数学物理方程与特殊函数课件ppt05

0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n1Email:[e-mail]数理方程与特殊函数任课教师：杨春数学科学学院0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n2二阶线性偏微分方程理论第二章定解问题与偏微分方程理论本次课主要内容与δ函数(一)、二阶线性偏微分方程理论(二)、δ函数0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n3(一)、二阶线性偏微分方程理论基本概念T为算子，若T(c1u1+c2u2)=c1Tu1+c2Tu2，称T为线性算子2.二阶线性偏微分算子2111nnnijiiiiijiLabcxxx1.线性算子0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n4于是二阶线性偏微分方程可以简记为：fLu齐次形式为：0Lu12(,,...,)nuuxxx其中:0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n5Hn3.边界条件算子主要判定方法有：M判别法，柯西一致收敛准则，狄里赫列判别法，阿贝尔判别法。4.函数项级数的一致收敛定义：对级数1()nnux若对0,N当nN时，对任意(,),xabn有S(x)-S(x)称级数一致收敛于和函数S(x).0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n6物理背景：叠加原理原理1：在物理上，常有所谓的叠加现象：即几种因素产生的总效果等于各因素产生的效果总和。物理上的叠加现象反映到数理方程中来，就得到线性定解问题中的叠加原理。设ui满足线性方程(或线性定解条件)：iiLuf(1,2,...,)in又设：1niiiucu0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n7(1,2,)iiLufi11iiiiiiLcucf其中：收敛，且算子L与和号能交换次序。原理2：那么：11nniiiiiiLcucf1niiicu0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n8其中，M表示自变量组，M0为参数组.0,MMfLu设u(M,M0)满足线性方程(线性定解条件)：原理3：且积分00(),vUMuMMdM收敛，并满足L中出现的偏导数与积分号交换次序所需要的条件，那么U(M)满足方程(或定解条件）：00(),vLUMfMMdM0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n9原理3的证明：00(),vLUMLuMMdM00,vLuMMdM00,vfMMdM主要假定了L与积分号的次序可交换！解的结构定理：非齐次线性偏微分方程的一般解等于对应的齐次线性微分方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n10例1求泊松方程：的一般解。2221212uxy解:(1)先求出方程的一个特解u1由方程的形式可令u1=ax4+by4,代入方程可得：441uxy注：这是观察法！一般情况下很难求出偏微分方程特解。0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n11(2)、求对应齐次方程通解xiy对应齐次方程为：20u作变换：则齐次方程化为：0uu再作变换：ab0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n12方程化为：ufxiygxiy0abu齐次方程通解为：原方程通解为：44()ufxiygxiyxy0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n13背景：齐次化原理在对波动方程与热传导方程定解问题的求解中，常常考虑将定解问题中方程齐次化，这就需要用到下面与此相关的两个齐次化原理。齐次化原理有明确的物理背景，其背景就是力学中的冲量原理：力作用引起的冲量等于动量的改变。齐次化原理又称为冲量原理。齐次化原理的具体物理分析在此略去。0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n14齐次化原理1232,(,)0,,ttLMRttfMt23200,,(,0)0,0ttuLufMtMRttuut..0,;tuWMtd如果(,;)WMt满足方程：那么非齐次柯西问题的解为：为了证明该定理，先介绍：0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n15含参变量积分求导法则定理(,),ffxuu在(,)Raxbu上连续，而a(u),b(u)在[α，β]上可导，且对任意u属于[α，β]，有：(),())aaubabub则：()()()((),)()((),)()buaudufdxfbuubufauuauduu0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n16..0,;ttuWdWMttttdt.0.00ttu22.22.0,;ttWMtuWdttt..0,,tLWdfMtLufMt证明：首先，00tu0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n17齐次化原理20)0,(,,03tutRMMtfLutu,,,,,3MftRMLtt..0,;tuWtMd如果(,;)WMt满足方程：那么非齐次柯西问题的解为：0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n18对齐次化原理的三点说明：1、齐次化原理只适用于波动方程和热传导方程，对稳态的泊松方程不能使用这两个原理；2、齐次化原理使用时必须注意初始条件为零；3、齐次化原理可以推广到有界域的波动、热传导方程的定解问题上。但定解问题必须满足初始条件为零，边界条件齐次！0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n19例2、若V(x,t;τ)是定解问题20200,0,.txxxxLthuauucuuIRuc..0(,),;tuxtVxtd是定解问题的解，则：22000,0,0.txxxxLthIRuauuccuuu的解.0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n202..0(,,)ttuVIRdVxtttc证明：首先，00tu其次，因V(x,t,τ)是齐次定解问题的解，因此，不难证明00,0,xxLuu2220()ttxxxxhVhIRuauuaVVdctcc2IRc0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n21解的适定性满足解的存在性、唯一性和稳定性的解称为解的适定性。解的稳定性是指若定解条件有微小变化，其解也只有微小变化。只有解满足稳定性，其解才有意义，因定解条件常为实验数据，有测量误差。0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n221、定义δ函数是指满足下面两个条件的函数(二)、δ函数0000,(1).(),xxxxxx0001,(,)(2).()0,(,)baxabxxdxxab几点说明：0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n23(1)、几何意义曲线峰无限高，无限窄！但曲线下面积为1。(2)、物理意义x0xδ(x-x0)定义中条件(1)反映物理量集中在x0处，该处称为点源；条件(2)反映物理量有限。0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n24例3、两端固定的长为L的弦，密度为ρ，初始时刻在x0处受到冲量I的作用。求初速度和定解问题。解:(1)x0u(x,t)xL0000,0,ttxxuxx0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n25(2)由动量定理FΔt=Δmv得：0LtIudx所以有：00()ttIuxx定解问题为：20000,0,0,0,0,0,().ttxxxLxtttuauxLtuuIuuxx0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n26例4、一根长为L的导热杆，密度为ρ，比热为c，初始时刻在x0处用火焰烧了一下，传杆的热量为Q。求初始温度分布和定解问题。解:(1)x0u(x,t)xL0000,0,txxuxx0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n27(2)0LQcudx所以有：00()tQuxxc定解问题为：2000(0)0,0()(0)txxxxLtuauxLuuQuxxxLc0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n282、性质(1)筛选性质：对任意连续函数φ(x),有：00()()()xxxdxx0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n29所以，0xx证明：由于(2)δ函数是偶函数,即：()()xx有0()0xx00()()()xxxdxx证明：由于对任意连续函数φ(x),有()()(0)()()xxdxxxdx所以，()()xx0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n30δ函数的导数定义：设定义的算符δ(n)称为δ(x)的n阶导数。合理性解释：作形式分部积分：()nfxC由()()()()(1)(0)nnnxfxdxf()()()()()()(0)xfxdxxfxxfxdxf0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n311、定义δ函数是指满足下面两个条件的函数高维δ函数0000,(1).(),MMMMMM30(2).()1RMMdxdydz物理解释：表示点源的广义函数。0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n32例6、在M0处放置单位电荷，则电荷体密度为δ函数。三维δ函数与一维δ函数的关系：(,,)()()()xyzxyz2、性质(1)筛选性质：对任意连续函数f(M),有：300()()()RMMfMdMfM0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n33(2)δ函数是偶函数,即：()()MM00()()MMMM例7、求证：22sin()()limuxuxxu0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n34分析：需证明等式右端满足δ函数两条件。220sin()lim[lim]limuxuxuuxu又当x不等于0时有：222sin()10xuxuxu证明：当x=0时，考虑到：22sin()lim0uxuxu0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n352200,0