2014辽宁高考数学(理)解析版

第1页共10页2014·辽宁卷(理科数学)1．[2014·辽宁卷]已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝()A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0x1}1．D[解析]由题意可知，A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，所以∁U(A∪B)＝{x|0＜x＜1}．2．[2014·辽宁卷]设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝()A．2＋3iB．2－3iC．3＋2iD．3－2i2．A[解析]由(z－2i)(2－i)＝5，得z－2i＝52－i，故z＝2＋3i.3．、[2014·辽宁卷]已知a＝2－13，b＝log213，c＝log1213，则()A．abcB．acbC．cabD．cba3．C[解析]因为0a＝2－131，b＝log2130，c＝log1213log1212＝1，所以cab.4．[2014·辽宁卷]已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α4．B[解析]B[解析]由题可知，若m∥α，n∥α，则m与n平行、相交或异面，所以A错误；若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错误．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊥α或n与a相交，故D错误．5．、[2014·辽宁卷]设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0，命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是()A．p∨qB．p∧qC．(綈p)∧(綈q)D．p∨(綈q)5．A[解析]由向量数量积的几何意义可知，命题p为假命题；命题q中，当b≠0时，a，c一定共线，故命题q是真命题．故p∨q为真命题．6．[2014·辽宁卷]6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A．144B．120C．72D．246．D[解析]这是一个元素不相邻问题，采用插空法，A33C34＝24.7．、[2014·辽宁卷]某几何体三视图如图1­1所示，则该几何体的体积为()A．8－2πB．8－πC．8－π2D．8－π4第2页共10页图1­17．B[解析]根据三视图可知，该几何体是正方体减去两个体积相等的圆柱的一部分占圆柱的14后余下的部分，故该几何体体积为2×2×2－2×14×π×2＝8－π.8．[2014·辽宁卷]设等差数列{an}的公差为d.若数列{2a1an}为递减数列，则()A．d0B．d0C．a1d0D．a1d08．C[解析]令bn＝2a1an，因为数列{2a1an}为递减数列，所以bn＋1bn＝2a1an＋12a1an＝2a1(an＋1－an)＝2a1d1，所得a1d0.9．[2014·辽宁卷]将函数y＝3sin2x＋π3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数()A．在区间π12，7π12上单调递减B．在区间π12，7π12上单调递增C．在区间－π6，π3上单调递减D．在区间－π6，π3上单调递增9．B[解析]由题可知，将函数y＝3sin2x＋π3的图像向右平移π2个单位长度得到函数y＝3sin2x－23π的图像，令－π2＋2kπ≤2x－23π≤π2＋2kπ，k∈Z，即π12＋kπ≤x≤7π12＋kπ，k∈Z时，函数单调递增，即函数y＝3sin2x－23π的单调递增区间为π12＋kπ，7π12＋kπ，k∈Z，可知当k＝0时，函数在区间π12，7π12上单调递增．10．[2014·辽宁卷]已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为()A.12B.23C.34D.4310．D[解析]因为抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－p2，且点A(－2，3)在准线上，所以p＝4.设直线AB的方程为x＋2＝m(y－3)，与抛物线方程y2＝8x联立得到y2－8my＋24m＋16＝0，由题易知Δ＝0，解得m＝－12(舍)或者m＝2，这时B点的坐标为(8，8)，而焦点F的坐标为(2，0)，故直线BF的斜率kBF＝8－08－2＝43.11．[2014·辽宁卷]当x∈[－2，1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是()A．[－5，－3]B.－6，－98C．[－6，－2]D．[－4，－3]11．C[解析]当－2≤x0时，不等式转化为a≤x2－4x－3x3，令f(x)＝x2－4x－3x3(－2≤x0)，则f′(x)＝－x2＋8x＋9x4＝－（x－9）（x＋1）x4，故f(x)在[－2，－1]上单调递减，在(－1，0)上单调递增，此时有a≤1＋4－3－1＝－2.当x＝0时，g(x)恒成立．当0x≤1时，a≥x2－4x－3x3，第3页共10页令个g(x)＝x2－4x－3x3(0x≤1)，则g′(x)＝－x2＋8x＋9x4＝－（x－9）（x＋1）x4，故g(x)在(0，1]上单调递增，此时有a≥1－4－31＝－6.综上，－6≤a≤－2.12．、[2014·辽宁卷]已知定义在[0，1]上的函数f(x)满足：①f(0)＝f(1)＝0；②对所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f(x)－f(y)|12|x－y|.若对所有x，y∈[0，1]，|f(x)－f(y)|k恒成立，则k的最小值为()A.12B.14C.12πD.1812．B[解析]不妨设0≤yx≤1.当x－y≤12时，|f(x)－f(y)|12|x－y|＝12(x－y)≤14.当x－y12时，|f(x)－f(y)|＝|f(x)－f(1)－(f(y)－f(0))|≤|f(x)－f(1)|＋|f(y)－f(0)|12|x－1|＋12|y－0|＝－12(x－y)＋1214.故kmin＝14.13．[2014·辽宁卷]执行如图1­2所示的程序框图，若输入x＝9，则输出y＝________．图1­213.299[解析]当x＝9时，y＝5，则|y－x|＝4；当x＝5时，y＝113，则|y－x|＝43；当x＝113时，y＝299，则|y－x|＝491.故输出y＝299.14．[2014·辽宁卷]正方形的四个顶点A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1，1)，D(－1，1)分别在抛物线y＝－x2和y＝x2上，如图1­3所示．若将—个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．图1­3第4页共10页14.23[解析]正方形ABCD的面积S＝2×2＝4，阴影部分的面积S1＝2－11(1－x2)dx＝2x－13x31－1＝83，故质点落在阴影区域的概率P＝834＝23.15．[2014·辽宁卷]已知椭圆C：x29＋y24＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝______．15．12[解析]取MN的中点为G，点G在椭圆C上．设点M关于C的焦点F1的对称点为A，点M关于C的焦点F2的对称点为B，则有|GF1|＝12|AN|，|GF2|＝12|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)＝4a＝12.16．、[2014·辽宁卷]对于c0，当非零实数a，b满足4a2－2ab＋4b2－c＝0且使|2a＋b|最大时，3a－4b＋5c的最小值为________．16．－2[解析]由题知2c＝－(2a＋b)2＋3(4a2＋3b2)．(4a2＋3b2)1＋13≥(2a＋b)2⇔4a2＋3b2≥34(2a＋b)2，即2c≥54(2a＋b)2，当且仅当4a21＝3b213，即2a＝3b＝6λ(同号)时，|2a＋b|取得最大值85c，此时c＝40λ2.3a－4b＋5c＝18λ2－1λ＝181λ－42－2≥－2，当且仅当a＝34，b＝12，c＝52时，3a－4b＋5c取最小值－2.17．、[2014·辽宁卷]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ac.已知BA→·BC→＝2，cosB＝13，b＝3.求：(1)a和c的值；(2)cos(B－C)的值．17．解：(1)由BA→·BC→＝2得c·a·cosB＝2，又cosB＝13，所以ac＝6.由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accosB，又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.解ac＝6，a2＋c2＝13，得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.因为a＞c，所以a＝3，c＝2.(2)在△ABC中，sinB＝1－cos2B＝1－132＝223.由正弦定理，得sinC＝cbsinB＝23·223＝429.因为a＝b＞c，所以C为锐角，因此cosC＝1－sin2C＝1－4292＝79.所以cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC＝13×79＋223×429＝2327.18．、、[2014·辽宁卷]一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频第5页共10页率分布直方图，如图1­4所示．图1­4将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．18．解：(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另1天销售量低于50个”．因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率分别为P(X＝0)＝C03·(1－0.6)3＝0.064，P(X＝1)＝C13·0.6(1－0.6)2＝0.288，P(X＝2)＝C23·0.62(1－0.6)＝0.432，P(X＝3)＝C33·0.63＝0.216.X的分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216因为X～B(3，0.6)，所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8，方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.19．、[2014·辽宁卷]如图1­5所示，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点．(1)求证：EF⊥BC；(2)求二面角E­BF­C的正弦值．图1­519．解：(1)证明：方法一，过点E作EO⊥BC，垂足为O，连接OF.由△ABC≌△DBC可证出△EOC≌△FOC，所以∠EOC＝∠FOC＝π2，即FO⊥BC.又EO⊥BC，EO∩FO＝O，所以BC⊥平面EFO.又EF⊂平面EFO，所以EF⊥BC.第6页共10页图1方法二，由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线，并将其作为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线，并将其作为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得B(0，0，0)，A(0，－1，3)，D(3，－1，0)，C(0，2，0)，因而E(0，12，32)，F(32，12，0)，所以EF→＝(32，0，－32)，BC→＝(0，2，0)，因此EF→·BC→＝0，从而EF→⊥BC→，所以EF⊥BC.图2(2)方法一，在图1中，过点O作OG⊥BF，垂足为G，连接EG.因为平面ABC⊥平面BDC，所以EO⊥面BDC，又OG⊥BF，所以由三垂线定理知EG⊥BF，因此∠EGO为二面角E­BF­C的平面角．在△EOC中，EO＝12EC＝12BC·cos30°＝32.由△BGO∽△BFC知，OG＝BOBC·FC＝34，因此tan∠EGO