6.2常微分方程组和高阶常微分方程

§6.2常微分方程组和高阶常微分方程在许多实际问题中，常常出现高阶微分方程和高阶微分方程组，通过引入新的变量，总可化为一阶微分方程组。由此可知，讨论一阶常微分方程组的数值解法是很有意义的。6.2.1一阶常微分方程组数值解法解一阶常微分方程组的R-K方法算式为四阶方法求解如果用经典的时设一阶方程组,,,),,(),,(202101021222111K-Rddddyyyyttyytftyyytfty将方程组写成向量形式,记),,(),,(),('''21212112121yyxfyyxfyxfyyyyyy则问题可写成)13.6()(),(')0(0yxyyxfy求解该问题的四阶龙格--库塔公式),2()2,2()2,2(),()22(63)(42)(31)(2)(14321)()1(hKyhxfKKhyhxfKKhyhxfKyxfKKKKKhyynnnnnnnnnn其中K1，K2，K3，K4均为二维向量。,...)2,1,0(),,(),,,()2,2,2(),2,2,2()2,2,2(),2,2,2(),,(),,()22(61)22(6123213122123213111422212122322212111321211122221211111221221211112423222121214131211111nkykyhthfkkykyhthfkkykyhthfkkykyhthfkkykyhthfkkykyhthfkyythfkyythfkkkkkyykkkkyynnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn，分量形式。步求出重复上述过程可逐，，，的值；再以，时的，再计算出，，，，，，代入上式，先计算开始，将计算过程：从,...)2,1,0(12,11212111112111124142313122111202,101,00nnynyyyyyttnyyttkkkkkkkyyyyttn),...,2,1()(),..,,,(dd......),..,,,(dd),..,,,(dd002121222111miytyyyytftyyyytftyyyytftymiimmmmm值问题设一阶常微分方程组初个方程的情形。到将两个方程的情形推广:,),...,,()(),(:,),...,,(,),...,,(020100002121的向量形式是方法于是经典的四阶，这里则方程的向量形式为若记K-RddTTTbtayyyyytyytftyffffyyyymmm,...)2,1,0),()2,2()2,2(),()22(61342312143211nhthhthhththkyfkkyfkkyfkyfkkkkkyynnnnnnnnnn（,),(),(),(),(...1121121121mnnmnnnnnnmmnnnkkkthfthfthfthyyyyyyyfky，这里向量,)2,2()2,2()2,2()2,2(,)2,2()2,2()2,2()2,2(332312222123222211121112mnnmnnnnnnmnnmnnnnnnkkkhthfhthfhthfhtkkkhthfhthfhthfhthkykykykyfkkykykykyfk,...)2,1,0(),...2,1(),...,,,,()2,...,2,2,2()2,...,2,2,2(),...,,()2(61),(),(),(),(32321314222212131212111221143211442413323134nmikykykyhthfkkykykyhthfkkykykyhthfkyyythfkkkkkyykkkhthfhthfhthfhtmmnnnniimmnnnniimmnnnniimnnnniiiiiiininmnnmnnnnnnkykykykyfk其分量形式是一阶常微分方程组的R-K算法;)2);,...2,1(),...,,,(14,3,2,1)4();,...2,1(;;)3(;5.0;;;5.0;5.0)2(;),,...2,1(,,,)1(2154321jmiiiiiieiuttmitfkjmiyytthuhuhuhuhutmiythm）做对于输入：）。返回（停机输出：做对于3elsethenif)6();,...2,1(,)5(;32;1,...,2,1)3100eiijiiijiittmiytkuyykumi一阶常微分方程组的R-K方法6.2.2化高阶方程为一阶方程组()'(1)''(1)(1)000000'''(1)123'1210(,,,,);(),(),,().,,,,,()mmmmmmmyfxyyyyxyyxyyxyyyyyyyyymyyyxy高阶微分方程的初值问题可通过变量代换化为一阶微分方程组的初值问题。设有阶常微分方程初值问题引入新变量则可将阶方程化为如下一阶方程组：0''23200'(2)1100'(1)1200()()(,,,,)()mmmmmmmmyyyxyyyyxyyfxyyyyxy''''0000'00''001123411234(,,);(),().,();(,,),().(22);6(22)6,1,2,3,4)nnnniiyfxyyzyyxyyxyyzyxyzfxyzzxyhyyKKKKhzzMMMMKMi以二阶方程的初值问题为例：引入新变量对其用四阶龙格－库塔公式（计算公式略.2'''''200002115sin2201(0)2,(0)3(0)2,5sin22(0)3,,,0,2,3,2,3,2,MxxnnnnnnnnRKyexyyxyyyzyzyzexyzzxyzRKzfhfgyxKzzxKyx例：用四阶方法求解初值问题(取h=0.1)解：令因由公式得1111201M3.121.6238224,22,,222nnnnhzhghKhMyzhKhMyxMz继续计算（略）。