y=Asin(ωx+φ)图象性质

1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象函数y=Asin(ωx+φ)的图象有什么特征？A,ω,φ对图象又有什么影响?如何作出它的图象？它的图象与y＝sinx的图象又有什么关系呢？引入：2232xsinxsin2xsin210探索研究（1）函数与的图象的联系xsinAyxsiny例1．画出函数及（）的简图．xsiny2xsiny21Rx解：函数及的周期均为，xsiny2xsiny212先作上的简图．20，列表并描点作图：21210100000000－1－22利用这两个函数的周期性，我们可以把它们在上的简图向左、右分别扩展，从而得到它们的简图.20，xy2232xsinyxsiny2xsiny21o动画演示函数（且）的图象可以看做是把函数的图象上所有点的纵坐标伸长（当时）或缩短（当）到原来的倍（横坐标不变）而得到,f(x)Af(x),这种变换称为振幅变换，它是由的变化而引起的，叫做函数的振幅．，的值域是，最大值是，最小值是．归纳总结：xsinAy0A1Axsiny1A10AAAAxsinAyxsinAyRxAA，AA（2）函数与的图象的联系xsinyxsiny例2．作函数及的简图．xsiny2xsiny21解：函数的周期，xsiny222T先作时的简图．，0x列表：22322223x443x22xsin200000x34x212xsin21000001－11－1函数的周期，先作时的简图．xsiny214212T40，xyx223243434xsiny21xsiny2xsiny动画演示函数（且）的图象,可以看做是把的图象上所有点的横坐标缩短（当时）或伸长（当时）到原来的倍（纵坐标不变）而得到的.f(x)f(ωx)这种变换称为周期变换，它是由的变化而引起的，与周期的关系为．归纳总结：xsiny01xsiny1101T2T（3）函数y=sin(x+φ)与y＝sinx的图象的联系例3．作函数y=sin(x+)及y=sin(x-)的简图.(用图象变换法)34向左平移π/3个单位长度y=sinx的图象y=sin(x+)的图象π3y=sin(x-)的图象π4y=sinx的图象向右平移π/4个单位长度ox22231-1y43y=sinxy=sin(x+)π3πy=sin(x-)4动画演示注:φ引起图象的左右平移,它改变图象的位置,不改变图象的形状.φ叫做初相.归纳总结：y=sin(x+φ)的图象,可以看作把y=sinx的图象向左(当φ0)或向右(当φ0)平移|φ|个单位长度而得到.f(x)f(x+φ)(简记为:左加右减)-3ox222312-1-23y63用图象变换法作y=3sin(2x+π/3)的图象的方法步骤:向左平移π/3个单位长度横坐标缩短到原来的1/2倍(纵坐标不变)纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)y=sinx的图象y=sin(x+π/3)的图象第1步:第2步:y=sin(x+π/3)的图象y=sin(2x+π/3)的图象y=sin(2x+π/3)的图象y=3sin(2x+π/3)的图象第3步:y=sinxy=sin(x+π/3)y=sin(2x+π/3)y=3sin(2x+π/3)（一）（二）先把y=sinx的图象向左(当φ0时)或向右(当φ0时)平移|φ|个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短(当ω1时)或伸长(当0ω1时)到原来的1/ω倍(纵坐标不变),再把所得各点的纵坐标伸长(当A1时)或缩短(当0A1时)到原来的A倍(横坐标不变)注：y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)中,A叫振幅,ωx+φ叫相位，φ叫初相，周期T=2π/ω,A，ω的变化引起伸缩变换,φ的变化引起平移变换.一般的，函数y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)的图象可由以下方法得到：函数y=Asin（ωx+φ），x∈R的图象可由如下步骤得到：步骤1：画出y=sinx，x∈[0，2π]步骤2：得y=sin（x+φ）,(一个周期)沿x轴↓平行移动步骤3：得y=sin(ωx+φ),(一个周期)横坐标↓伸长或缩短步骤4：得y=Asin(ωx+φ),(一个周期)纵坐标↓伸长或缩短步骤5：得y=Asin（ωx+φ），x∈R沿x轴↓扩展2、将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的２倍，纵坐标不变，得到的函数的解析式为：1、将函数y=3sinx的图象向右平移个单位长度，得到函数的解析式为：4)4sin(3xy)52sin(2xy2sin()5yx课堂练习:3、为得到ｙ＝４sin(2x+)，x∈R，的图象，只需将函数ｙ＝2sin(2x+)，x∈R的图象上所有点()(A)横坐标变为原来的２倍，纵坐标不变(B)横坐标变为原来的倍，纵坐标不变(C)纵坐标变为原来的２倍，横坐标不变(D)纵坐标变为原来的倍，横坐标不变213213C4、为得到ｙ＝２sin(x－)，x∈R，的图象，只需将函数ｙ＝２sin(x－)，x∈R的图象上所有点()(A)横坐标变为原来的２倍，纵坐标不变(B)横坐标变为原来的倍，纵坐标不变(C)纵坐标变为原来的２倍，横坐标不变(D)纵坐标变为原来的倍，横坐标不变21332121Ａ5、为得到函数ｙ＝sin(2x-),x∈R的图象，只需将函数ｙ＝sin2x,x∈R，的图象上所有点()(A)向左平移个单位长度(B)向右平移个单位长度(C)向左平移个单位长度(D)向右平移个单位长度36633B6、将函数y=sinx的图象上所有点的横坐标变为原来的３倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向左平移个单位长度，得到的函数的解析式为:6)6(31sinxyy=3sin(x-)的图象214第3步:y=sin(x-)的图象421y=sin(x-)的图象214第2步:y=sin(x-)的图象4第1步:y=sinx的图象y=sin(x-)的图象47.如何由y=sinx的图象得到y=3sin(x-)的图象?214向右平移π/4个单位长度各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)各点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)解:1.y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)中,A叫振幅,φ叫初相.A,ω的变化引起______变换,φ的变化引起______变换.(横向变换可简记为:左加右减,小伸大缩)（纵向变换可简记为：大伸小缩）伸缩平移课堂小节:2.变换法作y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)简图的步骤:③再把所得图象各点的纵坐标____(A1时)或_____(0A1时)到原来的___倍(横坐标不变),而得的y=Asin(ωx+φ)的图象.①把y=sinx的图象向___(φ0时)或向___(φ0时)平移|φ|个单位长度得到y=sin(x+φ)的图象.②把所得y=sin(x+φ)图象各点的横坐标_____(ω1时)或_____(0ω1时)到原来的_____倍(纵坐标不变),得到y=sin(ωx+φ)的图象.左右缩短伸长1/ω伸长缩短A题型二求函数y=Asin(ωx+φ)+b的解析式如图为y=Asin（ωx+φ）的图象的一段，求其解析式.首先确定A.若以N为五点法作图中的第一个零点，由于此时曲线是先下降后上升（类似于y=-sinx的图象），所以A0；若以M点为第一个零点,由于此时曲线是先上升后下降（类似于y=sinx的图象），所以A0.而可由相位来确定.思维启迪,2T解方法一以N为第一个零点，方法二由图象知A=，)32sin(3,3,026),0,6().2sin(3,2,)365(2,3xyNxyTA所求解析式为点此时解析式为则3).322sin(3.3226503.)0,65(,)0,3(xyPM所求解析式为解之得列方程组为第二个零点为第一个零点以①②(1)①与②是一致的，由①可得②，事实上同样由②也可得①.(2)由此题两种解法可见，在由图象求解析式时，“第一个零点”的确定是重要的,应尽量使A取正值.(3)已知函数图象求函数y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0）的解析式时，常用的解题方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定A,由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ,但由图象求得的y=Asin（ωx+φ）（A0,ω0）的解析式一般不惟一，只有限定φ的取值范围，才能得出惟一解，否则φ的值不确定，解析式也就不惟一.探究提高)322sin(3)32sin(3xxy),322sin(3x（4）将若干个点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ，这里需要注意的是，要认清选择的点属于“五点”中的哪一个位置点，并能正确代入式中.依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系是：“第一点”（即图象上升时与x轴的交点）为ωx+φ=0；“第二点”（即图象曲线的最高点）为；“第三点”（即图象下降时与x轴的交点）为ωx+φ=π；“第四点”（即图象曲线的最低点）为；“第五点”为ωx+φ=2π.2x23x题型三函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的综合应用（12分）在已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中A0,ω0,0φ)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为且图象上一个最低点为(1)求f(x)的解析式；(2)当时，求f(x)的值域.易知T=π，A=2，利用点M在曲线上可求φ，第（2）问由函数图象易解，关键是将ωx+φ看成一个整体.2,2).2,32(M2,12x思维启迪解).62sin(2)(,6),2,0().(6112),(2234,1)34sin(,2)322sin(2)2,32(.222,,222.2)2,32()1(xxfkkkkMTTTxAM故又故即在图象上得由点即得的距离为轴上相邻两个交点之间由得由最低点为ZZ[1分][3分][5分][6分]解题示范认识并理解三角函数的图象与性质是解决此题的关键.图象与x轴的两个相邻交点间的距离即为半个周期.在求函数值域时,由定义域转化成ωx+φ的范围.即把ωx+φ看作一个整体.].2,1[)(,1)(,2,6762;2)(,6,262,67,362,2,12)2(的值域为故取得最小值时即当取得最大值时即当xfxfxxxfxxxx[8分][10分][12分]探究提高