高三数学一轮复习-同角三角函数的基本关系及诱导公式巩固与练习

巩固1．cos(－174π)－sin(－17π4)的值是()A.2B．－2C．0D.22解析：选A.原式＝cos(－4π－π4)－sin(－4π－π4)＝cos(－π4)－sin(－π4)＝cosπ4＋sinπ4＝2.2.(2009年高考陕西卷)若tanα＝2，则2sinα－cosαsinα＋2cosα的值为()A．0B.34C．1D.54解析：选B.2sinα－cosαsinα＋2cosα＝2tanα－1tanα＋2＝2×2－12＋2＝34.3．若cosα＋2sinα＝－5，则tanα＝()A.12B．2C．－12D．－2解析：选B.由cosα＋2sinα＝－5，①sin2α＋cos2α＝1，②将①代入②得(5sinα＋2)2＝0，∴sinα＝－255，cosα＝－55.故选B.4．若函数f(x)＝－cosπx，x0，f(x＋1)＋1，x≤0.则f(－43)的值为________．解析：由已知得：f(－43)＝f(－13)＋1＝f(23)＋2＝－cos2π3＋2＝52.答案：525．(原创题)若f(cosx)＝cos2x，则f(sin15°)的值为________．解析：f(sin15°)＝f(cos75°)＝cos150°＝－cos30°＝－32.答案：－326．已知sin(π＋α)＝－13.计算：(1)cos(α－3π2)；(2)sin(π2＋α)；(3)tan(5π－α)．解：∵sin(π＋α)＝－sinα＝－13，∴sinα＝13.(1)cos(α－3π2)＝cos(3π2－α)＝－sinα＝－13.(2)sin(π2＋α)＝cosα，cos2α＝1－sin2α＝1－19＝89.∵sinα＝13，∴α为第一或第二象限角．①当α为第一象限角时，sin(π2＋α)＝cosα＝223.②当α为第二象限角时，sin(π2＋α)＝cosα＝－223.(3)tan(5π－α)＝tan(π－α)＝－tanα，∵sinα＝13，∴α为第一或第二象限角．①当α为第一象限角时，cosα＝223，∴tanα＝24.∴tan(5π－α)＝－tanα＝－24.②当α为第二象限角时，cosα＝－223，tanα＝－24，∴tan(5π－α)＝－tanα＝24.练习1．若sinθcosθ＝12，则tanθ＋cosθsinθ的值是()A．－2B．2C．±2D.12解析：选B.tanθ＋cosθsinθ＝sinθcosθ＋cosθsinθ＝1sinθcosθ＝2.2．(2010年中山调研)已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)＝()A．－1213B.1213C．±1213D.512解析：选A.由cos(α－π)＝－513得cosα＝513，而α为第四象限角，∴sin(－2π＋α)＝sinα＝－1－cos2α＝－1213.3．已知A＝sin(kπ＋α)sinα＋cos(kπ＋α)cosα(k∈Z)，则A的值构成的集合是()A．{1，－1,2，－2}B．{－1,1}C．{2，－2}D．{1，－1,0,2，－2}解析：选C.当k为偶数时，A＝sinαsinα＋cosαcosα＝2；k为奇数时，A＝－sinαsinα－cosαcosα＝－2.4．已知f(α)＝sin(π－α)cos(2π－α)cos(－π－α)tanα，则f(－31π3)的值为()A.12B．－12C.32D．－32解析：选B.∵f(α)＝sinαcosα－cosαtanα＝－cosα，∴f(－313π)＝－cos(－313π)＝－cos(10π＋π3)＝－cosπ3＝－12.故选B.5．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(2009)＝3，则f(2010)的值是()A．－1B．－2C．－3D．1解析：选C.f(2009)＝asin(2009π＋α)＋bcos(2009π＋β)＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－asinα－bcosβ＝3.∴asinα＋bcosβ＝－3.∴f(2010)＝asin(2010π＋α)＋bcos(2010π＋β)＝asinα＋bcosβ＝－3.6.已知集合P＝{x|x＝sin(k－33π)，k∈Z}，集合Q＝{y|y＝sin(21＋k3π)，k∈Z}，则P与Q的关系是()A．PQB．PQC．P＝QD．P∩Q＝∅解析：选C.sin(k－33π)＝sin[(k3－1)π]＝sin[(2＋k3－1)π]＝sin[(1＋k3)π]＝－sin(k3π)，sin(21＋k3π)＝sin(7π＋k3π)＝sin(π＋k3π)＝－sin(k3π)(k∈Z)，∴P＝Q，故选C.7．若α是第三象限角，则1－2sin(π－α)cos(π－α)＝________.解析：1－2sin(π－α)cos(π－α)＝1＋2sinαcosα＝sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝|sinα＋cosα|，又α在第三象限，∴sinα0，cosα0，∴|sinα＋cosα|＝－(sinα＋cosα)．答案：－(sinα＋cosα)8．若sinα＋sin2α＝1，则cos2α＋cos4α的值是________．解析：∵sinα＋sin2α＝1，∴sinα＝1－sin2α＝cos2α，∴cos2α＋cos4α＝sinα＋sin2α＝1.答案：19．已知sin(3π＋α)＝lg1310，则cos(π＋α)cosα[cos(π－α)－1]＋cos(α－2π)cosαcos(π－α)＋cos(α－2π)的值为________．解析：由于sin(3π＋α)＝－sinα，lg1310＝－13，得sinα＝13，原式＝－cosαcosα(－cosα－1)＋cosα－cos2α＋cosα＝11＋cosα＋11－cosα＝2sin2α＝18.答案：1810．已知sinα＝255，求tan(α＋π)＋sin(5π2＋α)cos(5π2－α)的值．解：∵sinα＝255＞0，∴α为第一或第二象限角．当α是第一象限角时，cosα＝1－sin2α＝55，tan(α＋π)＋sin(5π2＋α)cos(5π2－α)＝tanα＋cosαsinα＝sinαcosα＋cosαsinα＝1sinαcosα＝52.当α是第二象限角时，cosα＝－1－sin2α＝－55，原式＝1sinαcosα＝－52.11．(1)已知tanα＝3，求23sin2α＋14cos2α的值．(2)已知1tanα－1＝1，求11＋sinαcosα的值．解：(1)23sin2α＋14cos2α＝23sin2α＋14cos2αsin2α＋cos2α＝23tan2α＋14tan2α＋1＝23×32＋1432＋1＝58.(2)由1tanα－1＝1得tanα＝2，11＋sinαcosα＝sin2α＋cos2αsin2α＋cos2α＋sinαcosα＝tan2α＋1tan2α＋tanα＋1＝22＋122＋2＋1＝57.12．已知关于x的方程2x2－(3＋1)x＋m＝0的两根为sinθ和cosθ，θ∈(0,2π)，求：(1)m的值；(2)方程的两根及此时θ的值．解：(1)由根与系数关系可知sinθ＋cosθ＝3＋12①sinθ·cosθ＝m2，②Δ＝4＋23－8m≥0③由①式平方得1＋2sinθcosθ＝2＋32，∴sinθcosθ＝34.由②得m2＝34，∴m＝32.由③得m≤4＋238＝2＋34.而322＋34可得m＝32.(2)当m＝32时，原方程变为2x2－(3＋1)x＋32＝0，解得x1＝32，x2＝12.∴sinθ＝32，cosθ＝12，或cosθ＝32，sinθ＝12.又∵θ∈(0,2π)，∴θ＝π3或θ＝π6.