3.2 函数的性质

高教社第三章函数3.2函数的性质授课教师:游彦高教社问题1观察某地某日气温时段图，回答下列问题。（1）时，气温最低为，时，气温最高为．（2）随着时间的增加，在时间段0时到6时的时间段内，气温不断地；6时到14时这个时间段内，气温不断地．创设情景兴趣导入高教社问题2下图为股市中，某股票在半天内的行情，请描述此股票的涨幅情况.创设情景兴趣导入高教社函数值随着自变量的增大而增大（或减小）的性质增函数减函数设函数y=f(x)在区间(a,b)内有意义．对于任意的x1，x2∈(a,b)当x1x2时有f(x1)f(x2)成立．把函数叫做区间(a,b)内的增函数区间(a,b)叫做函数的增区间．有f(x1)f(x2)成立．把函数叫做区间(a,b)内的减函数区间(a,b)叫做函数的减区间．动脑思考探索新知单调性高教社增函数减函数随着自变量的增加函数值不断增大图像呈上升趋势．随着自变量的增加函数值不断减小图像呈下降趋势．演示动脑思考探索新知高教社.动脑思考探索新知判定函数的单调性有两种方法：借助于函数的图像或根据单调性的定义来判定．函数单调性的判定方法高教社.巩固知识典型例题例1小明从家里出发，去学校取书，顺路将自行车送还王伟同学．小明骑了30分钟自行车，到王伟家送还自行车后，又步行10分钟到学校取书，最后乘公交车经过20分钟回到家．这段时间内，小明离开家的距离与时间的关系如图所示．指出这个函数的单调性．观察函数图像高教社.巩固知识典型例题分析对于用解析式表示的函数，其单调性可以通过定义来判断，也可以作出函数的图像，通过观察图像来判断．无论采用哪种方法，都要首先确定函数的定义域．例2判断函数y=4x-2的单调性．观察函数图像高教社.理论升华整体建构xyxy1.当k0时，图像从左至右是的，函数是单调函数；2.当k0时，图像从左至右是的，函数是单调函数．1.当k0时，在各象限中y值分别随x值的增大而，函数是单调函数；2.当k0时，在各象限中y值分别随x值的增大而，函数是单调函数．由一次函数y=kx+b(k≠0)的图像分析其单调性由反比例函数(k≠0)的图像分析其单调性kyx高教社书写单调区间时，注意区间端点的写法。对于某一个点而言，由于它的函数值是一个确定的常数，无单调性可言，因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点。但对于某些不在定义域内的区间端点，书写时就必须去掉端点。单调区间之间必须用“，”隔开，或者用“和”连接，但千万不能用“∪”连接，也不能用“或”，“且”连接。高教社例1.指出下列函数的单调区间：(1)72yx(2)24yx(1)72yx的单调增区间是解：),(无单调减区间(2)24yx的单调减区间是),(无单调增区间归纳：函数的单调性(0)ykxbk单调增区间单调减区间k0bkxy),(k0),(yox2722o4yx高教社归纳：函数的单调性2(0)yaxbxca2(1)2.yx2yx+2的单调增区间是_______;(-∞,0]2yx+2的单调减区间是_______.[0,)例2.指出下列函数的单调区间xyy=-x2+21-1122-1-2-2O2(2)2.yx思考2：函数的单调区间呢？223yxx思考1：函数的单调区间呢？2(1)2yx解：高教社单调增区间单调减区间a0a02yaxbxc,2ba,2ba2(0)yaxbxca的对称轴为2bxa,2ba,2ba高教社练习：判断函数的单调区间。2()2fxxxxxxxf2)(2y21o单调递增区间：单调递减区间：]1,(),1[高教社成果运用,12()4fxxax若二次函数在区间上单调递增，求a的取值范围。oxy1xy1o解：二次函数的对称轴为,由图象可知只要，即即可.2()4fxxax2ax12ax2a高教社例3.指出下列函数的单调区间：1yx1(,0)(0,)yx能不能说在定义域上是单调减函数?x1yxyO思考1：思考2：函数的单调区间是什么？1yx1yx的单调增区间是),0(),0,(归纳：在和上的单调性？0,(0)kykx,01yx的单调减区间是_____________(,0)(0,),解：没有单调增区间高教社单调增区间单调减区间(0)kykx的单调区间xky0k0k(,0)(0,)，(,0)(0,)，高教社证明函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：①任取x1，x2∈D，且x1x2；②作差f(x1)－f(x2)；变形（通常是因式分解和配方）；③定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；④下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．高教社.教材练习3.2.1应用知识强化练习1.已知函数图像如下图所示．（1）根据图像说出函数的单调区间以及函数在各单调区间内的单调性；（2）写出函数的定义域和值域．高教社x如图所示：点P(3,2)关于x轴的对称点是点P1，其坐标为；点P(3,2)关于y轴的对称点是点P2，其坐标为；点P(3,2)关于原点O的对称点是点P3，其坐标为．P1P3P2创设情景兴趣导入演示问题高教社.一般地，设点P(a,b)为平面上的任意一点，则（1）点P(a,b)关于x轴的对称点的坐标为(a,-b)；（2）点P(a,b)关于y轴的对称点的坐标为(-a,b)；（3）点P(a,b)关于原点O的对称点的坐标为(-a,-b).动脑思考探索新知点的对称高教社.例3（1）已知点P(−2,3)，写出点P关于x轴的对称点的坐标；（2）已知点P(x,y)，写出点P关于y轴对称点的坐标与关于原点O的对称点的坐标；（3）设函数y=f(x,y)，在函数图像上任取一点P(a,f(a))，写出点P关于y轴的对称点的坐标与关于原点O的对称点的坐标．分析利用三种对称点的坐标特征进行研究即可．巩固知识典型例题点P(a,b)关于x轴的对称点的坐标为(a,-b)；点P(a,b)关于y轴的对称点的坐标为(-a,b)；点P(a,b)关于原点O的对称点的坐标为(-a,-b).高教社.１．求满足下列条件的点的坐标：（1）与点2,1关于x轴对称；（2）与点1,3关于y轴对称；（3）与点2,1关于坐标原点对称；（4）与点1,0关于y轴对称．教材练习3.2.2应用知识强化练习高教社问题1观察下列图形的是否具有对称性：创设情景兴趣导入演示高教社问题2观察下列函数的图像的是否具有对称性，如果有关于什么对称？如果将图像沿着坐标原点旋转180°，旋转前后的图像完全重合．这时称函数图像关于坐标原点对称．原点O叫做这个函数图像的对称中心．如果沿着y轴对折，那么对折后y轴两侧的图像完全重合．这时称函数图像关于y轴对称．y轴叫做这个函数图像的对称轴．创设情景兴趣导入高教社.函数y=f(x)不具有奇偶性的函数叫做非奇非偶函数．如果一个函数是奇函数或偶函数，那么，就称此函数具有奇偶性．对任意的x∈D，都有−x∈Df(−x)=f(x)图像关于y轴对称称函数为偶函数．f(-x)=-f(x)图像关于原点对称称函数为奇函数．动脑思考探索新知高教社.函数奇偶性的判断（1）求出函数的定义域；（2）判断对于任意的x∈D是否都有-x∈D.若存在某个x0∈D但-x0D，函数就是非奇非偶函数；（3）分别计算出f(x)与f(−x)，若f(x)=-f(−x)，则函数就是奇函数；若f(x)=f(−x)，则函数就是偶函数；若f(x)≠-f(−x)且f(x)≠f(−x)，则函数就是非奇非偶函数．动脑思考探索新知演示高教社.分析依照判断函数奇偶性的基本步骤进行．巩固知识典型例题例4判断下列函数的奇偶性：（1）3fxx；（2）221fxx；（3）fxx；（4）1fxx．解（1）函数的定义域为,，对任意的,x都有,x．3fxx，33fxxx，故()()fxfx．所以3fxx是奇函数．高教社.巩固知识典型例题例4判断下列函数的奇偶性：（1）3fxx；（2）221fxx；（3）fxx；（4）1fxx．解（2）函数的定义域为,，对任意的,x都有,x．221fxx，222121fxxx．故()()fxfx．所以函数221fxx是偶函数．高教社.巩固知识典型例题例4判断下列函数的奇偶性：（1）3fxx；（2）221fxx；（3）fxx；（4）1fxx．解（3）函数的定义域是0,．由于2[0,)但是2[0,)，所以函数fxx是非奇非偶函数．高教社.巩固知识典型例题例4判断下列函数的奇偶性：（1）3fxx；（2）221fxx；（3）fxx；（4）1fxx．解（4）函数的定义域为,，对任意的,x都有,x．1fxx，11fxxx，故fxfx且fxfx．所以函数1fxx是非奇非偶函数．高教社例5判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)=x+x3+x5；（2）f(x)=x2+1；（3）f(x)=x+1；（4）f(x)=x2，x∈［－１，２］（5）f(x)=0解：（1）函数f(x)=x+x3+x5的定义域为Ｒ，又因为f(－x)=（－x）+（－x）3+（－x）5当X∈R时,-X∈R＝－x－x3－x5＝－（x+x3+x5）＝－f(x)所以函数f(x)=x+x3+x5是奇函数。高教社所以，函数f(x)=x2+1是偶函数又因为f(－x)=（－x）2+1解：（２）函数f(x)=x2+1的定义域为Ｒ，当X∈R时,-X∈R=x2+1＝f(x)例、判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)=x+x3+x5；（2）f(x)=x2+1；（3）f(x)=x+1；（4）f(x)=x2，x∈［－１，２］（5）f(x)=0高教社例、判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)=x+x3+x5；（2）f(x)=x2+1；（3）f(x)=x+1；（4）f(x)=x2，x∈［－１，２］（5）f(x)=0解：（3）函数f(x)=x+1的定义域为Ｒ，当X∈R时,-X∈R又因为f(－x)=（－x）+1＝－（x－1）而－f(x)=－x－1所以f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)因此函数f(x)=x+1既不是奇函数也不是偶函数。高教社解4）因为２∈［－１，２］，而－２［－１，２］所以函数f(x)=x2，x∈［－１，２］既不是奇函数也不是偶函数。例、判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)=x+x3+x5；（2）f(x)=x2+1；（3）f(x)=x+1；（4）f(x)=x2，x∈［－１，２］（5）f(x)=05）函数f(x)=0的定义域为Ｒ，当X∈R时,-X∈R又因为f(－x)=0，f(－x)=0所以f(－x)=－f(x)且f(－x)=f(x)因此函数f(x)=0既是奇函数也是偶函数。高教社教材练习3.2.2应用知识强化练习2.判断下列函数的奇偶性：（1）fxx；（2）21fxx；（3）31fxx；（4）232fxx．