2.多项式矩阵

多项式矩阵一、多项式矩阵的定义1.设aij(i,j=1,2,…n)是以λ为未定量的数域上的多项式，由aij为元素构成的矩阵叫做多项式矩阵或λ-矩阵。或写成A（λ）=A0λm+A1λm-1+•••+Am-1λ+Am；其中Ai（i=0，1，•••，m）为n阶常数矩阵。)(a...)(a)(a............)(a...)(a)(a)(a...)(a)(a)(nnn2n12n22211n1211A2.运算注解：①多项式矩阵的加法、数乘及乘法与一般矩阵的运算规则一样，只是在运算过程中将数的运算换成多项式的运算即可。②多项式矩阵也可以像数字矩阵一样定义行列式，并且多项式矩阵行列式的性质与数字矩阵的行列式的性质相同。3.多项式矩阵的初等变换①矩阵的两行（列）互换；②矩阵的某一行（列）乘以非零的常数k；③矩阵的某一行（列）乘以多项式后加到另一行（列）。()f4.多项式矩阵的秩如果多项式矩阵A（λ）有一个r阶子式不为零，而所有的r+1阶子式全为零，则称A（λ）的秩为r，零矩阵的秩规定为零。5.多项式矩阵的逆矩阵设A（λ）是n阶λ-矩阵，如果存在n阶λ-矩阵B（λ），使A（λ）B（λ）=B（λ）A（λ）=I，则称A（λ）可逆，并称B（λ）是A（λ）的逆矩阵，且逆矩阵唯一。6.多项式矩阵的等价ABF,AB,ABABmn设，如果经有限次初等变换化为则称与等价，记为二、多项式矩阵的行列式因子1.定义：设A(λ)矩阵的秩为r,对于正整数k,1≤k≤r,A(λ)中必有非零的k级子式，A(λ)中全部k级子式的首项系数为1的最大公因式Dk(λ)称为A(λ)的k阶行列式因子.2.不变因子：A(λ)的所有不变因子称为A(λ)的不变因子组01()()(()1)()kkkDdDD12()()()(),1,2,kkDdddkr经过初等变换不改变多项式矩阵的秩和行列式因子，有相同的行列式因子或不变因子是A(λ)与B(λ)等价的充要条件例：求的行列式因子及不变因子解：D1(λ)=1,D2(λ)=λ,D3(λ)=λ3+λd1(λ)=1222212111221()(),()DdD2332()()1()DdD3.初等因子设矩阵A(λ)的不变因子是d1(λ),…di(λ)，di(λ)(i=1,2,…r)的标准分解式是则称的标准分解式中的一次因式的方幂(kij0)为A的初等因子。A的所有初等因子（重复的按重数计算）称为A的初等因子组。由定义知，初等因子是被不变因子确定的。1212ijiikkkijdidijkj例：设12阶矩阵A的不变因子组是，(λ-1)2，(λ-1)2(λ+1)，(λ-1)2(λ+1)(λ2+i)2.由初等因子的定义，得A的初等因子组是(λ-1)2，(λ-1)2，(λ-1)2，λ+1，λ+1，(λ+i)2，(λ-i)2所有初等因子的次数的和等于该矩阵的阶数911,1,,1个例：已知矩阵A的初等因子组为λ，λ，λ2，λ+i，λ-i，(λ+i)2，(λ-i)2，λ+1求A的不变因子组解：由初等因子组的次数之和为11，从而A是11阶矩阵先求最高次不变因子d11(λ)，不变因子应是不同的初等因子的乘积，最高次不变因子是其余不变因子的倍式，所以它是次数最高的不同初等因子的乘积，从而d11（λ)=λ2(λ+i)2(λ-i)2(λ+1)类似地，剩下的次数最高的初等因子相乘，并继续下去d10(λ)=λ(λ+i)(λ-i)，d9(λ)=λ由于初等因子已用完，剩下的不变因子都是1，d8(λ)=•••=d1(λ)=1三、多项式矩阵的标准型1.Smith标准型任意一个非零的多项式矩阵都等价于下列形式的矩阵（经过矩阵的初等变换实现）称它为A(λ)的Smith标准型，其中r≥1，di(λ)(i=1,2,…,r)是首项系数为1的多项式，且di(λ)|di+1(λ)(i=1,2,…,r-1)。其中，主对角线上的非零元素d1(λ),…dr(λ)称为λ-矩阵A(λ)的不变因子。例：用初等变换化多项式矩阵为Smith标准型12()()()00rddd223122222221331222222211312212112110111111211121100111010000223223213312233100001001000000000最后所得的矩阵为A(λ)的Smith标准型，d1(λ)=1,d2(λ)=λ,d3(λ)=λ3+λ为A(λ)的不变因子。2.Jordan标准型形如的方阵称为mi阶Jordan块，其中λi可以是实数，也可以是复数，由若干个Jordan块组成的分块对角阵其中Ji(i=1,2,…,r)为mi阶Jordan块，当=n时，称为n阶Jordan标准型，记为J。12rJJJ1riim111iiiiiimmJ四、多项式矩阵的应用1.矩阵理论在计算机方面的应用，如矩阵的奇异值分解的应用，QR分解在网络方面的应用，还有在三维图形图像方面的应用。2.多项式矩阵理论在网络分析中的应用，基于回路矩阵B、基本割集矩阵Q和支路伏安特矩阵[Y(s)Z(s)]列写出线性时不变有源网络的网络矩阵P(s)，借助多项式矩阵理论中有关解耦零点的概念和理论，研究网络的复杂度和稳定性。3.多项式矩阵理论知识，在建立和完善线性控制系统理论过程中具有基础作用，应用广泛。谢谢