6.1-空间曲面及其方程--多元函数

返回上页下页目录2020年2月23日星期日1高等数学多媒体课件华南农业大学理学院数学系牛顿（Newton）莱布尼兹（Leibniz）返回上页下页目录2020年2月23日星期日2第六章多元函数微积分第一部分空间解析几何第二部分多元函数微分学第三部分二重积分返回上页下页目录2020年2月23日星期日3主要内容第一节空间曲面及其方程多元函数第二节偏导数全微分第三节复合函数和隐函数的偏导数第四节二元函数的极值第五节二重积分第六节二重积分的应用第七节经济应用Ⅵ返回上页下页目录2020年2月23日星期日4第一节空间曲面及其方程多元函数第六章四、多元函数一、空间直角坐标系二、空间曲面与方程的概念三、常见的空间曲面及其方程五、二元函数的极限与连续性返回上页下页目录2020年2月23日星期日5ⅦⅡⅢⅥxyzⅤⅧⅣ一、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.•坐标原点•坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z轴(竖轴)过空间一定点o,o•坐标面•卦限(八个)面xoy面yoz1.空间直角坐标系的基本概念Ⅰ返回上页下页目录2020年2月23日星期日6xyzo向径11坐标轴上的点P,Q,R;坐标面上的点A,B,C点M特殊点的坐标:有序数组11)0,,(yxA),,(zoxC(称为点M的坐标)原点O(0,0,0);rM在直角坐标系下返回上页下页目录2020年2月23日星期日7坐标轴:坐标面:xyzo返回上页下页目录2020年2月23日星期日82.空间中两点之间的距离设11112222(,,),(,,)MxyzMxyz为空间的两点，记12,MM的距离为12MM，22221212dMMMNNM22212222212121()()().MPPNNMxxyyzz于是空间两点间的距离公式为：222212121()()()dxxyyzz特别地222dxyz返回上页下页目录2020年2月23日星期日9证:21MM2)47(2)31(2)12(1432MM2)75(2)12(2)23(631MM2)45(2)32(2)13(63132MMMM即321MMM为等腰三角形.的三角形是等腰三角形.为顶点例1求证以返回上页下页目录2020年2月23日星期日103、向量及其运算表示法:向量的模:向量的大小,向量:(又称矢量).1M2M既有大小,又有方向的量称为向量向径(矢径):自由向量:与起点无关的向量.起点为原点的向量.单位向量:模为1的向量,零向量:模为0的向量,有向线段M1M2,或a,返回上页下页目录2020年2月23日星期日11规定:零向量与任何向量平行;若向量a与b大小相等,方向相同,则称a与b相等,记作a＝b;若向量a与b方向相同或相反,则称a与b平行,a∥b;与a的模相同,但方向相反的向量称为a的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称两向量共线.若k(≥3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此k个向量共面.记作－a;返回上页下页目录2020年2月23日星期日12(1)向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律:交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加.abbacba)()(cbacbacbacb)(cbababa返回上页下页目录2020年2月23日星期日133a4a5a2a1a返回上页下页目录2020年2月23日星期日14三角不等式a(2)向量的减法返回上页下页目录2020年2月23日星期日15是一个数,规定:;1aa可见;1aa与a的乘积是一个新向量,记作总之:运算律:结合律)(a)(aa分配律)(babaa则有单位向量因此(3)数与向量的乘积返回上页下页目录2020年2月23日星期日16设a为非零向量,则(为唯一实数)证:“”.,取＝±且再证数的唯一性.则,0故.即a∥b设a∥b取正号,反向时取负号,,a,b同向时则b与a同向,设又有b＝a,0)(ab.ab故定理1返回上页下页目录2020年2月23日星期日17“”则例1设M为MBACD解:ABCD对角线的交点,baACMA2BDMB2已知b＝a,b＝0a,b同向a,b反向a∥b.,,,MDMCMBMAba表示与试用baab)(21baMA)(21abMB)(21baMC)(21abMD返回上页下页目录2020年2月23日星期日18在空间直角坐标系下,设点M则沿三个坐标轴方向的分向量.xoyzMNBCA,,,,,轴上的单位向量分别表示以zyxkji的坐标为此式称为向量r的坐标分解式,r任意向量r可用向径OM表示.NMONOMOCOBOA(4)向量的坐标表示返回上页下页目录2020年2月23日星期日19(5)利用坐标作向量的线性运算设),,,(zyxaaaa,),,(zyxbbbb则ba),,(zzyyxxbababaa),,(zyxaaa,0时当axxabyyabzzabxxabyyabzzab平行向量对应坐标成比例:，为实数返回上页下页目录2020年2月23日星期日20在AB直线上求一点M,使解:设M的坐标为如图所示ABMo11MAB及实数得11),,(212121zzyyxx即AMMBAMOAOMMBOMOBAOOM)(OMOBOMOBOA(例3已知两点返回上页下页目录2020年2月23日星期日21得定比分点公式:,121xx,121yy121zz,1时当点M为AB的中点,于是得,221xx,221yy221zzABMoMAB11),,(212121zzyyxx中点公式:说明:由返回上页下页目录2020年2月23日星期日22内容小结2.向量的概念及其线性运算1.空间直角坐标系3.利用坐标变量作向量的线性运算返回上页下页目录2020年2月23日星期日23二、空间曲面与方程的概念求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的222)3()2()1(zyx化简得即说明:动点轨迹为线段AB的垂直平分面.引例:1:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,2:不在此平面上的点的坐标不满足此方程.222)4()1()2(zyx解:设轨迹上的动点为,),,(zyxM,BMAM则轨迹方程.返回上页下页目录2020年2月23日星期日240),,(zyxFSzyxo如果曲面S与方程F(x,y,z)=0有下述关系:(1)曲面S上的任意点的坐标都满足此方程;则F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.两个基本问题:(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.(2)已知方程时,研究它所表示的几何形状(必要时需作图).定义1返回上页下页目录2020年2月23日星期日25故所求方程为方程.特别,当M0在原点时,球面方程为解:设轨迹上动点为即依题意距离为R的轨迹xyzoM0M表示上(下)球面.Rzzyyxx202020)()()(2222000()()()xxyyzzR2222xyzR例1求动点到定点返回上页下页目录2020年2月23日星期日26解:配方得此方程表示:说明:如下形式的三元二次方程(A≠0)都可通过配方研究它的图形.的曲面.表示怎样半径为的球面.球心为例2研究方程返回上页下页目录2020年2月23日星期日27例3设有点1(1,0,1)M与点2(0,1,2)M，求到这两点的距离相等的点的轨迹方程.解设(,,)Pxyz是所求轨迹上的任意一点，则由12||||PMPM得222222(1)(0)(1)(0)(1)(2)xyzxyz整理得22630xyz该方程表示的是垂直平分线段12MM的一个平面，即线段12MM的垂直平分面.返回上页下页目录2020年2月23日星期日28三、空间常见的空间曲面及其方程常见的空间曲面有平面、柱面、锥面、旋转面和二次曲面等.空间曲线，特别是直线，在空间解析几何中非常重要.下面，我们对这些图形作简单介绍.返回上页下页目录2020年2月23日星期日291.平面及其方程第六章一、平面的点法式方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角返回上页下页目录2020年2月23日星期日30zyxo0Mn①一、平面的点法式方程设一平面通过已知点且垂直于非零向M称①式为平面的点法式方程,求该平面的方程.,),,(zyxM任取点法向量.量nMM000nMM则有故的为平面称n返回上页下页目录2020年2月23日星期日31例4求过三点)1,1,1(1M、)1,2,3(2M及)2,3,4(3M的平面方程.解由于过三个已知点的平面的法向量n与向量21MM、31MM都垂直，而0,1,421MM，1,2,331MM，设n,,xyz，则有：12,,4,1,040nMMxyzxy13,,3,2,1320nMMxyzxyz解此方程组，可得1,4,11xyz,即所求平面的法线向量n1,4,11.根据平面的点法式方程，所求平面的方程为：(1)4(1)11(1)0xyz返回上页下页目录2020年2月23日星期日32二、平面的一般方程设有三元一次方程以上两式相减,得平面的点法式方程此方程称为平面的一般任取一组满足上述方程的数,,,000zyx则0000DzCyBxA显然方程②与此点法式方程等价,)0(222CBA②),,(CBAn的平面,因此方程②的图形是法向量为方程.(GeneralEquationofaPlane)返回上页下页目录2020年2月23日星期日33特殊情形•当D=0时,Ax+By+Cz=0表示通过原点的平面;•当A=0时,By+Cz+D=0的法向量平面平行于x轴;•Ax+Cz+D=0表示•Ax+By+D=0表示•Cz+D=0表示•Ax+D=0表示•By+D=0表示平行于y轴的平面;平行于z轴的平面;平行于xoy面的平面;平行于yoz面的平面；平行于zox面的平面.返回上页下页目录2020年2月23日星期日34解:因平面通过x轴,0DA故设所求平面方程为0ByCz代入已知点)1,3,4(得化简,得所求平面方程例2求通过x轴和点(4,–3,–1)的平面方程.例3用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.返回上页下页目录2020年2月23日星期日35例6求过三点)0,0,(aP、)0,,0(bQ、),0,0(cR的平面的方程(其中cba、、为不等于零的常数)解设所求的平面的方程为0DCzByAx因为平面经过RQP、、三点，故其坐标都满足方程，则有00.0aADbBDcCDzxyoRPQ得所求方程为1.xyzabc平面的截距式方程返回上页下页目录2020年2月23日星期日36内容小结1.平面基本方程:一般式点法式截距式0DCzByAx1czbyax)0(abc返回上页下页目录2020年2月23日星期日372.直线第六章一、空间直线的一般方程二、空间直线的对称式方程二、空间直线的参数方程返回上页下页目录2020年2月23日星期日38xyzo01111DzCyBxA12L因此其一般式方程直线可视为两平面交线，(不唯一)一、空间直线方程的一般方程返回上页下页目录2020年2月23日星期日39(SymmetricExpression)1.对称式方程（点向式方程)),,(0000zyxM故有说明:某些分母为零时,其分子也理解为零.mxx0设直线上的动点为