量子物理学的诞生 波函数 一维定态薛定谔方程

大学物理第三次修订本第15章量子物理基础115.6波函数一维定态薛定谔方程一、波函数及其统计解释微观粒子具有波动性，1925年奥地利物理学家薛定谔首先提出用物质波波函数描述微观粒子的运动状态。波函数量子力学中用以描述粒子运动状态的数学表达式。自由粒子不受外力场的作用,其动量和能量都不变的粒子。大学物理第三次修订本第15章量子物理基础2平面机械波波函数的复数形式xtiAetxyπ2,类似,自由粒子的物质波的波函数也可表示为xtietxΨπ20,利用hEph,波函数也可表示为pxtEhietxΨ20,大学物理第三次修订本第15章量子物理基础3式中是待定常数,相当于x处波函数的复振幅,反映波函数随时间的变化。0pxie0EtiepxtEhietxΨ20,物质波波函数是复数，它本身并不代表任何可观测的物理量。波函数是怎样描述微观粒子运动状态的？大学物理第三次修订本第15章量子物理基础41926年德国物理学家玻恩提出了物质波的统计解释：实物粒子的物质波是一种概率波,t时刻粒子在空间r处附近的体积元dV中出现的概率dW与该处波函数绝对值的平方成正比。VtrΨtrΨVtrΨWd,,d,d*2式中是波函数的共轭复数。txΨ,*txΨ,波函数绝对值平方代表t时刻，粒子在空间r处的单位体积中出现的概率，又称概率密度，这是波函数的物理意义。物质波又称概率波。2,txΨ大学物理第三次修订本第15章量子物理基础5在空间某处波函数的二次方跟粒子在该处出现的概率成正比。如果在空间某处的值越大，粒子出现在该处的概率也越大;的值越小，则粒子出现在该处的概率就越小。无论如何小，只要不为零，粒子总有可能出现在该处。2,txΨ2,txΨ2,txΨ电子双缝干涉图样单个粒子的出现是偶然事件,大量粒子的分布有确定的统计规律。大学物理第三次修订本第15章量子物理基础6注意1ddd|),(|2zyxtrΨ（2）归一化条件（3）概率密度在任一处都是唯一、有限的,并在整个空间内连续。粒子在整个空间出现的概率为1。VtrΨWd|),(|d2（1）t时刻,粒子在r处dV内出现的概率大学物理第三次修订本第15章量子物理基础7二、薛定谔方程1926年薛定谔提出了适用于低速情况下的,描述微观粒子在外力场中运动的微分方程，称为薛定谔方程。ttrΨitrΨtrVzyxm,,,2222222薛定谔方程是量子力学的基本方程，是关于r和t的线性偏微分方程。其中，V=V(r,t)是粒子的势能。大学物理第三次修订本第15章量子物理基础8粒子在稳定力场中运动，势能V、能量E不随时间变化，粒子处于定态，波函数写为(,)()eEitΨrtΨr0)(2)(2222222rΨVEmrΨzyx定态薛定谔方程若粒子在一维空间运动，则02dd222xΨVEmxxΨ大学物理第三次修订本第15章量子物理基础9在微观粒子的各种定态问题中，将势能函数V(r)的具体形式rerV20π41如，氢原子中的电子一维线性谐振子2221xmxV代入薛定谔方程,可以求得定态波函数,同时也就确定了概率密度的分布以及能量和角动量等。大学物理第三次修订本第15章量子物理基础10讨论波函数的合理解应满足条件：。有限、可归一化）（d12Vr。连续）（,,,2zyx为单值函数。）（,,3zyxΨ大学物理第三次修订本第15章量子物理基础11三、一维无限深势阱中的粒子设粒子沿x轴作一维运动，势能函数为axxxVaxxV或0,0,0oaxV(x)∞∞势能曲线束缚于金属内的自由电子只能在金属内运动，而不能逃逸出金属表面，可以近似地认为金属内的自由电子在一维无限深势阱内运动。大学物理第三次修订本第15章量子物理基础12薛定谔方程令22mEk则0dd222xΨkxxΨ02dd222xΨmExxΨax0,方程通解kxBkxAxΨcossin利用边界条件x=0，,则B=0。00ΨkxAxΨsin大学物理第三次修订本第15章量子物理基础13再利用边界条件x=a，,则0aΨ0sinkaAa一般来讲A≠0,只有sinka=0。或,2,1,πnnka有,2,1,2π2nmEank能量,2,1,2π2222nmanEnn为主量子数，表明粒子的能量是量子化的。大学物理第三次修订本第15章量子物理基础14波函数,2,1,πsinnxanAxΨn由于粒子被限制在势阱内运动,所以121dπsind200222aAxxanAxxΨaan得aA2波函数,2,1,πsin2nxanaxΨn概率密度,2,1,πsin222nxanaxΨn大学物理第三次修订本第15章量子物理基础15势阱内波函数是传播方向相反的两列相干波叠加而成的驻波。,2,1,2nna波长满足条件nxaO1n2n3n)(nxΨxaO1n2n3n2nΨ