习题课 振动与波动

大学物理习题课——振动与波动习题课内容•振动•波动内容总结习题解答内容总结习题解答振动内容总结•简谐运动定义与判据•简谐运动的描述•简谐运动的合成•阻尼振动•受迫振动简谐运动定义与判据•定义：物体运动时，离开平衡位置的位移按余弦（或正弦）函数的规律随时间变化的运动。•判据–动力学判据:受到与对平衡位置的位移成正比而反向的合外力作用。–能量判据：动能与势能不断相互转化，总能量不变。–运动学判据：位置随时间变化符合正弦或余弦形式。简谐运动的描述•数学形式x=Acos(t+)•基本特征量–角频率–振幅A–初相•能量•动力学方程2222121)(21kAkxdtdxmEEEpk02022xdtxdkmTmk2,0022020arctan,xvvxA简谐运动的合成•同方向的两个同频率振动–合振动振幅决定于两个振动振幅和相差•同方向不同频率振动–频率差很小时存在拍现象，拍频为分振动频率差•相互垂直的两个同频率振动–圆、椭圆或线段•相互垂直的两个不同频率的振动–利萨如图简谐运动的动力学方程0222xdtxd阻尼运动受到与运动速度相反的阻力作用，不断克服阻力做功，运动能量不断被消耗而减少，振幅不断减小。三种情况欠阻尼过阻尼临界阻尼022022xdtdxdtxd受迫振动•在驱动力作用下的振动。•稳态的振动频率等于驱动力的频率；•驱动力频率等于振动系统固有频率时发生共振现象，此时系统可以最大限度地从外界吸收能量。重点内容•重点概念——相位–初相、相差、同相、反相•重点公式——x=Acos(t+)–振幅、相位、频率、初相•重点方法——旋转矢量法–简谐运动与圆周运动的联系波动内容总结•行波•简谐波•波动的微分方程与波的传播速度•波的能量•惠更斯原理•波的叠加与驻波•多普勒效应行波•波函数的一般形式：•波形曲线：某一时刻的y－x曲线。•波的传播表现为波形曲线以波速u的平移。()xyftuxy简谐波•波函数形式：•注意简谐波形曲线与简谐振动曲线的区别。coscos22xtxyAtAuTTuT各量关系：周期波速※波动的微分方程与波的传播速度波动方程：222221yyxut棒中波速：拉紧绳中波速：各向同性介质中横波波速：/EulltFu//Gut液体、气体中纵波波速：/Kul波的能量简谐波在一个周期内的平均能量密度：波动在传播振动形式的同时传播能量。2212wA平均能流：PwuS平均能流密度（波的强度）：2212IwuAu在均匀媒质中，平面波的强度不变，球面波强度与半径的平方成反比。22221122ArAr惠更斯原理惠更斯原理：介质中任一波阵面上的各点，都可以看作是发射子波的波源，其后任一时刻，这些子波的包迹就是新的波振面。应用该原理可以解释波的衍射、反射及折射现象。波的叠加与驻波波的叠加原理：几列波可以保持各自特点通过同一介质，在波相遇或叠加的区域内，任一点的位移，为各波单独在该点产生位移的合成。波的干涉－加强和减弱条件两列频率、振动方向和振幅都相同而传播方向相反的简谐波叠加形成驻波。表达式为：txAycos2cos2其实质是稳定的分段振动，有波节和波腹。注意：波从波疏介质到波密介质的界面反射时存在半波损失，此点只能是波节。多普勒效应接收器接收到的频率依赖于波源或观察者运动的现象称为多普勒效应。RRSSuvuvSSRRvuvu相向运动相背运动机械波一般情况coscosRRSSuVβννuVα例1.两个谐振子作同频率同振幅的简谐振动。第一个振子的振动表达式为x1=Acos(t+)，当第一个振子从振动的正方向回到平衡位置时，第二个振子恰在正方向位移的端点。(1)求第二个振子的振动表达式和二者的相差；(2)若t=0时，x1=–A/2，并向x负方向运动，画出二者的x-t曲线及相量图。解：(1)由已知条件画出相量图，可见第二个振子比第一个振子相位落后/2，故=2–1=–/2，第二个振子的振动函数为x2=Acos(t++)=Acos(t+–/2)A1A2xOA1A2xO3π2(2)由t=0时，x1=A/2且v0，可知=2/3，所以x1=Acos(t+2/3)，x2=Acos(t+/6)xA-AOπ2π3πtx1x2例题2：如图所示：一块均匀的长木板质量为m，对称地平放在相距l=20cm的两个滚轴上。滚轴的转动方向如图所示，滚轴表面与木板间的摩擦系数为=0.5。今使木板沿水平方向移动一段距离后释放。证明此后木板将做简谐运动，并求其周期。l＝20cm解：首先进行受力分析木板在竖直方向受重力G和支持力NA和NB作用，处于力矩平衡。木板在水平方向上受相反方向的摩擦力f1和f2作用。xNANBf2f1G=mg0xl/2-xl/2+xABmglxlNA2/右轮B上的支持力NB：mglxlNB2/得左轮A上的支持力NA：设坐标原点在l/2处：以右轮B为支点力矩平衡：xlmglNA2/以左轮A为支点力矩平衡：xlmglNB2/左轮上的摩擦力f1：AANf右轮上的摩擦力f2：BBNf木板在水平方向所受的合外力f：xlmgxlxllmgNNfffABAB222)(木板在水平方向运动的动力学方程：xlmgdtxdmf222整理得：0222222xdtxdxlgdtxd具有简谐运动微分方程的标准形式，所以木板将做简谐振动。sglTlg90.02222周期：；圆频率：例题3一横波沿绳传播，其波函数为（1）求此横波的波长、频率、波速和传播方向；（2）求绳上质元振动的最大速度并与波速比较。)0.2200(2sin1022xty解：（1）对比简谐波函数的公式2)(2sin)(2cos00xtAxtAy)0.2200(2sin1022xty得波长:m5.00.21周期T：sT310520011波速u：smTu/1001055.03符号为负，所以向x正方向传播。传播方向：（2）质元振动的最大速度vmax22102200cos2(2002.0)/yvtxmst2max2102200/25/vmsms4110025maxuv与波速对比：是波速的1/4。例题4：一平面简谐波沿x正向传播，如图所示；振幅为A，频率为，传播速度为u。（1）t=0时，在原点O处的质元由平衡位置向x轴正方向运动，试写出波的波函数；（2）若经分界面反射的波的振幅和入射波的振幅相等，试写出反射波的波函数，并求在x轴上因入射波和反射波叠加而静止的各点位置。OxPu43x波疏波密解：已知A、、u及＝u/。（1）波在O点的振动表达式：)2cos(0tAy由初始条件：y0＝Acos0=0，0=/2或-/2v0=-2Asin00，则sin000=-/2故振动表达式为：)22cos(tAy波函数为：2)(2cosuxtAy入射波函数为：2)(2cosuxtAy即222cosxutAy入射波到达界面P点的振动为)2cos(2232cos24322costAtAutAyP由于从波疏到波密介质界面发生半波损失，P点反射的振动为tAyP2cos'反射波的波函数：34222522222xyAtAtxAtxuucoscoscos反合成驻波:反入驻yyy22cos2cos2)222cos()222cos(txuAxutAxutA波节的位置为4)12(kx在OP区间4x在处为入射波、反射波干涉相消的静止点。43x例题5飞机在上空以速度v=200m/s作水平飞行，发出频率为0＝2000Hz的声波，静止在地面的观察者测定飞机发出的声波频率，当飞机越过观察者上空时，观察者在4s内测出的频率从1＝2400Hz降为2＝1600Hz，已知声波在空气中的速度为u=340m/s。试求飞机的飞行高度h。AMB在M点接收到飞机在A点发出的声波，飞机相对观察者的速度为cosAMvv按照多普勒效应公式001cosvuuvuuAM解出275.0cos101uv在M点接收到飞机在B点发出的声波，飞机相对观察者的速度为cosvvBM002cosvuuvuuBM解出4125.0cos202uvAMB由几何关系ctgctghvtABmvtctgctgvth3221008.1cos1coscos1cos故AMB例6：已知t=2s时一列简谐波的波形如图，求波函数及O点的振动函数。x(m)0.5y(m)Ou=0.5m/s123解：波函数标准方程xTtAy2cos已知A=0.5m，=2m，T=/u=2/0.5=4s由25.0422cos5.0)5.0,2(5.0xty得223即2所以波函数为)m(22cos5.0xtyO点的振动函数为)m(22cos5.0Oty例7如图,一列沿x轴正向传播的简谐波方程为(m)（1）在1，2两种介质分界面上点A与坐标原点O相距L=2.25m.已知介质2的波阻大于介质1的波阻,假设反射波与入射波的振幅相等,求：（a）反射波方程;（b）驻波方程;（c）在OA之间波节和波腹的位置坐标.yLOAx12])200π(200cos[1031xtyyLOAx12解（a）设反射波方程为（2）由式（1）得A点的反射振动方程（3）])200π(200cos[10032xty(m)]π)200π(200cos[1031LtyA(m)由式（2）得A点的反射振动方程（4）由式(3)和式(4)得：舍去])200π(200cos[10032LtyA2π-4π-3.5πππ20L2π0(m)所以反射波方程为：]2π)200π(200cos[1032xty(m)（b）)4ππ200cos()4ππcos(102321txyyy（c）令0)4ππcos(x令1)4ππcos(x),2,1,0(41nnxmm,2.25m,1.250.25m25.2xx得波节坐标≤得波腹坐标),2,1(41nnxmm,1.750.75m25.2xx≤请将此题的解法与例4进行比较，例4属于按部就班：先求振动，再求波动；而此题解法直接设反射波波函数，相对简单一些。