考研高数 极限的四则运算

第四节极限的四则运算如果,)(limAxf,)(limBxg则.)]()(lim[BAxgxf如果,)(limAxf,)(limBxg则BAxgxf)()(lim如果,)(limAxf,0)(limBxg则.)()(limBAxgxf定理2.11定理2.12定理2.13此时)()]()([BAxgxf])([])([BxgAxfBxgAxf)()(22故对,0)()]()([BAxgxf所以命题成立.因,)(lim0Axfxx,)(lim0Bxgxx所以对,0证2)(Axf2)(Bxg同时成立总,0当00xx时,与总,0当00xx时,恒成立推论1常数因子可以提到极限符号外面,即)(lim)](lim[xfcxcf推论2如果m是与极限变量x无关的正整数,则mmxfxf)]([lim)](lim[mmxfxf11)]([lim)](lim[极限求法.法一：代入法(代入有意义时直接带入)时的极限多项式在.10xx例1求).123(lim21xxx解原式213limxxxx2lim11lim1x21lim3xxxx1lim21lim1x21)lim(3xxxx1lim21lim1x112132.2注求极限时直接代入.000()xxxxxx2.分母极限不为零的分式的极限例2求.313lim22xxxx解原式因2lim(3)xx)3(lim)13(lim222xxxxx11.1注分子极限除以分母极限.故23103.分母极限为零而分子极限不为零的分式的极限例3求解因3lim(3)xx.313lim23xxxx又23lim(31)xxx0所以133lim23xxxx01故注此种类型的极限以后不要过程,直接为.3302331lim.3xxxx2333110法二：约去零因子法、有理化法4.分母、分子极限全为零的分式的极限例4求.965lim223xxxx解原式)3)(3()2)(3(lim3xxxxx32lim3xxx.61例5求.11lim1xxx解原式)1)(1(1lim1xxxx11lim1xx.21原式)1)(1()1)(1(lim1xxxxx11lim1xx.21注:(1)00型.(2)此种极限求解时,分子分母分解因式带根号将根号有理化.此种类型为约去公因子.既使不是00型,只要分子分母中有公因子,一般的处理方法也是将公因子先约去然后再计算.(3)例6求).1211(lim21xxx解原式12)1(lim21xxx11lim21xxx)1)(1(1lim1xxxx11lim1xx.21注(1)型.(2)做法:通分合并变成一个分式.(3)新分式一定为00型.)(.5其中每一部分均为函数相减求极限例7求).1(limxxx解原式)1()1)(1(limxxxxxxxxxx11lim.0多项式的极限时多项式/.6x例8.243132lim232xxxxx求解原式)]243/()132[(lim332xxxxxx.0例9.5243lim334xxxxx求解原式)]15/()243[(lim34xxxxx.例10.243132lim233xxxxx求解原式)]243/()132(lim[332xxxxx.32注mmmnnnxbxbxbaxaxa110110lim0mnmnmn00ba()xxx7.分段函数求极限例11已知)(xf1xe2211xxx0x0x求).(lim),(lim0xfxfxx解)(lim0xfx22011limxxxx1)(lim0xfx)1(lim0xxe0故)(lim0xfx不存在.)(limxfx2211limxxxx1)(limxfx)1(limxxe1故)(limxfx.18.数列求极限(1)多项式/多项式(2)(3)n项和求极限(4)n项积求极限(5)Axfnfxn)(lim)(lim(6)两边夹法则(7)定积分(8)级数例12求].)1(12437325213[lim22222222nnnn解原式)4131()3121()2111[(lim222222n])1(11[lim2nn.1)])1(11(22nn例13求).3191311(limnn解原式311)31(1lim1nn.23求例141x时,)1()1)(1)(1(lim242nxxxxn解原式xxxxxxnn1)1()1)(1)(1)(1(lim242xxxxxnn1)1()1)(1)(1(lim2422xxxnnn1)1)(1(lim22xxnn11lim12.11x例15求).11()411)(311)(211(lim2222nn解原式)11)(11()311)(311)(211)(211(limnnnnnnnn1134322321limnnn121lim.219.杂例例16设)(lim1xfx存在,)(lim23)(12xfxxxfx求).(xf解令)(lim1xfxA将)(lim23)(12xfxxxfx两边求极限得)](lim2lim[)3(lim)(lim11211xfxxxfxxxx即AA23故3A从而.63)(2xxxf例17设,31lim21xbaxxx求ba,的值.解因)1(lim1xx031lim21xbaxxx所以21lim()xxaxb故01ba将ab1代入原式11lim21xaaxxx得1(1)(1)lim1xxxax从而32a故1a.2b21lim()xxaxb又2a01ab时的极限多项式在0.1xx2.分母极限不为零的分式的极限3.分母极限为零而分子极限不为零的分式的极限4.分母、分子极限全为零的分式的极限)(.5其中每一部分均为函数相减求极限多项式的极限时多项式/.6x7.分段函数求极限8.数列求极限9.杂例总结作业题2.习题二(A)12(7-16)、13、1.牢记各种类型极限的求法.14、15、16.