五、 材料力学切应力分析

弹性杆件横截面上的切应力分析第5章1、切应力互等定理、剪切虎克定律2、圆轴扭转时横截面上的切应力分析4、基于最大切应力的强度计算5、结论与讨论第五章弹性杆件横截面上的切应力分析3、薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力流与弯曲中心传动轴请判断哪些零件将发生扭转变形切应力互等定理、剪切虎克定律切应力互等定理、剪切虎克定律请判断哪些截面将发生剪切变形两类切应力：扭转切应力、弯曲切应力；请判断轴受哪些力将发生什么变形Mnxz切应力互等定理、剪切虎克定律考察承受切应力作用的微元体ADCBxyzdxdydz;0)(ddd0dydxdzxzyM；切应力互等定理：在两个相互垂直的平面上，切应力成对存在，两应力垂直于两个平面的交线，共同指向或者背离该交线：τ=τˊ切应力互等定理、剪切虎克定律ABCD´剪切胡克定律：弹性范围内，切应力与切应变成正比G)1(2EG式中G为材料的剪切弹性材料的模量，γ为剪切应变。弹性模量、泊松比、剪切弹性模量三个常数存在如下关系，只有两个是独立的。´圆轴扭转时横截面上的切应力分析请注意圆轴受扭转后表面的矩形将发生什么变形？Mx平面假设：圆轴扭转时，横截面保持平面，并且只能发生刚性转动。Mx横截面是刚性转动，直径始终是直线。观察圆轴表面平行轴线的直线和垂直这些直线的环线在扭矩作用下的变化。圆轴变形后表面的直线变成螺旋线；环线没有变化，小矩形ABCD变形为平行四边形A’B’C’D’。ABCD´´A’B’C’D’圆轴扭转时横截面上的切应力分析1、应变特征两轴向间距为dx的截面相对转角为dφ,考察微元ABCD的变形得：圆轴扭转时，切应变沿半径方向线性分布。xdd圆轴扭转时横截面上的切应力分析2、切应力分布特征由剪切虎克定律得：圆轴扭转时，切应力沿半径方向线性分布。由切应力互等定理，与横截面相垂直的平面上也存在着切应力。xGGdd圆轴扭转时横截面上的切应力分析3、切应力公式切应力在圆轴横截面上的和就是该横截面上的扭矩。得：4、最大切应力圆轴扭转时横截面上最大切应力在横截面的边缘上。PIMxxAAMdAdxdGdA）（PPmaxmaxWMIMxxmaxPPIWWp扭转截面系数324dIP圆形截面：16π32π3P4PdWdI；圆：161π,321π43P44P－－圆环：DWDImaxmaxPxGIMdxd圆轴扭转时横截面上的切应力分析例题5-1、图示传动机构，由B轮输入功率，通过锥型齿轮将其一半功率传递给C轴，另一半传递给H轴。已知：P1＝14kW,n1=n2=120r/min,z1=36,z3=12;d1=70mm,d2=50mm,d3=35mm.求:各轴横截面上的最大切应力。33；＝＝＝360r/minr/min12361203113zznn解：1、计算扭矩P1=14kW,P2=P3=P1/2=7kWn1=n2=120r/minMx1=9549×14/120=1114N.mMx2=9549×7/120=557N.mMx3=9549×7/360=185.7N.m2、计算各轴的最大切应力圆轴扭转时横截面上的切应力分析16.54MPaPa1070π111416E9-31P1maxWMx.69MPa22Pa1050π55716H9-32P2maxWMx.98MPa12Pa1053π718516C9-33P3max.WMx1、切应力流承受弯曲的薄壁截面杆件，与剪力相对应的切应力有下列显著特征：杆件表面无切应力作用，由切应力互等定理，薄壁截面上的切应力必定平行于截面周边的切线方向，并且形成切应力流。切应力沿壁厚方向均匀分布。薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力以如图壁厚为δ的悬臂梁槽钢为例，考察x方向平衡薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力）式得：带入（带入上式得：（注意到将其中：aISdMMdFFISMFdAySIyMdAddFFdAFadxdFFFFzzzzNNzzzNAzzzAxxNNAxNNNNx;)(;);/;)(;)(;0)()(;0********x********zzISF*Q薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力zzISF*Q轴的静矩；分，其中一部分对中性面分为两部横截面厚度方向将横截薄壁过所要求切应力点，沿薄壁截面的壁厚；矩；横截面对中性轴的惯性横截面上的剪力；*zzQSIF2、弯曲中心对于薄壁截面，由于切应力方向必须平行于截面周边的切线方向，故切应力相对应的分布力系向横截面所在平面内不同点简化，将得到不同的结果。如果向某一点简化结果所得的主矢不为零而主矩为零，则这一点称为弯曲中心。图示薄壁截面梁的弯曲中心并不在形心上，因此外力作用在形心上时主矢不为零而主矩也不为零，梁就会发生弯曲和扭转变形。薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力与弯曲中心弯曲中心：以图示薄壁槽钢为例，先分别确定腹板和翼缘上的切应力：由积分求作用在翼缘上的合力FT：薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力与弯曲中心ysyyzzcczc;)6(6)6(4/622222Q1bhhsFbhhyhbhFQ翼缘：；）（腹板：bTdsF02;M12作用在腹板上的剪力为FQ;将FT和FQ向截面形心C简化，可以得到主矢FQ和主矩M；其中M=FT×h+FQ×e’；将FT、FQ向O点简化使M=0；点O即为弯曲中心。常见薄壁截面弯曲中心位置可以查表5-1。为了避免型钢的这类问题发生，工程中薄壁截面梁一般采取复合梁，如图示。薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力与弯曲中心ysyyzzcczcM12;QTFhFee薄壁截面梁弯曲切应力公式可以推广应用到实心截面梁。1、宽度和高度分别为b和h的矩形截面（如图）实心截面梁的弯曲切应力误差分析:在常用尺寸范围有较好精度。薄壁截面梁弯曲切应力公式推广应用到实心截面梁AAFQmax23bh；zzISF*Qh/b1.02/11.041/11.121/21.571/42.302、直径为d的圆截面(如图)注意切应力方向，在横截面边界上各点的切应力沿着边界切线方向。（如图所示）3、外径为D、内径为d的空心圆截面(如图)薄壁截面梁弯曲切应力公式推广应用到实心截面梁AAFQmax34;4)(222QmaxdDAAF；其中;4maxmax）（的矩形截面：、高为对于宽为hlhb4、工字形截面工字形截面由上下翼缘和之间的腹板组成，竖直方向的切应力主要分布在腹板上。5、弯曲实心截面正应力与切应力的量级比较，如图梁是细长杆（如L=10d），则弯曲正应力为60倍切应力值，切应力是次要因素。薄壁截面梁弯曲切应力公式推广应用到实心截面梁;*maxQmaxzzISFWlFQmaxISFmaxQmax;6maxmax）（的圆截面：对应直径为dld基于最大切应力的强度计算弯曲构件横截面上最大切应力作用点一般没有正应力作用。为了保证构件安全可靠，必须将最大切应力限制在一定数值以内，即对于静载荷作用，扭转许用切应力与拉伸许用正应力存在如下关系：max）—（铸铁：）—（低碳钢：10.80.60.5圆轴扭转时横截面上的切应力分析如图联轴器已知：最大功率P＝7.5kW,转速n=100r/min,轴的最大切应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之比=0.5。求:实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2。例5-2、圆轴扭转时横截面上的切应力分析解：1、计算轴的扭矩2、计算轴的直径3、二轴的横截面面积之比：;235.0;46046.01040)4.01(2.71616;401π16;45045.010402.71616;4016223642432xPxmax36121maxmmDdmmmDMPaDMWMmmmdMPadMWMxPx空心轴：实心轴：);(2.7161005.79549NmMx28.15.01110461045122332222121＝DdAA讨论：弹性杆件横截面上的各种内力与应力xxxxxxFnMnFqyMzFqzMyzzzzyy轴的内力对应的应力：轴力FN引起的正应力：扭矩Mn引起的切应力：剪力Fqy引起的切应力：弯矩Mz引起的正应力:剪力Fqz引起的切应力：弯矩My引起的正应力:轴的受力图;;;;;;F**WMISFWMISFWMAyyyqzzzzZqyynN变形特征－翘曲、平面假设不成立；讨论：矩形截面杆扭转切应力角点切应力等于零;边缘各点切应力沿切线方向;最大切应力发生在长边中点.切应力分布21maxhbCMxmax1max'C长边中点处：短边中点处：角点切应力等于零边缘各点切应力沿切线方向1、扭转切应力与弯曲切应力布及其分析方法的差异；对于实心截面杆，扭转与弯曲切应力量级上的差异。3、实心截面杆与开口薄壁截面杆弯曲切应力的差异。4、实心截面梁弯曲切应力一般不计算；扭转切应力必须计算。2、圆截面杆与非圆截面杆扭转切应力的差异。小结：不同变形情形下切应力不同特点本章作业5-4，5-5，5–16，5-17