第9章-2 弯曲应力

(StressesinBeams)回顾与比较内力应力公式及分布规律均匀分布FA线性分布PTI分布？??(StressesinBeams)伽利略Galilei（1564-1642）伽利略做木梁弯曲试验的装置此结论是否正确？(StressesinBeams)一、教学目标1、通过推导纯弯曲时梁横截面上的正应力，掌握求解应力在截面上分布问题的思路及方法。2、正确掌握弯曲正应力和剪应力的计算公式。3、熟练掌握弯曲强度计算。二、教学重点与难点1、纯弯曲梁横截面上正应力公式的推导（重点）2、横力弯曲最大拉应力和最大压应力的计算3、弯曲的强度计算（难点）(StressesinBeams)§9-1引言第9章弯曲应力§9-4梁的切应力及强度条件§9-3横力弯曲时的正应力§9-2纯弯曲时的正应力(StressesinBeams)mmFSM一、弯曲构件横截面上的应力§9-1引言mmFSmmM只有与正应力有关的法向内力元素dFN=dA才能合成弯矩.弯矩M剪力FS弯曲内力只有与切应力有关的切向内力元素dFS=dA才能合成剪力；所以，在梁的横截面上一般既有正应力，又有切应力.切应力正应力(StressesinBeams)CD段，只有弯矩，没有剪力二、纯弯曲（Purebending)++FF+FaFFaaCDAB正应力正应力、切应力——纯弯曲AC、BD段，既有弯矩，又有剪力——横力弯曲(StressesinBeams)§9-2纯弯曲时的正应力变形几何关系物理关系静力关系观察变形提出假设变形的分布规律应力的分布规律建立公式弯曲正应力分布规律和计算公式(StressesinBeams)一、实验1.变形现象纵向线相对转过了一个角度，仍与变形后的纵向弧线垂直.各横向线仍保持为直线，直线横向线曲线各纵向线长度还相等吗？各横向线之间依然平行吗？(StressesinBeams)2.提出假设（a）平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面且垂直于变形后的梁轴线；（瑞士，Jacob.贝努力，1695）（b）单向受力假设：纵向纤维不相互挤压，只受单向拉压.推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层中性轴横截面对称轴⊥中性层中性轴横截面对称轴(StressesinBeams)关于中性层的历史1620年，荷兰物理学家、力学家比克门首先发现中性层；1678年，英国科学家胡克阐述了同样的现象，但没有涉及中性轴的位置问题；1826年，法国科学家纳维出版《材料力学》讲义结论：中性轴过截面形心(StressesinBeams)dx图（b）yzxO线应变的变化规律：与纵向纤维到中性层的距离成正比.图（a）dx二、变形几何关系图（c）dzyxO’O’b’b’ybbOOxbbdOO''OOdyyddd)(d)(ybb从横截面上看：点离中性轴越远，该点的线应变越大.(StressesinBeams)三、物理关系所以Hooke’sLawMyzOx1.与它到中性轴的距离成正比.弯曲正应力的分布规律：?待解决问题：中性轴的位置中性层的曲率半径??EεσyEσ沿截面高度，线性分布.沿截面宽度，均匀分布.2.正弯矩作用，上压下拉.3.危险点的位置，离中性轴最远处.(StressesinBeams)yzxOMdAyσdA四、静力关系横截面上内力系为垂直于横截面的空间平行力系，这一力系简化得到三个内力分量.FNMzMy内力与外力相平衡可得dAdAzyAAAσFddNNFyMzMAAyAzσMddAAzAyσMdd0（1）0（2）M（3）NdFyMdzMdAσd(StressesinBeams)将应力表达式代入（1）式，得将应力表达式代入（2）式，得将应力表达式代入(3)式，得中性轴通过横截面形心zIEM1自然满足0dNAyEFA0dAAyE0dAAyzS0dAyzEMAiy0dAAyzE0dAAyzyzIMAyyEMAizdMIEzMAyEAd2(StressesinBeams)zEIM1yEσ将代入得到纯弯曲时横截面上正应力的计算公式:zIMyσM为梁横截面上的弯矩；y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离；Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩.(StressesinBeams)2.实验—观察—假设3.外力推导弯曲正应力计算公式的方法小结：5.数学方法内力应力4.三关系法变形几何关系物理关系静力学关系应力内力积分1.理想模型法纯弯曲横力弯曲(StressesinBeams)讨论（1）应用公式时，一般将M以绝对值代入.根据梁变形的情况直接判断的正负号.以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力(为正号)，凹入边的应力为压应力（为负号）.（2）最大弯曲正应力IyMσzmaxmax则公式改写为WMσmax引用记号—抗弯截面系数maxyIWzmax/zMyI（反映截面几何形状、尺寸对强度的影响）（适用条件：截面关于中性轴对称）发生在横截面上离中性轴最远的点处.(StressesinBeams)（3）当中性轴为对称轴时实心圆截面zdy32π2/64/π2/34ddddIWz32πPdI4PIIIzyzyII所以64πdIIzy4(StressesinBeams)（3）当中性轴为对称轴时矩形截面62/12/2/23bhhbhhIWzAzIAyd2zbAdd12dd32222bhzbzAzIhhAy123hbIzbhyzCzdz(StressesinBeams)（3）当中性轴为对称轴时空心圆截面zDdyDdαDW)1(32π43)(6444zdDI(StressesinBeams)zy（4）对于中性轴不是对称轴的横截面ymaxcymaxtM应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离和直接代入公式ytmaxymaxczIMyσmaxcσtmaxσIMyσzmaxcmaxcIMyσzmaxtmaxt组合截面惯性矩的计算？(StressesinBeams)yzOC(a,b)bazCyCyC,zC￣过截面的形心C且与y,z轴平行的坐标轴(形心轴）Iy,Iz,Iyz—截面对y,z轴的惯性矩和惯性积.IyC,IzC,IyCzC￣截面对形心轴yC,zC的惯性矩和惯性积.(a,b)―形心C在yOz坐标系下的坐标y,z￣任意一对坐标轴C―截面形心——平行移轴公式组合截面惯性矩、惯性积的计算(StressesinBeams)组合截面惯性矩、惯性积的计算niyiyII1nizizII1niyziyzII1￣第i个简单截面对y,z轴的惯性矩，惯性积.yziziyiIII,,截面对与形心轴平行的y,z轴惯性矩和惯性积，AaIICyy2AbIICzz2abAIICCzyyz——平行移轴公式(StressesinBeams)横截面上内力：§9-3横力弯曲时的正应力一、横力弯曲（Nonuniformbending）正应力弯矩+剪力横截面上应力：正应力+切应力横截面：切应力使发生翘曲横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力不再保持为平面纯弯曲的平面假设纯弯曲的单向受力假设XX(StressesinBeams)弹性力学精确分析表明：对于跨度l与横截面高度h之比l/h5的细长梁用纯弯曲正应力公式计算横力弯曲正应力所以横力弯曲最大正应力误差2%满足工程中所需要的精度IyMσzmaxmax(StressesinBeams)1.纯弯曲或细长梁（l/h5）的横力弯曲；3.弹性变形阶段；4.平面弯曲.2.横截面惯性积；0yzI弯曲正应力公式适用范围：zIMyσ(StressesinBeams)1.计算的是哪个截面上的弯曲正应力，2.所求的是该截面上哪一点的弯曲正应力；3.弯曲正应力沿高度呈线性分布，沿宽度呈均匀分布；注意：确定该截面上的弯矩和该截面对中性轴的惯性矩；确定该点到中性轴的距离以及该点处应力的符号；4.中性轴上弯曲正应力为零，梁的上下边缘处达到最大拉应力和最大压应力；5.梁在中性轴的两侧分别受拉或受压；弯曲正应力的符号根据弯矩的正负及梁的变形状态确定.(StressesinBeams)练习矩形截面简支梁承受均布载荷作用，如图所示.1、C截面上K点正应力2、C截面最大正应力3、全梁上最大正应力4、已知E=200GPa，求C截面的曲率半径(StressesinBeams)1.塑性材料（抗拉压强度相等）（2）对称于中性轴的截面，（3）变截面梁，（1）无论截面形状如何，maxmaxmaxzMyI二、弯曲正应力强度条件弯曲正应力的分布规律maxmaxMσW危险点：距离中性轴最远处分别发生最大拉应力和最大压应力[]σ[]σ综合考虑(StressesinBeams)2.脆性材料（抗拉压强度不等；抗压不抗拉）（2）最大应力与内力图有关（3）分别校核（1）最大应力与截面形状有关二、弯曲正应力强度条件弯曲正应力的分布规律危险点：距离中性轴最远处分别发生最大拉应力和最大压应力中性轴偏于受拉一侧？常采用关于中性轴不对称的截面][tmaxtσσ][cmaxcσσ（两者有时并不发生在同一横截面上）-maxmaxMM、(StressesinBeams)3.强度条件的应用][maxσMW（2）设计截面][maxσWM（3）确定许可载荷（1）强度校核][maxσWM(StressesinBeams)80y1y22020120z例题1T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示.铸铁的许用拉应力为[t]=30MPa，许用压应力为[c]=160MPa.已知截面对形心轴z的惯性矩为Iz=763cm4，y1=52mm，校核梁的强度.F1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m分析：非对称截面，寻找中性轴位置.做弯矩图，寻找最大弯矩截面.计算最大拉应力、最大压应力.(StressesinBeams)FRAFRBF1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m-+4kN2.5kN解：kN52R.FAkN510R.FB最大正弯矩在截面C上最大负弯矩在截面B上mkN5.2MCmkN4MBB截面][MPa2.27t1maxtσIyMσzB][MPa2.46c2maxcσIyMσzBC截面][MPa8.28t2maxtσIyMσzC80y1y22020120z(StressesinBeams)例题2螺栓压板夹紧装置如图所示.已知：截面形状尺寸如图，板长3a＝150mm，压板材料的弯曲许用应力[]＝140MPa.试计算压板传给工件的最大允许压紧力F.ACBFa2a203014FRAFRB+Fa解：（1）作出弯矩图；（2）求惯性矩，抗弯截面系数433cm07.112)cm2)(cm4.1(12)cm2)(cm3(zI34maxcm07.11cmcm07.1yIWzz（3）求许可载荷][maxσWFaMzkN3][aσWFz(StressesinBeams)一、梁横截面上的切应力1.矩形截面梁§9-4梁的切应力及强度条件（1）两个假设（a）切应力与剪力平行；（b）切应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离处切应力相等）.q(x)F1F2(StressesinBeams)（2）分析方法（a）用横截面m-m,n-n从梁中截取dx微段q(x)F1F2mmnnxdx1zMyI2zMdMyI两横截面上的弯矩不等，所以两截面同一y处正应力也不等(StressesinBeams)（b）假想地从梁段上截出体积元素mB1mnnmxyzObdxm’m’hnyABA1B1ABB1A1mnxzyyḿFN2FN1在两端面mA1，nB1上两个法向内力不等.1N11dAFσA1N22dAFσAA1为距中性轴为y的横线以外部分的横截面面积.(StressesinBeams)mnnmxyzOyABA1B1bdxm’m