3.7 正弦定理、余弦定理及应用

学案7正弦定理、余弦定理及应用考点1考点2填填知学情课内考点突破规律探究考纲解读考向预测考点3考点4考点5返回目录考纲解读正弦定理、余弦定理及应用（1）掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.考向预测三角形的内容不仅能考查正、余弦定理的应用，而且能很好地考查三角变换的技巧，还可与立体几何、解析几何、向量、实际应用等知识相结合.因此是高考中常常出现的题型，各种题型都有可能出现.返回目录(2)a=2RsinA,b=2RsinB,;(3)sinA=sinB=,sinC=等形式,以解决不同的三角形问题.1.正弦定理:其中R是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形为:a:b:c=sinA:sinB:sinC;sinAasinCc2Ra2Rb2Rc(1)sinBb2Rc=2RsinC返回目录2.余弦定理:a2=,b2=,c2=.余弦定理可以变形为:cosA=,cosB=,cosC=.3.S△ABC=absinC==acsinB==(a+b+c)·r（r是三角形内切圆的半径），并可由此计算R,r.21214Rabc21b2+c2-2bccosAa2+c2-2accosBa2+b2-2abcosC2bca-cb2222bcb-ca2222bcc-ba222bcsinA21返回目录4.在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：（1）已知两角及任一边，求其他边或角；（2）已知两边及一边的对角，求其他边或角.情况(2)中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分.余弦定理可解决两类问题:(1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题;(2)已知三边问题.5.解三角形的类型△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:返回目录A为锐角A为钝角或直角图形关系式a=bsinAbsinAaba≥bab解的个数一解两角一解一解返回目录7.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线叫仰角，目标视线在水平视线叫俯角（如图3-7-1中①).6.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.上方下方返回目录(2)方位角指从方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图3-7-1②).(3)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数.正北返回目录考点1正弦定理的应用【分析】利用正弦定理,求出sinB，再利用sin2B+cos2B=1求出cosB.BsinbsinAa［2010年高考湖北卷］在△ABC中，a=15,b=10,A=60°则cosB=()A.B.C.-D.-3632236322返回目录【解析】由正弦定理得sinB=∵ab,∴B60°,∴cosB=故应选A.3633123315sin6010返回目录本题考查了正弦定理及同角三角函数基本关系式的应用.利用正弦定理可解决的问题是:(1)已知两角一边可求第三角,解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可.(2)已知两边和一边对角解三角形时,利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角,这是解题的难点,应引起注意.返回目录在△ABC中,AB=10,A=45°,在BC边的长分别为20,,5的情况下,求相应角C.由正弦定理:得sinC=,当BC=20时,sinC=.∵BCAB,∴AC,∴C=30°.当BC=,sinC=,∵AB·sin45°BCAB,∴C有两解.∴C=60°或120°,当BC=5时,sinC=21无解.25320sinABCsinCABBC10BCAB·sinA21532023返回目录［2010年高考湖南卷］在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若∠C=120°,c=a,则()A.abB.abC.a=bD.a与b的大小关系不能确定【分析】由余弦定理得出a,b的关系,把边长c用a表示,再找出a2与b2的大小关系.2考点2余弦定理的应用返回目录【解析】由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC,又C=120°,∴2a2=a2+b2+ab,∴a2=b2+abb2,∴ab.故应选A.本题考查了余弦定理的应用,关键是去掉c,找出a与b的关系.返回目录在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且.(1)求B的大小;(2)若b=,a+c=4,求△ABC的面积.c2ab-cosCcosB13返回目录【解析】(1)由余弦定理知,cosB=,cosC=.将上式代入得整理得a2+c2-b2=-ac,∴cosB=∵B为三角形的内角，∴B=π.2acb-ca2222abc-ba222c2ab-cosCcosB,c2ab-c-ba2ab·2acb-ca222222,21-2aac-2acb-ca22232返回目录(2)将b=,a+c=4,B=代入b2=a2+c2-2accosB,得b2=(a+c)2-2ac-2accosB，∴b2=16-2ac(1-),∴ac=3.∴S△ABC=acsinB=.13322121433返回目录在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,且b2+c2-a2+bc=0.(1)求角A的大小;(2)若a=,求bc的最大值;(3)求的值.考点3正、余弦定理的综合应用3c-bC)-asin(30返回目录【分析】(1)b2+c2-a2+bc=0的结构形式,可联想到余弦定理,求出cosA,从而求出A的值.(2)由a=及b2+c2-a2+bc=0,可求出关于b,c的关系式,利用不等式,即可求出bc的最大值.(3)由正弦定理可实现将边化为角的功能,从而达到化简求值的目的.3返回目录【解析】(1)∵cosA=又∵A∈(0,180°),∴A=120°.(2)由a=,得b2+c2=3-bc,又∵b2+c2≥2bc（当且仅当c=b时取等号），∴3-bc≥2bc(当且仅当c=b时取等号）.即当且仅当c=b=1时,bc取得最大值为1.212bcbc2bcacb2223返回目录(3)由正弦定理得∴2RsinCcsinBbsinAa21sinC23cosC23sinC)43cosC43sinC-C)-sin(60sinC)23cosC21(23sinC-sinBC)-sinAsin(302RsinC-2RsinBC)-302RsinAsin(c-bC)-asin(30返回目录(1)在三角形中求角,往往选择先求该角的余弦值,然后利用余弦函数在(0,π)上的单调性求角.(2)正、余弦定理能实现边角转化，在解题时一定要重视.返回目录已知△ABC是半径为R的圆内接三角形,且2R(sin2A-sin2C)=(a-b)sinB.(1)求角C;(2)试求△ABC面积S的最大值(1)由2R(sin2A-sin2C)=(a-b)sinB,两边同乘以2R,得(2RsinA)2-(2RsinC)2=(a-b)2RsinB,根据正弦定理,得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,∴a2-c2=(a-b)b,即a2+b2-c2=ab.22222返回目录再由余弦定理,得cosC=,又0Cπ,∴C=.(2)∵C=,∴A+B=.S=absinC=(2RsinA)(2RsinB)=R2sinAsinB=-R2sinAsin()=R2〔cosA+sinA〕.=R2(sin2A-sinAcosA)=222abc-ba2224443214222222返回目录A4322)1A2cosA2(sinR21222R21)4A2(sinR22∵0A,2A-π,当且仅当2A-=,即A=时,sin(2A-)=1,S取到最大值R2.83221返回目录434454424已知方程x2-(bcosA)x+acosB=0的两根之积等于两根之和，且a,b为△ABC的两边，A,B为两内角，试判定这个三角形的形状.考点4判断三角形的形状【分析】先由已知条件得出三角形的边角关系.要判定三角形的形状，只需将边角关系转化为边之间或角之间的关系即可判定.返回目录【解析】方法一:设方程的两根为x1,x2，由韦达定理知x1+x2=bcosA,x1x2=acosB.由题意有bcosA=acosB,根据余弦定理得b·=a·,∴b2+c2-a2=a2+c2-b2,化简得a=b,∴△ABC为等腰三角形.2bca-cb2222acbca222返回目录方法二:同方法一得bcosA=acosB,由正弦定理得2RsinBcosA=2RsinAcosB,∴sinAcosB-cosAsinB=0,即sin(A-B)=0.∵0＜A＜π,0＜B＜π，∴-π＜A-B＜π.∴A-B=0，即A=B.故△ABC为等腰三角形.返回目录由三角形的边角关系判定三角形的形状，其基本思路是根据正弦定理和余弦定理进行边角变换，全化为边的关系或全化为角的关系（一般化为角较方便），然后利用简单的平面几何知识即可判定.应注意式子的等价变形和隐含条件的挖掘，以免漏解或增解.返回目录［2010年高考上海卷］某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是,,，则此人将()A.不能作出满足要求的三角形B.作出一个锐角三角形C.作出一个直角三角形D.作出一个钝角三角形13111151返回目录【解析】设三角形三边长为a,b,c.根据三角形面积相等得S=a·=c·=b·,∴a=26S,c=10S,b=22S.由大角对大边得26S对应的角最大，∴.又A∈(0,π),∴∠A为钝角.故应选D.1102322S10S2(26S)(22S)(10S)cosA22213121215121111返回目录考点5正、余弦定理的实际应用［2010年高考陕西卷］如图,A,B是海面上位于东西方向相距5(3+)海里的两个观测点,现位于A点北偏东45°B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/时,该救援船到达D点需要多长时间?33返回目录【分析】利用正弦定理求出BD长度，在△BCD中利用余弦定理可求出CD的长度.由速度可求时间.【解析】由题意知AB=5(3+)海里,∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=90°-45°=45°,∴∠ADB=180°-(45°+30°)=105°.在△DAB中,由正弦定理得3ADBsinABDABsinDB返回目录∴=103(海里).又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°BC=20(海里),在△DBC中,由余弦定理得CD2=BD2+BC2-2BD·BC·cos∠DBC=300+1200-2×10×20×12=900,3213)13(3545cos60sin60cos45sin45sin)33(5105sin45sin)33(5DABsinDABsinABDB33返回目录本题主要考查运用正弦定理和余弦定理解三角形,把实际问题转化为解三角形的问题,同时考查运用数学知识解决实际问题的能力和运算求解能力.∴CD=30(海里),∴需要的时间t==1（小时）.答:救援船到达D点需要1小时.3030返回目录在△ABC中，已知a=,b=2,B=45°,求角A，C和边c的值.6【解析】∵B=45°90°,且ba,∴△ABC有两解.由正弦定理,得,即sinA=,∴A=60°或120°.BsinbAsina23245sin6bBsina返回目录(1)当A=60°时,C=180°-(A+B)=75°,此时;(2)当A=120°时,C=180°-(A+B)=15°,此时.∴A=60°,C=75°,c=+1或A=120°,C=15°,c=-1.1345sin75sin2BsinCsinbc31