习题讨论《静电场、静电场中的导体与电介质》

1大学物理习题讨论课真空中的静电场静电场中的导体与电介质大学物理教研室：郑采星21.半径为R的带电细圆环，其电荷线密度为=0cos，式中0为一常数，为半径R与x轴所成的夹角，如图所示．试求环心O处的电场强度．解：在任意角处取微小电量dq=dl，它在O点产生的场强为：qddEdyRxORRlRqE0020204dsco4d4dd它沿x、y轴上的二个分量为：dEx=－dEcos,dEy=－dEsin对各分量分别求和20200dsco4RExR0040)d(sinsin42000REy故O点的场强为：iRiEEx004xEdyEd32.两条无限长平行直导线相距为r0，均匀带有等量异号电荷，电荷线密度为。（1）求两导线构成的平面上任一点的电场强度（设该点到其中一线的垂直距离为x）；（2）求每一根导线上单位长度导线受到另一根导线上电荷作用的电场力。分析：（1）在两导线构成的平面上任一点的电场强度为两导线单独在此所激发的电场的叠加。（2）由F=qE，单位长度导线所受的电场力等于另一根导线在该导线处的电场强度来乘以单位长度导线所带电的量，即：F=E应该注意：式中的电场强度E是除去自身电荷外其它电荷的合电场强度。ox0rxp4解：（1）设点P在两导线构成的平面上，E+、E-分别表示正、负带电导线在P点的电场强度，则有ixrxrixrxEEE)(211200000ox0rxpEEox0rxpEEox0rxpEEirxxrirxxEEE)(211200000ixrxrixrxEEE)(2112000005（2）设F+、F-分别表示正、负带电导线单位长度所受的电场力，则有相互作用力大小相等，方向相反，两导线相互吸引。irEF0022irEF0022ox0rxpEEox0rxpEEox0rxpEEixrxrixrxEEE)(211200000ox0rEE6解：参见图。由题意E与Oxy面平行，所以对任何与Oxy面平行的立方体表面。电场强度的通量为零:0DEFGOABCΦΦ3.边长为a的立方体如图所示，其表面分别平行于xy、yz和zx平面，立方体的一个顶点为坐标原点。现将立方体置于电场强度的非均匀电场中，求电场对立方体各表面及整个立方体表面的电场强度通量。?ABGFΦ请分析：jEikxEE21)(ABGFdABGFSSEΦ22d2ABGFdaESESS|xyzoABCDEFGABGF][d)])[(21SjSjEikxE1,0jjji7考虑到面CDEO与面ABGF的外法线方向相反，且该两面的电场分布相同，故有22ABGFCDEOaEΦΦ同理因此，整个立方体表面的电场强度通量3kaΦΦ2121AOEFAOEFAOEF]d[][daEiSjEiESEΦSSjEikxEE21)(2121BCDG)(][d])[(dBCDGBCDGakaEiSjEikaESEΦSSxyzoABCDEFG84.一无限大均匀带电薄平板，电荷面密度为，在平板中部有一半径为r的小圆孔。求圆孔中心轴线上与平板相距为x的一点P的电场强度。分析：用补偿法求解利用高斯定理求解电场强度只适用于几种非常特殊的对称性电场。本题的电场分布虽然不具有这样的对称性，但可以利用具有对称性的无限大带电平面和带电圆盘的电场叠加，求出电场的分布。若把小圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成、挖去圆孔的带电平板等效于一个完整的带电平板和一个带相反电荷（电荷面密度'=）的圆盘。这样中心轴线上的电场强度等效于平板和圆盘各自独立在该处激发的电场的矢量和。9解：在带电平面附近它们的合电场强度为在圆孔中心处x=0，则E=0在距离圆孔较远时xr，则上述结果表明，在xr时。带电平板上小圆孔对电场分布的影响可以忽略不计。nEˆ201为沿平面外法线的单位矢量；nˆnrxxEˆ122202nrxxEEEˆ222021nnxrEˆ2ˆ1120220圆盘激发的电场:例12.4105.如图所示，一厚度为b的“无限大”带电平板，其电荷体密度分布为=kx（0xb），式中k为一常数，求：（1）平板外两侧任一点P1和P2处的电场强度；（2）平板内任一点P处的电场强度；（3）场强为零的点在何处？x0bPP2P1x分析：平板外两侧电场分布在带电平板中取一平面，电荷面密度(x)02)(xE两侧均匀场,方向与平面垂直可知：平板外两侧电场仍为均匀电场，方向与板面垂直！11x0bPP2P1x解：（1）平板外两侧任一点P1和P2处的电场强度Es0200002dd12kSbxxSkxSSEbb024kbE（2）平板内任一点P处的电场强度E'02002d)(kSxxxkSSEEx)2(2220bxkE（3）场强为零的点在何处？0222bx)0(,2bxbx12分析：（1）根据静电感应和静电平衡时导体表面电荷分布的规律，电荷QA均匀分布在球A表面，球壳B内表面带电荷-QA,外表面带电荷QA+QB，电荷在导体表面均匀分布（图(a)），由带电球面电势的叠加可求得球A和球壳B的电势。6.在一半径为R1=6.0cm的金属球A外面套有一个同心的金属球壳B。已知球壳B的内、外半径分别为R2=8.0cm，R3=10.0cm。设球A带有总电荷QA=3.010-8C，球壳B带有总电荷QB=2.010-8C。（l）求球壳B内、外表面上所带的电荷以及球A和球壳B的电势；（2）将球壳B接地然后断开，再把金属球A接地，求球A和球壳B内、外表面上所带的电荷以及球A和球壳B的电势。AQBAQQ1R3R2R)(aAAQBo13解：（1）由分析可知，球A的外表面带电3.010-8C，球壳B内表面带电-3.010-8C，外表面带电5.010-8C。由电势的叠加，球A和球壳B的电势分别为VRQQRQRQUBAAAA3302010106.5444VRQQUBAB330105.44外表面带电荷QA+QB，电荷在导体表面均匀分布（图(a)），由带电球面电势的叠加可求得球A和球壳B的电势。（l）求球壳B内、外表面上所带的电荷以及球A和球壳B的电势BAQQ)(aAQ1R3R2RAAQBo14（2）将球壳B接地然后断开，再把金属球A接地，求球A和球壳B内、外表面上所带的电荷以及球A和球壳B的电势。导体接地，表明导体与大地等电势（大地电势通常取为零）。球壳B接地后，外表面的电荷与从大地流入的负电荷中和，球壳内表面带电-QA（图（b））。再将球A接地，球壳内表面带电-QA？AQ1R3R2R)(bAAQB断开球壳B的接地后，再将球A接地，此时球A的电势为零。电势的变化必将引起电荷的重新分布，以保持导体的静电平衡、不失一般性可设此时球A带电qA，根据静电平衡时导体上电荷的分布规律，可知球壳B内表面感应qA，外表面带电qAQA（图（c））。此时球A的电势可表示为AAQqAq1R3R2R)(cAAqB302010444RQqRqRqUAAAAA由UA=0可解出球A所带的电荷qA，再由带电球面电势的叠加，可求出球A和球壳B的电势。15解：（2）将球壳B接地后断开，再把球A接地，设球A带电qA，球A和球壳B的电势为解得0444302010RQqRqRqUAAAAA304RQqUAABCRRRRRRQRRqAA8313221211012.2AAQqAq1R3R2R)(cAAqB此时球A的电势可表示为302010444RQqRqRqUAAAAA由UA=0可解出球A所带的电荷qA，再由带电球面电势的叠加，可求出球A和球壳B的电势。V1092.72BU导体的接地使各导体的电势分布发生变化，打破了原有的静电平衡，导体表面的电荷将重新分布，以建立新的静电平衡。167.由两块相距0.50mm的薄金属板A、B构成的空气平板电容器被屏蔽在一金属盒K内，金属盒上、下两壁与A、B分别相距0.25mm，金属板面积为30mm40mm。求：（1）被屏蔽后电容器的电容变为原来的几倍；（2）若电容器的一个引脚不慎与金属屏蔽盒相碰，问此时的电容又为原来的几倍。分析：薄金属板A、B与金属盒一起构成三个电容器其等效电路图如图（b）所示，由于两导体间距离较小。电容器可视为平板电容器，通过分析等效电路图可求得A、B间的电容。17解：（1）由等效电路图（b）可知13232123CCCCCCCC由于电容器可视作平板电容器，且d1=2d2=2d31322CCC因此A、B间的总电容12CC（2）若电容器的一个引脚与屏蔽盒相碰，相当于C2（或者C3）极板短接，其电容为零，则总电容13CC188.一平板电容充电后极板上电荷面密度为0=4.510-5Cm-2。现将两极板与电源断开，然后再把相对电容率为r=2.0的电介质插人两极板之间。此时电介质中的D、E和P各为多少？解：介质中的电位移矢量的大小介质中的电场强度和极化强度的大小分别为D、P、E方向相同，均由正极板指向负极板（图中垂直向下）。160mV105.2rDE250mC103.2EDPS由有电介质的高斯定理SSD0250mC105.4D,0EEDrPEεD0199.某介质的相对电容率r=2.8，击穿电场强度为18×106V·m-1，如果用它来作平板电容器的电介质，要制作电容为0.047F，而耐压为4.0kV的电容器，它的极板面积至少要多大。解：介质内电场强度16bmV1018EE电容耐压Um=4.0kV，因而电容器极板间最小距离m1022.24bmEUd要制作电容为0.047F的平板电容器，其极板面积显然，这么大的面积平铺开来所占据的空间太大了，通常将平板电容器卷叠成筒状后再封装。20m42.0rCdS2010.有一个空气平板电容器，极板面积为S，间距为d。现将该电容器接在端电压为U的电源上充电，当（1）充足电后；（2）然后平行插入一面积相同、厚度为(d)，相对电容率为r的电介质板；（3）将上述电介质换为同样大小的导体板。分别求电容器的电容C，极板上的电荷Q和极板间的电场强度E。分析：电源对电容器充电，电容器极板间的电势差等于电源端电压U。插入电介质后，由于介质界面出现极化电荷，极化电荷在介质中激发的电场与原电容器极板上自由电荷激发的电场方向相反，介质内的电场减弱。由于极板间的距离d不变，因而与电源相接的导体极板将会从电源获得电荷，以维持电势差不变，并有SQdSQUr00)(21rdS设极板带电SQ0两板电势差有电介质无电介质EdEU)(rdU0000)(SQdSQUr00)()(0ddSUqCrr22相类似的原因，在平板电容器极板之间，若平行地插入一块导体板，由于极板上的自由电荷和插人导体板上的感应电荷在导体板内激发的电场相互抵消，与电源相接的导体极板将会从电源获得电荷，使间隙中的电场E增强，以维持两极板间的电势差不变，并有)(0