第3章--工业机器人运动学

工业机器人技术TechnologyofIndustryRobots北京联合大学BeijingUnionUniversity章节安排2020年2月15日2第一章绪论第二章工业机器人机械系统设计第三章工业机器人运动学第四章工业机器人静力计算及动力学分析第五章工业机器人控制第六章工业机器人感觉系统第七章工业机器人轨迹规划与编程第八章工业机器人应用第三章工业机器人运动学3.1概述3.2物体在空间中的位姿描述3.3齐次坐标变换3.4变换方程的建立3.5机器人连杆参数及连杆坐标系3.6机器人连杆D-H参数及其坐标变换3.7建立机器人运动学方程3.8机器人逆运动学2020年2月15日33.1概述2020年2月15日4一般可以将机器人看作是一个开链式多连杆机构，始端连杆就是机器人的机座，末端连杆与工具相连，相邻连杆之间用一个关节连接在一起。机器人运动学包括两方面问题：运动学正问题：已知各关节角值，求工具在空间的位置和姿态。实际上，这是建立运动学方程的过程。运动学逆问题：已知工具的位姿，求各关节角值，这是求解运动学方程的问题。工业机器人坐标系全局坐标系关节坐标系工具坐标系2020年2月15日53.2物体在空间中的位姿描述为了描述机器人本身各连杆之间、机器人和环境之间的运动关系，通常将它们看作刚体。刚体的位置和姿态描述•在直角坐标系｛A｝中，任意一点P的位置可以用3×1列向量表示称为位置矢量。xAyzppppAxAyAz(,,)xyzppppApO2020年2月15日6•为了确定刚体B的姿态（也称方位），设一个坐标系｛B｝与该刚体固接。用坐标系的三个单位主矢量xB，yB，zB相对于参考坐标系｛A｝的方向余弦组成的3×3矩阵表示刚体B相对于坐标系｛A｝的姿态。称为旋转矩阵，也可表示成：旋转矩阵是正交的。111213212223313233ABrrrRrrrrrrAAAABBBBRxyz2020年2月15日7定义：设A为实矩阵，且EAAT则称A为正交矩阵正交矩阵的性质实矩阵A为正交矩阵1TAA实矩阵A为正交矩阵A的行(列)向量组是两两正交的单位向量组1||A若A为正交矩阵，则若A为正交矩阵，则A的实特征值只能为,1(A的复特征值的模为1)若A,B为同阶的正交矩阵，则AB也是正交矩阵2020年2月15日8类似地，一个空间矢量的方向表示也用（4×1）列阵可表达为v＝[abc0]T其中abc是单位方向矢量在各坐标轴上的分量，即该单位向量的方向余弦。a＝cosα，b＝cosβ，c＝cosγ2020年2月15日9例：用齐次坐标写出图中矢量u、v、w的方向列阵。解：矢量u：cosα＝0，cosβ＝0.707，cosγ＝0.707u=[00.7070.7070]T矢量v：cosα＝0.707，cosβ＝0，cosγ＝0.707v=[0.70700.7070]T矢量w：cosα＝0.5，cosβ＝0.5，cosγ＝0.707w=[0.50.50.7070]T2020年2月15日10按照上述定义，绕x轴旋转了θ角的旋转矩阵，为100(,)0cossin0sincosRx()ABxxAyAzOByBz同样也可以写出R（y，θ），R（z，θ）总之，用位置矢量描述刚体的位置，用旋转矩阵描述刚体的姿态（方位）2020年2月15日11绕固定轴旋转三个典型旋转矩阵10000),(cssczRcsscx00001),(Rcsscy00100),(RxAxByAyBzzAzByAyBxAxBzAzBxy2020年2月15日12绕固定轴旋转设△x,△y,△z是物体在三个坐标方向上的移动量，则有公式：zzzzyyyxxx'''OYZXxyAA’110001000100011'''zyxzyxzyx平移的齐次变换表示为：2020年2月15日133.3齐次坐标变换'(,,)100010(,,)0010001aTransxyzaxyTransxyzz平移的齐次变换算子①算子左乘，表示点的平移是相对固定坐标系进行的坐标变换；②算子右乘，表示点的平移是相对动坐标系进行的坐标变换；③该公式亦适用于坐标系的平移变换，物体的平移变换，如机器人手部的平移变换。2020年2月15日14绕Z轴旋转的齐次变换算子推导：因A点是绕Z轴旋转的，所以把A与A´投影到XOY平面内，设OA=r，则有：sincosryrx'sin''cos'ryrx'sincoscossin'sinsincoscos'rryrrxsincos'sincos'xyyyxxsincosryrx'sin''cos'ryrx2020年2月15日15zzyxyyxx'cossin'sincos'11000010000cossin00sincos1'''zyxzyxazRota),('绕Z轴旋转的齐次变换算子2020年2月15日16旋转的齐次变换算子1000010000cossin00sincos),(zRot10000cossin00sincos00001),(xRot10000cos0sin00100sin0cos),(yRot绕Z轴旋转的齐次变换算子绕X轴旋转的齐次变换算子绕Y轴旋转的齐次变换算子2020年2月15日17齐次坐标变换举例例：U=7i+3j+2k，绕Z轴转90度后，再绕Y轴转90度。12731237.1000010000010010)90,(＝zR13721273.1000000100100100)90,(＝yR110461372.1000710030104001)7,3,4(＝Trans例：在上述基础上再平移（4，-3，7）。2020年2月15日18引入齐次变换后，连续的变换可以变成矩阵的连乘形式使计算简化。11046123710007010300141001237100001000001001010000001001001001000710030104001)90,()90,()7,3,4(＝－uzRotyRotTrans2020年2月15日192020年2月15日20由于矩阵乘法没有交换性，可知变换次序对结果影响很大。11190123710004001710030101237100071003010400110000001001001001000010000010010)7,3,4()90,()90,(－＝－－－uTransyRotzRot2020年2月15日202020年2月15日21212020年2月15日22例已知坐标系中点U的位置矢量u=[7321]T,将此点绕Z轴旋转90°，再绕Y轴旋转90°，如图所示，求旋转变换后所得的点W。解：1237100001000000100000001000cssccssc1372123710000100000100101000000100100100练习1：设坐标系{B}与参考坐标系初始重合，绕参考系Z轴转90度，然后绕参考系Y轴转90度，最后相对参考系平移（4，-3，7），试求综合齐次变换矩阵T。练习2：设坐标系{B}与参考坐标系初始重合，绕{B}的Z轴转90度，然后绕{B}的Y轴转90度，最后相对{B}平移（4，-3，7），试求综合齐次变换矩阵T。)90,()90,()7,3,4(zRotyRotTransT)7,3,4()90,()90,(TransyRotzRotT齐次变换练习2020年2月15日23课后习题2020年2月15日242020年2月15日2525为了完全描述刚体B在空间的位置和姿态，通常将刚体B与某一坐标系相固接，通常记为｛B｝，｛B｝的原点一般选在刚体B的特征点上，如质心或对称中心等。则相对于参考坐标系｛A｝，用位置矢量ApB0和旋转矩阵分别描述｛B｝原点位置及坐标系的方位，即刚体B的位置和姿态可由坐标系｛B｝来描述：{},OAABBBRpABR当表示位置时，旋转矩阵为单位阵；当表示姿态时，位置矢量等于零。3.4变换方程的建立2020年2月15日261、坐标平移坐标系｛B｝与｛A｝具有相同的方位，但｛B｝的原点与｛A｝的原点不重合，则空间任意点P在｛A｝中的描述可以表示为：OABABppp称为坐标平移方程AxAyAzApOBxByBzOpBpOABp2020年2月15日27282、坐标旋转坐标系｛B｝与｛A｝原点重合，但两者的方位不同，则空间任意点P在｛A｝中的描述可以表示为：AABBpRp称为坐标旋转方程3、一般变换坐标系｛B｝与｛A｝既不共原点，方位亦不同，此时，OAABABBpRpp2020年2月15日28294、齐次坐标变换用4×1列向量表示三维空间坐标系中的点：xayxyzbabczc称为齐次坐标，齐次坐标具有不唯一性。引入齐次坐标后，一般变换变为：110001OAAABBBRpppApBpAABBpTp2020年2月15日29300001OAABBABRpT称为齐次变换矩阵300()(,)000010001OOAABBAABBIpRTTranspRotk2020年2月15日30001110030101.50001ABT如果AxAyAzOBxByBzOxB与yA同向；yB与zA同向；zB与xA同向。131.51OABp则，2020年2月15日31机器人手部的位姿，可用固连于手部的坐标系{B}的位姿来表示。坐标系{B}由原点位置和三个单位矢量唯一确定，即：1）原点：取手部中心点为原点；2）接近矢量：关节轴方向的单位矢量a；3）姿态矢量：手指连线方向的单位矢量o；4）法向矢量：n为法向单位矢量，同时垂直于与a、o矢量手部位姿描述2020年2月15日32000'(,,)OXYZOYZXY’Z’X’noa00000010001xxxyyyzzznoaXXnoaYYpTnoapZnoaZp举例：动坐标系的位姿描述刚体坐标系相对于固定坐标系的位置：原点O‘=（10，5，,0）刚体坐标