成多少个没有重复数字的三位数？第1位第2位第3位45451431351533412454524121525114233215231542135253132412341524312134每一个数，就叫做一个“排列”.引例3由1、2、3、4、5能组成多少个没有重复数字的三位数？第1位第2位第3位解：要得到一个由1、2、3、4、5能组成没有重复数字的三位数，可以通过如下三步：①从1、2、3、4、5中选1个放到第一位，有5种放法；②从1、2、3、4、5中剩余的4个中选1个放到第二位，有4种放法；③从1、2、3、4、5中剩余的3个中选1个放到第二位，有3种放法.根据乘法原理，得到一个这样的三位数有N=5×4×3＝60种不同的方法，这样的三位数60个.复习引入把这个计算过程5436035记为A：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.排列的概念：理解：⑴n个元素是不同的，取出的m个元素是不同的.m,n是正整数，且m≤n．⑵排列是m步的集成结果：“取出第1个元素放到第1位”、“取出第2个元素放到第2位”、……、“取出第m个元素放到第m位”.⑶两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也完全相同.基本概念或看作是两大步的集成结果：先“取出m个不同元素”，再“按照一定顺序将m个不同元素排成一列”.练习1从a,b,c,d这4个字母中，每次取出3个按顺序排成一列,共有多少种不同的排法？解：共有4×3×2=24个.abcdcdbdbcbacdcdadaccabdbdadabdabcbcacab所有的排法：abcabdacbacdadbadcbacbadbcabcdbdabdccabcadcbacbdcdacdbdabdacdbadbcdcadcb4322434记为A：课堂练习第1位→4第2位→3第3位→2排列数的概念：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.用符号表示.mnA62323A如:从3个不同的元素a,b,c中任取2个，然后按一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排列方法.基本概念下标n是被选数上标m是选出数问题：从n个不同元素中出2个元素的排列数是多少？2nA3nA呢？)(nmAmn呢？第1位第2位nn-12nA=n(n-1)第1位第2位第3位nn-1n-23nA=n(n-1)(n-2)第1位第2位第3位第m位n-1nn-2n–(m–1))1()2)(1(mnnnnAmn公式推导nmNmn,,*)1()2)(1(mnnnnAmn排列数公式：公式的特点：基本公式是“取出第1个元素放到第1位”的方法数、“取出第2个元素放到第2位”的方法数、……、“取出第m个元素放到第m位”的方法数的乘积.mnA所以，是以上m步的集成的运算公式！mnA⑴m个连续自然数的连乘积；⑵最大因数为n以下依次减1，最小因数是（n-m+1）.引例1在航海中，航舰之间常以“旗语”相互联系，即利用不同颜色的旗帜的排列传递某种信号.现有红、黄、蓝三面旗子，同时升旗，共可表示多少种不同的信号？解：每一种“旗语”就是“从3个元素中选取3个元素的一个排列”.排列数为：＝3×2×1＝6.深化理解33A∴共可表示6种不同的信号.引例2从甲、乙、丙3名同学中选2名参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？解：问题可以看为从3个不同的元素中任取2元素的排列问题.其排列数为：深化理解＝3×2＝6.23A∴共有6种不同的方法.引例3由1、2、3、4、5能组成多少个没有重复数字的三位数？第1位第2位第3位解：可以看为从5个不同的元素中任取3元素的排列问题.其排列数为：深化理解＝5×4×3＝60.35A∴共有这样的三位数60个.nmNmn,,*)1()2)(1(mnnnnAmn排列数公式：例计算（1）（2）36A27A解：（1）12045636A（2）426727A例题讲解选择题：等于（）（A）（B）（C）（D）89161718818A918A1018A1118AD练习2课堂练习nmNmn,,*)1()2)(1(mnnnnAmn排列数公式：（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？3554360A（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？555125练习课堂练习组合与组合数公式问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？236A甲、乙；甲、丙；乙、丙3从已知的3个不同元素中每次取出2个元素,并成一组问题二从已知的3个不同元素中每次取出2个元素,按照一定的顺序排成一列.问题一排列组合有顺序无顺序一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.排列与组合的概念有什么共同点与不同点？（一）、组合的定义:?组合定义:一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．排列定义:一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素”不同点:排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关.概念讲解思考一:aB与Ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?１）元素相同；２）元素排列顺序相同.元素相同概念理解构造排列分成两步完成，先取后排；而构造组合就是其中一个步骤.思考三:组合与排列有联系吗?判断下列问题是组合问题还是排列问题?(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个?(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票?有多少种不同的火车票价？组合问题排列问题(3)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次?组合问题组合问题组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果.1.从a,b,c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是:ab,ac,bc2.已知4个元素a,b,c,d,写出每次取出两个元素的所有组合.abcdbcdcdab,ac,ad,bc,bd,cd(3个)(6个)概念理解从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.mnC233C246C如:从a,b,c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合个数是:如:已知4个元素a、b、c、d,写出每次取出两个元素的所有组合个数是：概念讲解（二）、组合数注意：是一个数，应该把它与“组合”区别开来．mnC1.写出从a,b,c,d四个元素中任取三个元素的所有组合abc，abd，acd，bcd.bcddcbacd练一练组合排列abcabdacdbcdabcbaccabacbbcacbaabdbaddabadbbdadbaacdcaddacadccdadcabcdcbddbcbdccdbdcb（三个元素的）1个组合，对应着6个排列你发现了什么?PPC333434344C第一步，（）个；336A第二步，（）个；333.434CAA根据分步计数原理，334343ACA从而34A对于，我们可以按照以下步骤进行（三）、组合数公式排列与组合是有区别的，但它们又有联系．一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分为以下2步：第1步，先求出从这n个不同元素中取出m个元素的组合数．mnC第2步，求每一个组合中m个元素的全排列数．mnA根据分步计数原理，得到：mmmnmnACA因此：!121mmnnnnAACmmmnmn这里m,n是自然数，且mn，这个公式叫做组合数公式．概念讲解组合数公式:(1)(2)(1)!mmnnmmAnnnnmCAmmmmnmnCAA!!()!mnnCmnm01.nC我们规定：从n个不同元中取出m个元素的排列数组合数的两个性质:mnmnnCC⑴11mmmnnnCCC⑵证明:1!!!()!(1)![(1)]!mmnnnnCCmnmmnm)!1(!!)1(!mnmmnmnn)!1(!!)1(mnmnmmn)!1(!)!1(mnmnmnC111mmmnnnCCC11mmmnnnCCC⑵①公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数；②此性质的作用：恒等变形，简化运算；③等式体现：“含与不含某元素”的分类思想.11()()mmmnnnaCCaC含含素元素不元例．一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球.（1）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？（2）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？（3）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？解：（1）取出3个球中有黑球的方法数27C76212!例题讲解例1．一个口袋内装有大小不同的7