《博弈论与信息经济学》混合战略纳什均衡

1.混合策略与期望盈利例：浪子博弈•在这一博弈中，两个参与人都不知道对方选择是否确定地选择某个策略，因此，按照以前所学的知识无法得出均衡解。但是，如果知道对方将以某一概率对某一策略进行选择的话，就可以得出反应函数，就可以按照纳什均衡的方法求得解。2020/2/15博弈论与信息经济学1父母/儿子儿子立志放荡父母支助32-13不助-11002020/2/15博弈论与信息经济学212112111112211111211211211111111221111-1-311523235100.5120pppqqqvpqpqpqpqpqvpqpqpqpqqpvqpppvqpq假定父母选择支助的概率为，选择不支助的概率为；儿子选择立志的概率为，选择不立志的概率为。那么对两个参与人，各自的盈利函数为：20.20.8q，进一步浪子博弈还可以作出如下解释：2020/2/15博弈论与信息经济学3父母/儿子儿子立志（q1）放荡（q2）父母支助（p1）3，2-1，3不助（p2）-1，10，011112211112111221111111111111230512301235100.215100.20vpqpqpqpqqvqpqpqpqppvqqpvqqpvv期望盈利：a.对于父母的期望盈利，如果，即儿子的混合战略，则父母的混合战略取最大值时，最大；相反，如果，即儿子的混合战略，则父母的混合战略取最小值时，最大。b.对于儿子的期望盈利111211121200.511200.50ppqvppqv，如果，即父母的混合战略，则儿子的混合战略取最大值时，最大；相反，如果，父母的混合战略，则儿子的混合战略取最大值时，最大。父母的最佳选择p*=0.5，儿子的最佳选择q*=0.2，解释如下：•（1）当父母选择支助的概率p0.5时，儿子的最佳选择就是放荡；当父母选择支助的概率p0.5时，儿子的最佳选择就是立志。•（2）当儿子选择立志的概率q0.2时，父母的最佳选择就是支助；当儿子选择立志的概率q0.2时，父母的最佳选择就是不支助。2020/2/15博弈论与信息经济学4父母/儿子儿子立志放荡父母支助32-13不助-1100•从上例中可以看出，当参与人在选择战略具有不确定性，考虑纳什均衡时，具体战略的盈利已经显得不很重要，重要的是某个战略的概率分布，因此，纳什均衡的解也就必须包含概率，这样的支付或盈利就称为期望盈利。（1）混合策略•纯战略：参与人在给定的信息下只选择一种特定战略，这样情况下的战略，称为纯战略。•混合战略：参与人在给定信息下以某种概率分布选择不同的战略，在原来纯战略的基础上，选择某个战略的概率分布称为混合战略。2020/2/15博弈论与信息经济学5（2）期望盈利2020/2/15博弈论与信息经济学611111,,;,,,,,,011nniiiKiiiKikKikikikikikiiinGSSuuiKSsspppppppsispiip混合策略的定义：在人博弈中，假定参与人有个纯战略，即，则概率分布，，，是选择战略的概率，称为参与人的混合战略。代表的混合战略空间，。11111,...,,...,;,...,,...,,...,,...,,...,,...,i,ininininiiniiijjisSjGSSSuuussssppppppivpppsus对于博弈，对应于有，，表示局中人的混合战略组合，那么，参与人的期望盈利为：。2020/2/15博弈论与信息经济学7父母/儿子儿子立志（q1）不立志（q2）父母支助（p1）32-13不助（p2）-11001111221211122130230pqpqpqqpqpqp期望盈利：2.混合战略纳什均衡例1.2020/2/15博弈论与信息经济学811*******1,,;,,,,,,nniiiniiiiiinGSSuupspppvppvppp对于人混合博弈，，如果满足，则称为该博弈的混合战略纳什均衡。（海萨尼认为，混合战略博弈就是不完全信息静态博弈。）甲/乙乙红(q)黑(1-q)甲红(p)-111-1黑(1-p)1-1-11,21221,22121vpqpqqvpqqpp甲乙期望盈利为：2020/2/15博弈论与信息经济学912011120210120210,1221011210212pqqppqqppqqppqppqqppqq对于甲来说，为使盈利达到最大，只有调整。如果，即，则越大越好，而的最大值只能取；如果，即，则越小越好，而的最小值只能取；如果，即，则能取任意值，即。对于乙来说，为使盈利达到最大，只有调整。如果，即，则越大越好，而的最大值只能取；如果，即，则越小越好，而的最小值只021010,12ppqq能取；如果，即，则能取任意值，即。2020/2/15博弈论与信息经济学10**0121120,1120,1121120121212qqpqqqqqpq如果如果反应函数：如果，如果如果如果由此可知，这个博弈的纳什均衡为，。pq11O1/21/2甲乙解法2：代数法例2.2020/2/15博弈论与信息经济学11**,2122112012210,2212112vpqpqqvpqpvqpvpqqppq甲甲乙乙甲/乙乙德(q)法(1-q)甲德(p)3211法(1-p)002341214332vpqqvqpp甲乙甲和乙的期望盈利：解法1：反应函数法2020/2/15博弈论与信息经济学12****31141341,,040,1140,13411,,00140344,34,14qpppqqpqqqpq反应函数如下：如果如果如果，如果，均衡如果如果有两个纯战略均衡：（德语，德语）、（法语，法语）；一个混合战略均衡：。pq11O1/43/4甲乙解法2：代数法2020/2/15博弈论与信息经济学13**412143323410414304vpqqvqppvqppvqpq甲乙甲乙甲和乙的期望盈利：例3（三人博弈）•三个参与人A、B、C，每个人的战略集为{1，2，3}。每个人对应于某个战略的支付是用三个人选择战略中的最小数字乘以4，再减去自己所选择战略的值。•三个局中人的混合战略为：p，q，r•学习如何写出三个局中人的矩阵型表达式。2020/2/15博弈论与信息经济学142020/2/15博弈论与信息经济学15A/B/C（sc=1）B123A13，3，33，2，33，1，322，3，32，2，32，1，331，3，31，2，31，1，3A/B/C（sc=2）B123A13，3，23，2，23，1，322，3，26，6，66，5，631，3，25，6，65，5，6A/B/C（sc=3）B123A13，3，13，2，13，1，122，3，16，6，56，5，531，3，15，6，59，9，92020/2/15博弈论与信息经济学161112221121312112212121112221121312112212122114254184644398421242541846443984AAABBBrpprqppqrrpqqpqqqqrqqrpqqprrqppqpppp解：矩阵矩阵矩阵112211131211221212334164142241984CCCrrqpprrqppqpppp2020/2/15博弈论与信息经济学1712312312311221212112122112212121122224224184604111042241846041110AAAABBBBCCCCAABBCrqqrqqqqprrqqprpprppppqrrppqr***123***123***1231122121211212211,0,2211,0,2211,0,2242241846041110Cpppqqqrrrqppqppppqqppr