高二圆锥曲线知识点总结与例题

1高二圆锥曲线知识点总结与例题分析一、椭圆1、椭圆概念平面内与两个定点1F、2F的距离的和等于常数2a（大于21||FF）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若M为椭圆上任意一点，则有21||||2MFMFa。椭圆的标准方程为：22221xyab（0ab）（焦点在x轴上）或12222bxay（0ab）（焦点在y轴上）。注：①以上方程中,ab的大小0ab，其中222bac；②在22221xyab和22221yxab两个方程中都有0ab的条件，要分清焦点的位置，只要看2x和2y的分母的大小。例如椭圆221xymn（0m，0n，mn）当mn时表示焦点在x轴上的椭圆；当mn时表示焦点在y轴上的椭圆。2、椭圆的性质①范围：由标准方程22221xyab知||xa，||yb，说明椭圆位于直线xa，yb所围成的矩形里；②对称性：椭圆关于x轴、y轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；③四个顶点：1(,0)Aa，2(,0)Aa，1(0,)Bb，2(0,)Bb线段21AA、21BB分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a；在22RtOBF中，2||OBb，2||OFc，22||BFa，且2222222||||||OFBFOB，即222cab；④离心率：椭圆的焦距与长轴的比cea叫椭圆的离心率。3、点与椭圆的关系点00(,)Pxy和椭圆12222byax（0ab）的关系：（1）点00(,)Pxy在椭圆外2200221xyab；（2）点00(,)Pxy在椭圆上220220byax＝1；2（3）点00(,)Pxy在椭圆内2200221xyab二、双曲线1、双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线12||||||2PFPFa。注意：①式中是差的绝对值，在1202||aFF条件下；12||||2PFPFa时为双曲线的一支；21||||2PFPFa时为双曲线的另一支（含1F的一支）；②当122||aFF时，12||||||2PFPFa表示两条射线；③当122||aFF时，12||||||2PFPFa不表示任何图形；④两定点12,FF叫做双曲线的焦点，12||FF叫做焦距。椭圆和双曲线比较：椭圆双曲线定义1212||||2(2||)PFPFaaFF1212||||||2(2||)PFPFaaFF方程22221xyab22221xyba22221xyab22221yxab焦点(,0)Fc(0,)Fc(,0)Fc(0,)Fc注意：要分清焦点的位置，由x2,y2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上2、双曲线的性质①范围：从标准方程12222byax，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线ax的外侧。②对称性：坐标轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。③两个顶点：)0,()0,(2aAaA实轴：线段2AA叫做双曲线的实轴，它的长等于2,aa叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段2BB叫做双曲线的虚轴，它的长等于2,bb叫做双曲线的虚半轴长。⑤渐近线：xa，yb围成的矩形的两条对角线，称为双曲线的渐近线。双曲线12222byax渐近线为xaby。⑤等轴双曲线：1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：ab；2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：xy；（2）渐近线互相垂直（3）离心率为2e。3）注意到等轴双曲线的特征ab，则等轴双曲线可以设为：)0(22yx，当0时交点在x轴，当0时焦点在y轴上。3三、抛物线（1）抛物线的概念平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。方程022ppxy叫做抛物线的标准方程。注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（2p,0），它的准线方程是2px；（2）抛物线的性质一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：pxy22，pyx22，pyx22.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：标准方程22(0)ypxp22(0)ypxp22(0)xpyp22(0)xpyp图形焦点坐标(,0)2p(,0)2p(0,)2p(0,)2p准线方程2px2px2py2py范围0x0x0y0y对称性x轴x轴y轴y轴顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)离心率1e1e1e1e说明：（1）焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调p的几何意义：是焦点到准线的距离。四、直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交：0直线与椭圆相交；0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0，当直线与双曲线oFxyloxyFlxyoFl4的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。（2）相切：0直线与椭圆相切；0直线与双曲线相切；0直线与抛物线相切；（3）相离：0直线与椭圆相离；0直线与双曲线相离；0直线与抛物线相离。特别提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。五、弦长公式直线与圆锥曲线相交所得的弦长直线具有斜率k,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为1122(,),(,)AxyBxy,则它的弦长2221212121211(1)()41ABxxxxxxyy2kkk注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为1212()yyxxk，运用韦达定理来进行计算.当直线斜率不存在是,则12AByy.六、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆12222byax中，以00(,)Pxy为中点的弦所在直线的斜率k=－0202yaxb；在双曲线22221xyab中，以00(,)Pxy为中点的弦所在直线的斜率k=0202yaxb；在抛物线22(0)ypxp中，以00(,)Pxy为中点的弦所在直线的斜率k=0py。高二圆锥曲线例题分析5例1、12FF、是椭圆2214xy的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则12||||PFPF的最大值是．解：.12||||PFPF≤2212||||()42PFPFa例2、已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线01yx交于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．解：由题意，设椭圆方程为1222yax，由101222yaxyx，得021222xaxa，∴222112aaxxxM，2111axyMM，4112axykMMOM，∴42a，∴1422yx为所求．例3设双曲线2212yx上两点A、B，AB中点M（1，2），求直线AB方程；解：方法一：显然AB斜率存在设AB：y-2=k(x-1)由22212ykxkyx得：(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0当△0时，设A（x1,y1），B（x2,y2）则122(2)22xxkkk∴k=1，满足△0∴直线AB：y=x+1法二：设A（x1,y1），B（x2,y2）则221122221212yxyx两式相减得：(x1-x2)(x1+x2)=21(y1-y2)(y1+y2)∵x1≠x2∴121212122()yyxxxxyy∴2112ABk∴AB：y=x+1代入2212yx得：△0评注：法一为韦达定理法，法二称为点差法，当涉及到弦的中点时，常用这两种途径处理。在利用点差法时，必须检验条件△0是否成立。6例4.椭圆中心是坐标原点O，焦点在x轴上，e=23，过椭圆左焦点F的直线交椭圆于P、Q两点，|PQ|=920，且OP⊥OQ，求此椭圆的方程.解:设椭圆方程为22ax+22by=1,(ab0)⑴PQ⊥x轴时，F(-c,0)，|FP|=ab2，又|FQ|=|FP|且OP⊥OQ，∴|OF|=|FP|,即c=ab2∴ac=a2-c2,∴e2+e-1=0,∴e=215与题设e=23不符,所以PQ不垂直x轴.⑵PQ∶y=k(x+c),P(x1,y1),Q(x2,y2),∵e=23,∴a2=34c2,b2=31c2,所以椭圆方程可化为:3x2+12y2-4c2=0,将PQ方程代入，得(3+12k2)x2+24k2cx+12k2c2-4c2=0,∴x1+x2=2212324kck,x1x2=2222123412kcck由|PQ|=920得21k·2222222123)412(4)12324(kcckkck=920①∵OP⊥OQ,∴11xy·22xy=-1即x1x2+y1y2=0,∴(1+k2)x1x2+k2c(x1+x2)+c2k2=0②把21xx，21xx代入，解②得k2=114，把1142k代入①解得c2=3∴a2=4,b2=1，则所求椭圆方程为42x+y2=1.例5.双曲线3x2-y2=1上是否存在关于直线y=2x对称的两点A、B?若存在，试求出A、B两点的坐标；若不存在，说明理由.解：设AB：y=21x+m,代入双曲线方程得11x2+4mx4(m2+1)=0,这里△=(4m)24×11［4(m2+1)］=16(2m2+11)＞0恒成立，设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0),则x1+x2=11m4，∴x0=112m,y0=21x0+m=1112m,若A、B关于直线y=2x对称，则M必在直线y=2x上，∴1112m=114m得m=1，由双曲线的对称性知，直线y=21x与双曲线的交点的A、B必关7于直线y=2x对称.∴存在A、B且求得A(112，111)，B(112，111)例6、求椭圆1322yx上的点到直线06yx的距离的最小值．解：方法一：方法二：设椭圆上的点为sincos3，，则距离为263sin226sincos3d．当13sin时，22最小值d．例7、设x，Ry，xyx63222，求xyx222的最大值和最小值．分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程xyx63222与椭圆方程的结构一致．设mxyx222，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值．解：由xyx63222，得123492322yx可见它表示一个椭圆，其中心在023，点，焦点在x轴上，且过（0，0）点和（3，0）点．设mxyx222，则1122myx它表示一个圆，其圆心为（－1，0）半径为11mm．在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示．观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即11m，此时0m；当圆过（3，0）点时，半径最大，即41m，∴15m