第一课数学物理方程与特殊函数课件ppt16

0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n1本次课主要内容(一)、拉普拉斯变换的定义(二)、拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的定义与性质(三)、展开定理0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n21、拉普拉斯变换的引入(一)、拉普拉斯变换的定义该条件很苛刻！很多常用函数都不满足条件(1),如：x,sinx,cosx,等。傅立叶变换存在的条件为：(充分条件）(1)f(x)在(-∞,+∞)绝对可积；(2)f(x)在任意有限区间分段光滑。同时，在应用上，要能够使用傅立叶变换，必须要求对应变量是全无界变量。但在物理和无线电等技术中，许多涉及时间的问题不满足该要求。0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n3为了克服傅立叶变换的两大缺点，我们采用如下两个方法：其二：对函数f(x)采取如下衰减处理：(),0,0xefxx其一：对给定的在(0,+∞)上的函数f(x)，引进新函数f1(x),使得在x0时，其函数值为0.1(),0,0()0,0xefxxfxx于是，对函数f(x)，我们引进：0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n4函数f1(x)的傅立叶变换就可能存在，此时有：令：s=σ+iλ,则：()110()()()ixixffxedxfxedx10()()sxfsfxedx2、拉普拉斯变换的定义积分变换：0()()sxfsfxedx称为函数f(x)的拉普拉斯变换，其中s=σ+iλ，记为：[()]()Lfxfs0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n5下面，考虑f(x)的拉普拉斯逆变换。在[0,+∞)内，有：1()()xfxefx所以，有：()11()2ixixfxedxed1()()xfxefx()()01()2ixixfxedxed1()(0)2isxifsedsxi0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n6称为函数f̃(s)的拉普拉斯逆变换，记为：1()()2isxifxfsedsi3、拉普拉斯变换存在定理1[()]()Lfsfx存在定理：若函数f(x)满足如下条件：(1)当x0时，f(x)=0;当x0时，f(x)在任一有限区间上分段连续；(2)当x+∞时，存在常数M及б0≥0，使0()xfxMe0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n7那么，函数f(x)在半平面Resб0上存在拉普拉斯变换，且f̃(s)解析。证明:(1)0()sxfxedx0()0xMedx00,M所以，函数f(x)在半平面Resб0上存在拉普拉斯变换。0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n8取бб1б0(б1是任意实常数)，则有：(2)证明f̃(s)解析0()sxfxedxs0()sxfxedxs10()0xMxedx210()M先证明：积分在半平面Resб0上一致收敛0()sxfxedxs0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n9说明积分：0()sxfxedxs0()()sxddfsfxedxdsds在半平面Resб0上一致收敛，所以，可交换积分与微分次序，即：0()sxdfxedxds于是得：210()()Mfs0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n10所以，f̃(s)的导数在半平面Resб0上处处存在且有限，因此，函数f(x)在半平面Resб0上存在拉普拉斯变换，且f̃(s)解析。注：(1)拉普拉斯变换存在定理的条件是充分的；(2)物理学和工程技术中遇到的函数大都能够满足这两个条件。因为：一个函数的增大要求不超过某指数函数的增大与要求函数绝对可积相比较，后者的条件强得多！例如：三角函数sinkx、coskx，幂函数tm等都存在拉普拉斯变换，但其傅立叶变换都不存在。所以，拉普拉斯变换在物理和工程技术中比傅立叶变换用得更为普遍！0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n11例1求函数f(x)的拉普拉斯变换1,(0)(1),()0,(0)tutt4、利用定义求函数的拉普拉斯变换(2),sin,cos,(ktktk为实常数）(3),,(atea为实常数）0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n12解:(1)由拉氏变换定义有：0()1stLutedt01stesRe()0011sstess0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n13(2)由拉氏变换定义有：0sinsinstLktktedt012iktiktsteeedti()()0012siktsiktedtedtiRe()01112sisiksik22ksk0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n14同理：0coscosstLktktedt22ssk(3)由拉氏变换定义有：0atatstLeeedtRe()1sasa0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n15注：在求函数f(x)的拉普拉斯变换时，结果中必须标明像函数的定义域。(二)、拉普拉斯变换的基本性质性质1.（线性定理）1212[][]LffLfLf1111212[][]LffLfLf证明：12120sxLffffedx0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n1612sxsxfedxfedx12[][]LfLf例2求L[shax],L[chax],a为任意常数。解：由拉氏变换定义与线性定理有：[]2axaxeeLshaxL[][]22axaxeeLL221112asasasaReRe?sa0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n17同理：[]2axaxeeLchaxL221112ssasasaReResa0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n18性质2.（延迟定理）[()][()],0sLfxeLfx证明：0[()]()sxLfxfxedx()()sufuedu因为u0时，f(u)=0，所以：()()0()()susufuedufuedu所以：[()][()],0sLfxeLfx0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n19例3求L[xe–βx]性质3.（位移定理）设a为复数，则：0[()](),Re()axLefxfsasa解：由位移定理：[()]()xLefxfs而：21[]()Lxfss所以：21[]()xLexs0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n20性质4.(相似定理)1[()](),(0)sLfcxfccc证明：0[()]()sxLfcxfcxedx01()sucfueduc1()sfcc0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n21证明：证明一阶情形：性质5.（原象的导数定理）()12(2)(1)[][](0)(0)(0)(0)nnnnnnLfsLfsfsfsff0[()]()sxLfxfxedx由归纳法可证明一般情形。00()()sxsxfxesfxedx[()](0)sLfxf0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n22证明：性质6.（积分定理）..01[()][()]xLfdLfxs..0[()]()xfdfx所以，由微分定理：..0[(())][()]xLfdLfx...0.0[(())][()]0xxLfdsLfd即：..01[()][()]xLfdLfxs0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n23性质8.(像函数的积分定理)..()[]sfxfsdsLx（）证明：....0()sxssfsdsfxedxds（）.0()sxsfxedsdx.0()sxfxedxx()[]fxLx0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n24证明：证明n=1的情形：性质7.（象的导数定理）[][()]nnndLfLxfds0()()sxddfsfxedxdsds0()sxdfxedxds0()sxxfxedx[]Lxf由归纳法可证明一般情形。0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n25证明：性质9.（卷积定理）1212[][][]LffLfLf卷积定义：1212()()()()fxfxfxfd121200[]()()sxLffefxfddx()210()()pufdfuedu0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n2612[][]LfLf性质10.（δ函数的变换）0[()]()1sxLxxedx2100()()pupfdfueedu0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n27性质应用举例例4求下列函数的拉氏变换解:(1)令：f(t)=tm，则f(m)(t)=m!，且：(1),,(mtm为正整数）(2),sin,cos,(,atatektektak为实常数）(3),sin,cos,(tkttktk为实常数）(1)(0)(0)(0)(0)0mffff由微分定理：()[!][()]mLmLft1(1)[()](0)(0)mmmsLftsff0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n281[!]mLms(2)由于[]mLtsinLkt22kskcosLkt22ssk由位移定理得：22sin,()()atkLektResasak22cos,()()atsLektResasak1!mms0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n29(3)由像函数微分性质coscosdLtktLktds同理：22dsdssk22222,(Re0)()skssksinLtkt2222,(Re0)()ksssk0.810.60.40.20xt00.511