第9章 应力状态与强度理论

9.1第９章应力状态与强度理论§9.2应力状态的概念§9.1轴向拉压杆斜截面上的应力§9.3应力状态分析简介§9.4强度理论小结9.2§9.1轴向拉压杆斜截面上的应力拉、压杆承受载荷时的破坏，并不都是沿着横截面方向。例如：低碳钢的屈服、铸铁的压断都是沿着与横截面成45°的斜截面发生的。这是由于什么原因造成的呢？图示某拉杆，设任一斜截面的方位角为。mm：指的是斜截面的外法线与轴的夹角，其正负规定为：自的正方向按逆时针转至斜截面外法线时，为正值；反之为负值。nxxn斜截面上的内力为FF9.3§9.1轴向拉压杆斜截面上的应力设拉杆横截面面积为A，斜截面面积为，，则斜截面上的全应力为：AcosAAcoscosAFAFp（9.1）（式中，为横截面上的正应力）。AF9.4将斜截面上的全应力分解为与斜截面垂直的正应力和与斜截面相切的切应力。p2sin2sincossincoscos2pp（9.2）当最大，其值为：，在过该点的横截面上。,0max当，最大，，在过该点与轴线成的斜截面上。452max45由式（9.2）可知，斜截面上的应力和均为方位角的函数。这表明，轴向拉压杆内同一点的不同方位的截面上的应力是不同的。这就解释了为什么低碳钢拉伸屈服时出现的滑移线，以及铸铁压缩断裂的断裂面的现象。4545§9.1轴向拉压杆斜截面上的应力9.5§9.2应力状态的概念9.2.1一点的应力状态过构件内同一点的不同方位的截面上应力情况是不同的。这就出现了构件的破坏不一定总是沿着横截面方向的现象。为了分析各种破坏现象，建立组合变形下的强度条件，必须研究受力构件内某一点处各个不同方位截面上的应力情况，即研究一点应力状态。我们把某一点处各个不同方位截面上的应力情况称为“点的应力状态”。9.6§9.2应力状态的概念9.2.2一点的应力状态的研究方法为了研究某点的应力状态，可以在该点处截取一个微小的正六面体，我们称其为单元体。若令单元体的边长趋于零，那么单元体各不同方位截面上的应力情况就代表该点的应力状态。如果单元体上的应力都可以由构件上的外载荷求得，这样的单元体称为原始单元体。9.79.2.3主平面主应力把单元体上切应力等于零的平面称为主平面。把主平面上的正应力称为主应力。如果在受力构件的任一点能找到由三个互相垂直的主平面组成的单元体，这种单元体称为主单元体。§9.2应力状态的概念9.81）单向应力状态；2）二向应力状态：3）三向应力状态：二向应力状态和三向应力状态统称为复杂应力状态。§9.2应力状态的概念9.2.4应力状态的分类9.9§9.3应力状态分析简介9.3.1平面应力状态斜截面上的应力9.10使用以上二式时应注意应力正负符号的规定：（1）正应力以拉应力为正，压应力为负；（2）切应力以对单元体内任一点产生顺时针转向的力矩的切应力为正，反之为负。公式中的夹角，以自轴正向按逆时针转至斜截面的外法线时所转过的角度为正，反之为负。xn§9.3应力状态分析简介2sin2cos22xyxyx（9.3）2cos2sin2xyx（9.4）9.11解：1）在A点处沿纵向和横向截取单元体，如图b所示，可知为单向应力状态。可求得：MPa30Pa103010101030643AFσx2）代入得：MPa5.22cos2cos222sin2cos222ασασσατασσσσσxxxxyxyxα§9.3应力状态分析简介例9.1拉杆横截面面积，,如图9.4a所示，求拉杆斜截面上的正应力和切应力。kN30,cm102FA30MPa132sin22cos2sin2ασατασστxxyxα9.129.3.2平面应力状态主应力的大小和方向0)2cos2()2sin2(2ddατασσασxyxα02cos2sin2xyx（9.5）§9.3应力状态分析简介若设主平面的外法线与轴正向间的夹角（即主平面的方向角）为，可得：nxoyxxo22tan（9.6）最大和最小正应力分别为：22minmax)2(2xyxyx（9.7）9.139.3.3最大切应力平面应力状态和空间应力状态都属于复杂应力状态。经理论分析证明，其最大切应力的值为：（9.8）231max§9.3应力状态分析简介其作用面与第一和第三主平面均成夹角，并与第二主平面垂直。459.14例9.2试利用应力状态理论，塑性材料和脆性材料圆轴的扭转破坏现象。解：圆轴扭转时，最大切应力发生在圆轴的外表面，表面上A点的原始单元体为平面应力状态，如图9.6b所示，这种状态也称为纯剪切应力状态。由扭转切应力公式得：。pxWT§9.3应力状态分析简介9.15由式（9.7）得：xxyxyx22minmax)2(2故三个主应力分别为：。xx321,0,由式（9.6）有yxxo22tan可得：和45o4590o而对于由脆性材料制成的圆轴，扭转破坏发生在沿与轴线成的45º斜截面方向，这是由于脆性材料的抗拉强度较低所造成的。§9.3应力状态分析简介9.16例9.3一单元体应力状态如图所示。已知，，，。试求：1）的斜截面上的应力；2）主应力值与主平面位置，并画出主单元体；3）最大切应力值。MPa20xMPa40yMPa20xMPa20y459.3应力状态分析简介9.17§9.3应力状态分析简介解：1）由式（9.3）和（9.4）可得MPa10202402090sin90cos2245xyxyxτσσσσσMPa302402090cos90sin245xyxτσστ负号表示与图示所设方向相反。2）由式（9.7）可得MPa1.26MPa1.4620)24020(24020)2(22222minmaxxyxyxτσσσσσσ9.18按主应力规定的排列顺序，得：由式（9.6）得MPa1.26,0,MPa1.46321σσσ667.0402020222tanyxxo得85.10690,85.16oo§9.3应力状态分析简介3）由式（9.8）可得MPa1.362)1.26(1.46231maxσστ9.19§9.4强度理论9.4.1强度理论的概念前面我们对于构件在轴向拉压、扭转以及平面弯曲时的强度条件是用或的形式来表示的，其中许用应力或是通过对材料进行破坏实验测出失效（断裂或屈服）时的极限应力再除以安全系数后得到的，总之是以实验为基础的。maxmax工程实际中构件的受力情况较为复杂，构件上的危险点常处于复杂应力状态。人们在试验观察、理论分析、实践检验的基础上产生了一种构思：认为材料的失效（如断裂或屈服）主要是由某一因素（诸如应力、应变或变形能等）引起的，与材料的应力状态无关，只要导致材料失效的这一因素达到了极限值，构件就会失效。这样，就找到了一条利用简单应力状态的实验结果来建立复杂应力状态下强度条件的途径，我们把这些推测造成材料失效的主要因素的假说称为强度理论。9.209.4.2四种常见的强度理论四种强度理论的强度条件可以用统一的一种形式来表达：（9.9）r式中称为相当应力。它由三个主应力按一定的形式组合而成。对脆性断裂：；而对塑性屈服：。rnbns§9.4强度理论(一)最大拉应力理论（第一强度理论）该理论认为：材料无论在何种应力状态下，引起其脆性断裂的主要原因是最大拉应力，当最大拉应力达到了与材料性质有关的某一极限值，材料就会发生脆性断裂。（9.10）11r9.21（二）最大拉应变理论（第二强度理论）该理论认为：材料无论在何种应力状态下，引起其脆性断裂的主要原因是最大拉应变，当最大拉应变达到了与材料性质有关的某一极限值，材料就会发生脆性断裂。§9.4强度理论在复杂应力状态下材料的最大拉应变可由广义胡克定律推导出为：，而材料在单向拉伸变形时拉应变的极限值为：)(13211E，即有。该理论认为：无论多么复杂的应力状态，只要其最大拉应变达到材料在单向拉伸时的极限时即会发生断裂。据此就可以得到由第二强度理论建立的强度条件为：EbuEEb)(13211u)(3212r9.22在复杂应力状态下的最大切应力为，而材料在单向拉伸到屈服时，与轴线成的斜截面上有，即有，该理论认45(三)最大切应力理论（第三强度理论）该理论认为：材料无论在何种应力状态下，引起其塑性屈服的主要原因是最大切应力，当最大切应力达到了与材料性质有关的某一极限值，材料就会发生塑性屈服。231max2maxs2231s§9.4强度理论为：无论多么复杂的应力状态，只要其最大切应力达到材料在单向拉伸时的，即会发生塑性屈服。据此就可以得到第三强度理论建立的强度条件：max2s313r9.23由理论推导得出，在复杂应力状态下的畸变能密度为：而材料在单向拉伸屈服时的畸变能密度为：213232221)()()(61Evd231sdEv§9.4强度理论据此就可以推出由第四强度理论建立的强度条件为：2132322214)()()(21r9.249.4.3四种强度理论的适用范围1）脆性材料通常以断裂形式失效，宜采用第一或第二强度理论。2）塑性材料通常以屈服形式失效，宜采用第三或第四强度理论。3）在三向拉伸应力状态下，如果三个拉应力相近，无论是塑性材料或脆性材料都将以断裂形式失效，宜采用第一强度理论。4）在三向压缩应力状态下，如果三个压应力相近，无论是塑性材料或脆性材料都可引起塑性变形，宜采用第三或第四强度理论。§9.4强度理论9.25例9.4构件内某点的应力状态如图所示，试用第三和第四强度理论建立相应的强度条件。则三个主应力分别为：，，。2）由第三和第强度理论的强度条件为：解：1）求主应力由式（9.7）得:2222minmax)2(2)2(2xyxyx221)2(202223)2(2223134r2221323222143)()()(21r§9.4强度理论9.26例9.5锅炉内径，炉内蒸汽压强，锅炉钢板材料的许用应力。试按第三和第四强度理论分别设计锅炉壁厚（薄壁）。m1DMPa6.3pMPa160σ解：工程上常见的蒸汽锅炉、储气罐等，都可视为圆桶形薄壁容器。在图示A处取单元体，作用于横截面上的正应力称为轴向应力；作用于纵截面上的正应力称为周向应力。xy§9.4强度理论9.27单元体上的三个主应力分别为：4pDx0yF01)1(2Dpy2pDy0,4,2321pDpDxy§9.4强度理论由图（c）建立平衡方程0xF0)4()(2DpDδσx由图（d）建立平衡方程9.28按第三强度理论设计壁厚；2313pDrmm25.11m1025.111016021106.32366σpDδ§9.4强度理论按第四强度理论设计壁厚；43)20()04()42(21)()()(212222132322214pDp