§3.3.1两条直线的交点坐标

§3.3.1两条直线的交点坐标问题1：二元一次方程组的解法有哪些？问题2：在方程组中，每一个方程都可表示为一直线，那么方程组的解说明什么？问题3：若给出两直线y＝x＋1与y＝3x－2，如何求其交点坐标？提示：代入消元法、加减消元法．提示：两直线的公共部分，即交点．提示：联立解方程组求方程组的解即可得．两条直线的交点若方程组有唯一解,则两条直线,此解就是若方程组无解,则两条直线,此时两条直线相交交点的坐标;平行.无公共点思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)若由两条直线的方程组成的方程组只有一个公共解,则两条直线相交.()(2)若两条直线的斜率都存在且不相等,则两条直线相交.()(3)两条直线的斜率一个存在,另一个不存在时,两条直线也相交.()√√√例1：求下列两条直线的交点：l1：3x+4y－2=0；l2：2x+y+2=0.解：解方程组3x+4y－2=02x+y+2=0∴l1与l2的交点是M（-2，2）x=－2y=2得??0)22(243,图形有何特点表示什么图形方程变化时当yxyx直线系方程：具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系，表示直线系的方程叫做直线系方程．它的方程的特点是除含坐标变量x，y以外，还含有特定系数(也称参变量)．解含有参数的直线恒过定点的问题(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)．(1)共点直线系方程：经过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是待定系数．在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到A2x＋B2y＋C2＝0，因此它不能表示直线l2.(2)平行直线系方程：与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)，λ是参变量．(3)垂直直线系方程：与Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是Bx－Ay＋λ＝0.(4)特殊平行线与过定点(x0，y0)的直线系方程：当斜率k一定而m变动时，y＝kx＋m表示斜率为k的平行直线系，y－y0＝k(x－x0)表示过定点(x0，y0)的直线系(不含直线x＝x0)．在求直线方程时，可利用上述直线系设出方程，再利用已知条件求出待定系数，从而快捷的求出方程．常见直线系问题：例2、判定下列各对直线的位置关系，若相交，则求交点的坐标01086:0543:)3(026:043:)2(01033:0:)1(212121yxlyxlyxlyxlyxlyxl），（3535l1∥l2l1与l2重合探究问题（二）判断两直线的位置关系方法方法2：如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系？11111112222222:00,0:0lAxByCABCABClAxByC212121CCBBAA212121CCBBAA2121BBAA重合与21ll平行与21ll相交与21ll做一做在下列直线中,与直线x+3y-4=0相交的直线为()C探究三【例3】求经过两条直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P,且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程.思路分析:思路一(直接法),解方程组得点P的坐标,又直线l与l3垂直,可得直线l的斜率,然后按点斜式写出方程;思路二(待定系数法),根据直线l与l3垂直,设出直线l的方程,再由点P的坐标求解.两条直线的交点问题法三变式训练1求经过两条直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P,且与直线l3:3x-4y+5=0平行的直线l的方程为解析(方法一)(直接法):3x-4y+8=0(方法二)(待定系数法):设直线l的方程为3x-4y+n=0.由3×0-4×2+n=0,得n=8,故直线l的方程为3x-4y+8=0.解（1）：法1、解方程组0223022yxyx得交点坐标（0，1）直线过（1，0）所求直线方程为x+y-1=0法2、设所求的直线方程为x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0P(1,0)在直线上1-2+λ（3+2）=051直线方程为x+y-1=0探究四过两直线交点的直线系方程【例4】(1)求经过点P(1,0)和两直线l1:x+2y-2=0,l2:3x-2y+2=0交点的直线方程;思路分析(1):法1.求出交点坐标，写出两点式方程，再化为一般式。法2.设所求直线方程为x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0,再将x=1,y=0，代入求出λ,即得所求直线方程证：(2)将直线方程改写为-x-y-1+a(x+2)=0.解方程组0201xyx得交点坐标（-2，1）方程(a-1)x-y+2a-1=0表示的直线恒过定点（-2，1）总结：A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0是过直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程。例4(2)证明：无论实数a取何值,方程(a-1)x-y+2a-1=0表示的直线恒过定点,试求该定点.变式训练2已知直线l经过原点,且经过另两条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0的交点,则直线l的方程为()A.2x+y=0B.2x-y=0C.x+2y=0D.x-2y=0(法二)设直线l的方程为2x+3y+8+λ(x-y-1)=0,因其过原点,所以8+(-λ)=0,λ=8,直线l的方程为2x-y=0.B对称问题【例3】光线通过点A(2,3)在直线l:x+y+1=0上反射,反射光线经过点B(1,1),试求入射光线和反射光线所在直线的方程.分析:求点A关于直线l的对称点A'→求反射光线所在直线的方程→求入射光线与反射光线的交点坐标→求入射光线所在的直线方程A(2,3)B(1,1)A’(x0，y0)xyolP当堂检测1、B2、B3、C4、a=1【课后作业】P104练习P109习题3.3A组1.2.3.4.5思考题:当实数m为何值时,三条直线l1:3x+my-1=0,l2:3x-2y-5=0,l3:6x+y-5=0不能围成三角形.解:当三条直线交于一点或其中有两条互相平行时,它们不能围成三角形.由3x-2y-5=0,x=1.6x+y-5=0,解得y=-1将x=1,y=-1代入l1方程中,得m=2.∴当m=2时三条直线共点.又m=-2时,l1∥l2;又m=时,l1∥l3.∴当m=±2或m=时,l1,l2和l3不能围成三角形.