马尔科夫预测法

5.3马尔科夫预测法•一、适用条件•二、引例——青蛙的随机跳跃•三、转移矩阵的基本性质•四、马氏链概念•五、正则链•六、马氏链模型一、适用条件当研究对象被作为一个过程来看待，能按时间顺序或空间特征来划分阶段时，可用此法建模预测。（亦称递推法）属于状态转移法之一，即状态转移不是确定的，而是随机的，则建立随机型状态转移模型，如马氏链模型等。二、引例——青蛙的随机跳跃池塘里有3片荷叶，一只青蛙从一片荷叶跳到另一片荷叶完全是随机的。青蛙处于某一片荷叶上称为一个状态，青蛙从一片荷叶跳到另一片荷叶称为状态的转移。这样，共有3个状态。经过长时间的观察，了解到青蛙从第片荷叶跳到第片荷叶的概率为，于是可以构成一个3阶方阵，称为状态转移概率矩阵，简称为转移矩阵（或转移概率矩阵，或概率矩阵，或随机矩阵），则称为转移概率。状态的转移还可用图表示出来。ijijpPPijp132333231232221131211Pppppppppp0ijp转移概率的本质——条件概率，即在状态发生的条件下，状态发生的概率。jii对每一个，都有即任一行的元素之和都等于1，故将任一行向量叫做概率向量。11njijp三、转移矩阵的基本性质1、设是一维概率向量，是一阶转移矩阵，则也是一维概率向量。),,,(U21nuuuPnUPnn例)6.0,4.0(U9.01.02.08.0P)62.0,38.0(UP2、设都是阶转移矩阵，则也是阶转移矩阵。BA,ABnn例5.05.03.07.0B,9.01.02.08.0A48.052.034.066.0AB四、马氏链概念（一）马尔科夫过程青蛙的一连串跳跃形成一随机过程。其特点是：过程在时刻的状态仅与时的状态有关，而与以前的状态无关。这一特性称为无后效性。具有这一特性的随机过程称为马尔科夫过程（简称马氏过程）。1ktkt1kt（二）马尔科夫链青蛙的跳跃在时间和状态上都是离散的，故是一种特殊的马尔科夫过程，称之为马尔科夫链（简称马氏链）。（三）马氏链的基本方程系统在时刻出现状态的概率记作，则由全概率公式，得ktj)(kaj——全部状态的个数。n矩阵形式：kkkP)0(AP)1(A)(Aniijijpkaka1)1()(nji,,2,1,设青蛙的转移矩阵为2.04.04.06.01.03.03.05.02.0P初始状态为(1,0,0),以后各步的状态概率向量为0.363050.36310.36290.36370.36070.37110.3390.420.3030.331210.33120.33130.33090.33250.32610.3500.270.5020.305740.30570.30580.30540.30680.30280.3110.310.2119876543210k状态五、正则链（一）含义——一个有个状态的马氏链如果存在正整数，使从任一状态经次转移都以大于零的概率到达状态，则称之为正则链。nikjnji,,2,1,k（二）充要条件——存在正整数，使得（指的每一元素都大于零）。0PkkPk例如5.05.001B,5.05.010A,75.025.05.05.05.05.010A22kkkk2121201B,25.075.0015.05.001B22可见，A是正则链，而B不是。（三）正则链的重要特性1、一定存在一个概率向量，使得。),,,(U21nuuuUUP2、当正整数，一定有，的每一行向量都等于。称为极限状态概率向量（或称稳态概率向量）。kSPkSUU3、对于任意概率向量，当，总有。nxxx,,,X21UXPkk这三个特性表明，对于正则链，不管初始状态如何，经过若干阶段以后，各状态发生的概率趋于稳定。即当转移步数k逐步增高时，状态转移概率矩阵逐步趋于稳定。求上例的稳态概率向量U。设正则链的转移矩阵是阶方阵，则nP六、马氏链模型根据问题背景恰当地选取状态，由大量的统计数据建立转移矩阵，由初始状态向量预测未来任意时刻系统发生各种状态的概率，从而采取相应的对策。在生产实践当中，应用马氏链分析法可以对企业的规模、市场占有率、服务点的选择等问题进行预测。但建立马氏链模型是以下列假定为前提的：1、转移矩阵不随时间变化而变化；2、预测期内状态数量不变；3、系统变化过程具有无后效性。例1玩具商的市场预测某玩具商生产的玩具投放市场后产生畅销和滞销两种状态。若出现滞销，他便试制新玩具力图回到畅销状态。以1代表畅销状态，0代表滞销状态。经过统计调查，过去20个星期的销售状况如下：星期12345678910状态1101001110星期11121314151617181920状态1011001101解：从每周统计结果知道，畅销状态共出现了11次（除去第20周的状态），其中由畅销到畅销出现了5次，由畅销到滞销出现了6次。于是可求得由畅销到畅销和由畅销到滞销的状态转移概率分别为：同理可求得由滞销到畅销和由滞销到滞销的状态转移概率分别为：11511p11612p8621p8222p由此可得转移矩阵：25.075.05455.04545.08/28/611/611/5P22211211pppp已知第20周的状态概率向量为，预测第21周的状态概率向量为0,1)20(A5455.04545.025.075.05455.04545.00,1P)20(A)21(A这代表什么意义？还可以对第21周后各个周的状态概率向量进行预测。请预测第22周的状态。(0.6157,0.3843)当，得极限状态概率矩阵k4211.05789.04211.05789.0Pk问：这代表什么意义？求极限状态概率矩阵的方法：),(25.075.05455.04545.0),(2121uuuu22112125.05455.075.04545.0uuuuuu但这两个方程不独立。用替代第二个方程，解之，得4211.05789.021uu121uu例2客运市场占有率预测由于公路运输的发展，大量的短途客流由铁路转向公路。历年市场调查结果显示，某铁路局吸引区今年与上年相比有如下规律：原铁路客流有85%仍由铁路运输，有15%转由公路运输，原公路运输的客流有95%仍由公路运输，有5%转由铁路运输。已知去年公、铁客运量合计为12000万人，其中铁路10000万人，公路2000万人。预测明年总客运量为18000万人。运输市场符合马氏链模型假定。试用马尔科夫预测法预测明年铁、公路客运市场占有率各是多少？客运量各是多少？最后发展趋势如何？第一步计算去年铁路、公路客运市场占有率将旅客由铁路运输视作状态1，由公路运输视作状态2，则铁路、公路占有率就是处于两种状态的概率，分别记作。21,aa83.012000100001a17.01200020002a以去年作为初始状态，则初始状态概率向量17.0,83.0)0(),0()0(A21aa第二步建立状态转移矩阵P95.005.015.085.0P第三步预测明年铁、公路客运市场占有率38.0,62.095.005.015.085.017.0,83.0P)0(A)2(),2()2(A2221aa第四步预测明年铁、公路客运量明年铁路客运量=18000×0.62=11160（万人）明年公路客运量=18000×0.38=6840（万人）第五步预测最后发展趋势75.025.075.025.0Plimkk这表明，越往后，铁路客运市场占有率越低，最后稳定在25%左右，而公路稳定在75%左右。可见铁路面临的形势非常严峻。例3颐和园租船点规模的确定颐和园游船出租部门已有三个租船点：知春亭、石舫、龙王庙，游人可在任意租船点上租船和还船。由统计资料，游人在各点租船后，在不同点还船的概率如下表所示。现决定对租船点进行扩建。请为租船部门就扩建规模提供参考意见。知春亭（1）石舫（2）龙王庙（3）知春亭（1）0.800.100.10石舫（2）0.200.700.10龙王庙（3）0.300.050.65租还65.005.030.010.070.020.010.010.080.0P设稳态概率向量，则，与联立，解得),,(U321uuuUUP1321uuu222.0222.0556.0321uuu含义？这就是船只在各点上的分布趋势，可按此比例确定租船点的改扩建规模。其他例子：基因遗传问题，仓库管理问题，资金流通问题，事故预测问题，等级结构问题等均可建立马氏链模型。•作业有三家企业，分别称为1厂、2厂、3厂，生产同一种产品，1998年5月份在某地区的市场占有率分别是0.52、0.30、0.18。据商业部门统计，顾客对三家企业的产品爱好变化如表所示。表中Pij的含义为：上期购买i厂生产的产品的顾客，本期有Pij比例的购买j厂生产的产品。•1）预测8、9、10三个月各厂该产品的市场占有率。•2）已知某地区上述产品的平均月销售量为25万件，预测1998年8月份各厂的销售量。