Hilbert空间中框架Riesz基与正交基之间的关系

-12-框架与基的研究是小波分析理论研究的重要内容之一，正交小波基理论的发展则架起了逼近论Riesz与信号处理间一座新的桥梁．框架理论是由和在年研究非调和级数R.J.DuffinA.G.Schaeffer1952Fourier时正式提出的，直到年，，和的突破性研究，才使框架理论开始被广泛1986DaubechiesGrossmannMeyer关注．从空间中元素表示的角度看，框架可看成是基组概念的推广．由于正交基的正交性和紧支撑性是一对不可调和的矛盾，所以我们试图放宽正交的条件，来构造可以表示的序列，即框架，基，Riesz多小波等．正是由于框架与基有一定的冗余性，因此，它们在信号消噪、特征提取、鲁棒信号处理Riesz等方面具有广泛的应用．近年来关于框架的研究与发展为小波研究的热点之一．框架，基与基组之Riesz间既有密切的联系，又有本质的区别．本文讨论了框架与基之间和框架与正交基之间的关系．得到Riesz基是线性独立的矢量组成的框架；无冗余的紧框架即为正交基．Riesz为了方便，如果不作特别说明，本文中空间均指空间．本文第一部分介绍了一些基本的定Hilbert义、引理，第二部分讨论了框架与基的关系，第三部分研究了紧框架与正交基的关系．Riesz引言1定义1.1设为中的线性无关的函数列，若对于任何都有,（）1且系数是唯一的，则称为空间的一个基组.若该基组还满足（）2则称该基组为空间的标准正交基，此时（）式可以写成1（）3空间中框架，基与正交基之间的关系HilbertRiesz牛晓芳1李建华2．陕西师范大学数学与信息科学学院，陕西西安；２．河西学院数学系，甘肃张掖(1710062734000)摘要：本文讨论了空间中的框架、基与正交基的关系．结果表明：无冗余的紧框架即为正交HilbertRiesz基组；基是线性无关的框架．并构造了适当的反例说明线性无关的框架不一定是无冗余的框架，正交基不Riesz一定都能构成框架．关键词：空间；基；小波；紧框架；正交基HilbertRiesz中图分类号：文献标识码：文章编号：－（）－－O174A16720520200705001207———————————————收稿日期：2006-09-04作者简介：牛晓芳（—），女，山西晋城人，陕西师范大学在读硕士研究生，主要研究方向为智能信号处理．1983第卷第期（）河西学院学报（）2352007Vol.23No.520072()LRH{()}nexH()gxH∈(),nnngxae=∑na{}neH0,(),(),1,nmmnexexmn≠⎧=⎨=⎩H()(),()().nnngxgxexex=∑-13-这时有等式Parseval（）4事实上，定义1.2设是一个空间，是一个可列指标集，是中的一个函数序列，若对于Hilbert任何，存在正常数，，且，有（）5则称是的一个框架．称为框架的下界，为框架的上界，和统称为框架界．如果，称为紧框架．当时，即在紧框架下，对于任何有类似的,等式Parseval（）6由此可以推出（）7中的框架，如果去掉其中任意一个元素，使它不再构成框架，则称该框架为无冗余的框架．（）式说明，紧框架一般不是标准正交基，但是它可以提供函数的一个冗余表示．（）式也可以看67作由重构的一个方法．冗余框架还有另外一个等价定义：定义1.3设是中的框架且若是中的框架，则称是,,冗余框架．否则称之为无冗余框架．定理1.1设是中的一个框架，则是冗余框架的充要条件是存在，使得为常数．()定义1.4称函数列是的基，如果：Riesz）函数列在中稠密；1）对于任意，存在正常数，，且，有2（）8和称之为界．Riesz定义1.5设是可分空间的一个框架，框架算子定义为Hilbert空间中的框架与基的关系2HilbertRiesz定理2.1是可分的空间的框架，框架界为，，为框架算子，则有：Hilbert）是的有界线性算子，且1牛晓芳，李建华：空间中框架，基与正交基之间的关系HilbertRiesz22||()|||(),()|.nngxgxex=∑2||()||(),()(),()(),()nnngxgxgxgxexexgx==∑(),()(),()nnngxexexgx=∑2|(),()|.nngxex=∑HJ{|}jjJφ∈H()gxH∈AB0AB≤∞222|||||,|||||.jjAggBgφ≤≤∑{|}jjJφ∈HABABAB={|}jjJφ∈AB=()gxH∈22|,|||||.jjgAgφ=∑1(),.jjjgxAgφφ−=∑H,jgφ()gx{|}jjJφ∈H1JJ⊆1{|}jjJφ∈H{|}jjJφ∈H{|}jjJφ∈H{|}jjJφ∈0kJ∈00,kjjjJjkφλφ∈≠=∑jλ{|}jjJHφ∈⊂H{|}jjJφ∈2{}jcl∈AB0AB≤∞222||{}||||||||{}||.jjjjjAccBcφ≤≤∑AB{|}jjJφ∈H2:()FHlJ→(){,|},.jFffjJfHφ=∈∀∈{|}jjJφ∈HABFF2()HlJ→2||||.FB≤-14-）的伴随算子的作用为，2）是上的有界可逆线性算子3.）令，则也是的框架，框架界为和称为4,的对偶框架.）设是相对于框架的框架算子，是其伴随，则为上的恒等算子，所5以，有两种级数表示：定理2.2是可分的空间中的一列向量，则下列命题等价Hilbert）是的基；1Riesz）是的框架，且是线性无关的，即，如果，则2推论2.3是可分的空间的基，则，存在唯一使得HilbertRiesz推论2.4是空间的基，是的对偶框架，则HilbertRiesz也是的基．Riesz定理2.5若为空间的无冗余框架，则是的基．HilbertRiesz证明若不然，则中有限个元线性相关，不妨设，并设则，记，则是的真子集，对，有所以．因此为框架，这与是无冗余框架矛盾．于是是线性无关组．由定理可知是的基．2.2,Riesz注：定理的逆不成立．例如：是的标准正交基，2.51221|,||,|inrirrJiffφλφ∈==+∑∑河西学院学报年第期20075F2:()FlJH∗→({})jjjjFccφ∗=∑2{}().jclJ∀∈FF∗H1()jjFFφφ∗−={|}jjJφ∈H1B−1A−{|}jjJφ∈{|}jjJφ∈F{}jφF∗FFFFI∗∗==HfH∀∈,,.jjjjjjfffφφφφ==∑∑{|}jjJφ∈H{|}jjJφ∈H{|}jjJφ∈H{|}jjJφ∈2{}()jclJ∀∈0jjjcφ=∑0,.jcjJ=∀∈{|}jjJφ∈HfH∀∈2{}(),jclJ∈.jjjfcφ=∑{|}jjJφ∈H{|}jjJφ∈{|}jjJφ∈{|}jjJφ∈H{|}jjJφ∈H{|}jjJφ∈H{|}jjJφ∈01,,,nrrrφφφ01inririφλφ==∑12max{||,||,,λλλ=||},nλ0λ10{}JJr=−1JJfH∀∈1222|,||,|||||rrrJrJffBfφφ∈∈≤≤∑∑012222|||||,||,||,|rrrrJrJAffffφφφ∈∈≤=+∑∑1221|,||,|inrirrJiffφλφ∈==+∑∑12221|,||||,|inrirrJiffφλφ∈=≤+∑∑11222|,||,|rrrJrJffφλφ∈∈≤+∑∑122(1)|,|rrJfλφ∈=+∑2222|||||,|||||1rrJAffBfφλ∈≤≤+∑1{|}rrJφ∈{|}jjJφ∈{|}jjJφ∈{|}jjJφ∈H1{}nne∞=H311122{,,,,,}22222nneeeeeee++++-15-是的线性无关框架，但仍为框架．所以线性无关框架不一定是无冗余的．由定理的证明可以得到下面的推论：2.5推论2.6若为的无冗余框架，则为线性无关组．在参考文献中给出一个判定基的简便方法：[8]Riesz定理2.7设是空间上的一个基，且设是中的一组向量，假如存在BanachRiesz一个常数，对于所有的数列成立则也是空间的一个基．Riesz紧框架与正交基的关系3从正交基到紧框架3.1定理3.1设是空间，为中的一个正交基组，且对任意，则Hilbert是的界为的紧框架。证明：因为为正交基，且对任意，，所以为的标准正交基因,此，有所以因此是以为界的紧框架．注：并不是任意的正交基组都能构成的框架，下面先给出中正交基为框架的必要条件．定理3.2设是空间，为中的正交基，若构成中下界为，上界Hilbert为的框架，则对，都有成立．证明：对于正交基构成的框架，在（）式两端取，则5因为它们之间的正交性，有，所以有下面给出一个正交基但不构成框架的例子，设为的标准正交基，令，显然还是的正交基，但已不再是的框架了，因为，所以不存在正数，使恒成立，由定理，不是的框架．3.2从紧框架到正交基3.2定理3.3若为的一个框架，则证明（反证法）：设则取且,,所以。所以不为的框架，与假设矛盾．定理3.4设是空间，是中的一个无冗余紧框架则必为的一组基Hilbert,.证明：由定理，有另外，由引理，的各元素之间必定是线性3.32.5牛晓芳，李建华：空间中框架，基与正交基之间的关系HilbertRieszH3112423{,,,,,}22222nneeeeeeee+++++{|}jjJφ∈H{|}jjJφ∈{}iiZf∈B{}iiZg∈B[0,1]λ∈{}iiZc∈11||()||||||,nniiiiiiicfgcfλ==−≤∑∑{}iiZg∈BH{|}jjJφ∈Hj2||||,jAφ={|}jjJφ∈HA{|}jjJφ∈j2||||jAφ={}jAφHgH∀∈(),,jjjgxgAAφφ=∑(),,jjjAgxgφφ=∑22|,|||||.jjgAgφ=∑{|}jjJφ∈HAHHH{|}jjJφ∈H{|}jjJφ∈HABjJ∀∈2||||jABφ≤≤{|}jjJφ∈kgφ=22242|||||,||||||,|||||,kkjkkjkjkjABφφφφφφφ≠≤=+≤∑∑242||||||||||||kkkABφφφ≤≤2||||.kABφ≤≤{}neHnnefn={}nfH{}nfH2lim||||0nnf→∞=A2||||jfA≥{}nfH{|}jjJφ∈H{|}.jspanjJHφ∈={|}jspanjJHφ∈≠{|}jspanjJHφ∈⊂,0gHg∈≠{|},jgspanjJφ⊥∈22|,|0||||jjggφ=∑{|}jjJφ∈HH{|}jjJφ∈H{|}jjJφ∈H{|}.jspanjJHφ∈={|}jjJφ∈-16-无关的，所以，是的一组基．下面的定理给出了紧框架的几个重要性质．定理3.5若是空间的界为的紧框架，则Hilbert）对于任意，有；1）若存在某个，使得，则与中其余元素正交；2）若是紧框架框架界则为规范正交基；3,）若是紧框架框架界，且则为规范正交基；4,,）若是紧框架框架界，且存在则必为冗余框架；5,）若是紧框架，框架界，且存在则为冗余框架；6证明）因为为的紧框架，取，有1所以有，于是）若，则，所以有即与中其余2,的元素皆正交．）任意取定，则3所以，．再由的任意性，有是两两正交的，又因为，所以为规范正交基．）是）的推论．43）取，则，5所以又因为因此于是也为框架因此为冗余框架．,）显然是）的推论．65定理3.6（紧框架为正交基的充要条件）若是的界为的紧框架，则是的一组正交基的充分必要条件是：对任意，．证明充分性：因为对任意，有，由定理的（），知必为的正交系，3.52再由引理，为的正交基．3.3必要性：在）式两端取，再由间的正交性，有任意．6河西学院学报年第期20075{|}jjJφ∈H{|}jjJφ∈HAjJ∈2||||jAφ≤j2||||jAφ=jφ{|}nnJφ∈{|}jjJφ∈1,,||||1,jABjJφ==∀∈={|}jjJφ∈{|}jjJφ∈0AB=,||||jjJA