13年高考真题——理科数学(辽宁卷)

2013年高考真题理科数学（解析版）辽宁卷Page1of72013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁）卷数学（理科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给也的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数的11Zi模为()（A）12（B）22（C）2（D）22．已知集合4|0log1Axx，|2Bxx，则AB()（A）01，（B）02，（C）1,2（D）12，3．已知点1,3A，4,1B，则与向量AB同方向的单位向量为()（A）35,45（B）45,35（C）35,45（D）45,354．下面是关于公差0d的等差数列na的四个命题:1p：数列na是递增数列；2p：数列nna是递增数列；3p：数列nan是递增数列；4p：数列3nand是递增数列。其中的真命题为（）（A）12,pp（B）34,pp（C）23,pp（D）14,pp5．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为20,40,40,60,60,80,80,100。若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是()（A）45（B）50（C）55（D）606．在ABC中，内角,,ABC所对的边长分别为,,abc，1sincossincos2aBCcBAb，且ab，则B()（A）6（B）3（C）23（D）567．使13nxnNxx的展开式中含有常数项的最小的n为()（A）4（B）5（C）6（D）78．执行如图所示的程序框图，若输入10n，则输出的S()（A）511（B）1011（C）3655（D）72559．已知点30,0,0,,,OAbBaa，若ABC为直角2013年高考真题理科数学（解析版）辽宁卷Page2of7三角形，则必有()（A）3ba（B）31baa（C）3310babaa（D）331||||0babaa10．已知直三棱柱111ABCABC的6个顶点都在球O的球面上，若3AB，4AC，ABAC，112AA，则球O的半径为()（A）3172（B）210（C）132（D）31011．已知函数2222fxxaxa，22228gxxaxa，设1max,Hxfxgx，2min,Hxfxgx，max,pq表示,pq中的较大值，min,pq表示,pq中的较小值，记1Hx得最小值为A，2Hx得最大值为B,则AB()（A）2216aa（B）2216aa（C）16（D）1612．函数fx满足22xxfxxfxex，228fe，则0x时fx()（A）有极大值，无极小值（B）有极小值，无极大值（C）既有极大值又有极小值（D）既无极大值也无极小值二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是。14．已知等比数列na是递增数列，nS是的前n项和。若1a，3a是方程2540xx的两个根，则6S。15．已知椭圆2222:10xyCabab的左焦点为F，C与过原点的直线相交于,AB两点，连接,AFBF，若||10AB，||6AF，cos45ABF，则C的离心率e。16．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据。已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为。三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）设向量3sin,sinaxx，cos,sin02bxxx。⑴若||||ab，求x的值；⑵设函数fxab，求fx的最大值。2013年高考真题理科数学（解析版）辽宁卷Page3of718．（本小题满分12分）如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点。⑴求证：平面PAC平面PBC；⑵若2AB，AC1，1PA，求二面角CPBA的余弦值。19．（本小题满分12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答。⑴求张同学至少取到1道乙类题的概率；⑵已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题。设张同学答对甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立。用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望。20．（本小题满分12分）如图，抛物线21:4Cxy，22:20Cxpyp，点00,Mxy在抛物线2C上，过M作1C的切线，切点为,AB（M为原点O时，,AB重合于O）。当012x时，切线MA的斜率为12。⑴求p的值；⑵当M在2C上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（,AB重合于O时，中点为O）21．（本小题满分12分）已知21exfxx，312cos2xgxaxxx，当0,1x时，⑴求证：111xfxx；⑵若fxgx恒成立，求实数a的范围。请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。22．（本小题满分10分）如图，AB为O的直径，直线CD与O相切于E，ADCD于D，BCCD于C，EFAB于F，连接,AEBE。证明：⑴FEBCEB；⑵2EFADBC。23．（本小题满分10分）在直角坐标系xOy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系。圆1C，直线2C的极坐标方程分别为4sin,cos224。⑴求1C与2C交点的极坐标；⑵设P为1C的圆心，QFOEDCBA2013年高考真题理科数学（解析版）辽宁卷Page4of7为1C与2C交点连线中点。已知直线PQ的参数方程为3322xtaybt（t为参数），求,ab的值。24．（本小题满分10分）已知函数||fxxa，其中1a。⑴当2a时，求不等式4|4|fxx的解集；⑵已知关于x的不等式|22|2fxafx的解集为|12xx，求a的值。2013年普通高校招生全国统考数学试卷（辽宁卷）解答一．BDADBABACCBD二．13．1616；14．63；15．57；16．10。17．解：⑴由题2222||3sinsin4sinaxxx，222||cossin1bxx，而||||ab，故24sin1x，又02x，故sin12x，6x；⑵因231113sincossinsin2cos2sin222262fxxxxxxx，故当0,32x时，sin26x取得最大值1，所以fx的最大值为32。18．解：⑴因AB是圆的直径，故ACBC。由PA面ABC，BC面ABC，得PABC。又PAACA，PA平面PAC，AC面PAC，故BC面PAC。因BC面PBC，故平面PBC平面PAC；⑵过C作//CMAP，则CM平面ABC。如图建立空间直角坐标系，因2AB，1AC，故3BC。又1PA，故0,1,0A，3,0,0B，0,1,1P，故3,0,0CB，0,1,1CP。设,,nxyz是平面PBC的法向量，则00CBnCPn，得300xyz，取1y得0,1,1n。设,,mxyz是平面PAB的法向量，则00ABmAPm，得2013年高考真题理科数学（解析版）辽宁卷Page5of7300xyz，取1x得1,3,0m。故6cos,4mn，从而所求余弦值为64。19．解：⑴设“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”为事件A，则A即为“张同学所取的3道题都是甲类题”，因3361016PACC，故156PAPA；⑵X所有可能取值为0,1,2,3，020203525154125PXC，11021022135251535254528125PXCC，20112122235251535254557125PXCC，2022335254536125PXC，故X的分布列如右，041282573362125EX。20．解：⑴因抛物线1C上任一点,xy的切线斜率为2yx，且切线MA的斜率为12，故11,4A，从而MA：11124yx。因点012,My在切线MA上，故02234y。又点M在抛物线2C上，故22231224p，得2p；⑵设,Nxy，211,4Axx，22212,4Bxxxx，则122xxx，22128xxy。切线MA：211124xxyxx，MB：222224xxyxx，可得00,Mxy的坐标为0122xxx，0124yxx。因点M在2C上，故2004xy，得2212126xxxx。因为212248xxxy，因此2430xyx。当12xx时，A与B重合于原点O，则0,0N满足243xy。综上知点N的轨迹方程为243xy。21．解：⑴要证0,1x时211xxex，只需证明11xxxexe。记11xxhxxexe，则xxhxxee。因0,1x，故0hx，因此hx在0,1单调递增，有00hxh。所以101xfxx。要证0,1x时2111xxex，只需证明1xex。记1xxex，则1xxe。X0123P41252812557125361252013年高考真题理科数学（解析版）辽宁卷Page6of7因0,1x，故0x，因此x在0,1单调递增，有00x。所以1011fxxx。综上可知11011xfxxx；⑵由⑴得32112cos12cos22xxfxgxxaxxxxax，设22cos2xGxx，则2sinGxxx，12cosGxx。当0,1x时0Gx，故Gx在0,1单调递减，因此00GxG，从而Gx在0,1单调递减，有02GxG，得13aGxa，所以当3a时fxgx在0,1上恒成立。下面证明当3a时fxgx在0,1上不恒成立。由⑴可得321112cos2cos1212xxfxgxaxxxxaxxx，记2112cos121xHxaxaGxxx，则211HxGxx，当0,1x时，0Hx，故Hx在0,1单调递减，于是Hx在0,1的值域为12cos1,3aa。因3a时30a，故存在00,1x，使得00Hx。此时00fxgx，即fxgx在0,1上不恒成立。综上知a的取值范围是,3。22．解：⑴