北师大版九下《二次函数》全章ppt课件

北师版九下（精品PPT）第二章二次函数学习新知赵州桥,又称大石桥、安济桥,是位于河北省赵县城南五里洨河上的一座石拱桥,是我国古代石拱桥的杰出代表,其设计者是隋代杰出的工匠李春,建造于公元605年.赵州桥的设计构思和工艺的精巧,在我国古桥中是首屈一指的,据世界桥梁的考证,像这样的敞肩拱桥,欧洲到19世纪中期才出现,比我国晚了一千二百多年,赵州桥的雕刻艺术,包括栏板、望柱和锁口石等,其上狮象龙兽形态逼真,琢工的精致秀丽,不愧为文物宝库中的艺术珍品.问题请同学们观察赵州桥的桥拱的形状,它的形状可以近似地看成一种函数图象,这和我们之前所学的函数图象一样吗?体会函数的模型思想【引例】某果园有100棵橙子树,平均每棵树结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高果园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.(1)问题中有哪些变量?其中哪些是自变量?哪些是因变量?(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子?(3)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关系式.展示：(1)自变量:橙子树的棵数、橙子树之间的距离、橙子树接受阳光的多少等;因变量:橙子的个数、橙子的质量等.(2)如果设果园增种x棵橙子树,那么果园共有(100+x)棵树,平均每棵树结(600-5x)个橙子.(3)果园橙子的总产量y与x之间的关系式为y=(x+100)(600-5x)=-5x2+100x+60000.【做一做】设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款额是100元,那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式.与存款有关的知识:1.银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就是说,利率是一个变量.2.利息=本金×利率×期数(时间).3.本息和=本金+利息.观察y=100x2+200x+100与y=-5x2+100x+60000的相同点.解:y=100(x+1)2=100x2+200x+100.问题1已知矩形的周长为40cm,它的面积可能是100cm2吗?可能是75cm2吗?还可能是多少?你能表示这个矩形的面积与其一边长的关系吗?【想一想】解:(1)设其中一边长为xcm,则=-x2+20x=100,解得x1=x2=10.=-x2+20x=75,解得x1=5,x2=15.这个矩形的面积与其一边长的关系为S==-x2+20x.402xx402xx402xx问题2两数的和是20,设其中一个数是x,你能写出这两数之积y的表达式吗?解:y=x(20-x)=-x2+20x.二次函数的定义【对比观察】观察三个式子的共同点:(1)y=-5x2+100x+60000；(2)y=100x2+200x+100；（3）y=-x2+20x.二次函数的定义.一般地,若两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的形式,则称y是x的二次函数.[知识拓展]理解二次函数概念的注意事项:①常数a≠0；②自变量x的最高次数为2；③等号的右边是整式；④要确定二次函数的关系式,只要确定a,b,c的值就可以了.二次函数的一般形式及自变量的取值范围(一)二次函数的一般形式1.二次函数的一般形式:y=ax2+bx+c(a≠0,b≠0,c≠0).2.系数a≠0,但是b,c都可以为0.3.二次函数的几种不同表示形式:(1)y=ax2(a≠0,b=0,c=0).(2)y=ax2+c(a≠0,b=0,c≠0).(3)y=ax2+bx(a≠0,b≠0,c=0).(4)一般形式:y=ax2+bx+c(a≠0,b≠0,c≠0).(二)二次函数自变量的取值范围自变量的取值范围是函数的一个有机组成部分,今后除了解决最值问题外,一般不刻意讨论自变量的取值范围.检测反馈1.(2014·兰州中考)下列函数解析式中,一定为二次函数的是()A.y=3x-1B.y=ax2+bx+cC.s=2t2-2t+1D.y=x2+1x1x解析:A,y=3x-1是一次函数,故A错误;B,y=ax2+bx+c(a≠0)是二次函数,故B错误;C,s=2t2-2t+1是二次函数,故C正确;D,y=x2+不是二次函数,故D错误.故选C.C2.已知二次函数y=1-3x+5x2,则其二次项系数a,一次项系数b,常数项c分别是()A.a=1,b=-3,c=5B.a=1,b=3,c=5C.a=5,b=3,c=1D.a=5,b=-3,c=1解析:∵函数y=1-3x+5x2是二次函数,∴a=5,b=-3,c=1.故选D.D解析:当x=2时，y=22+3×2-5=4+6-5=10-5=5.故填5.3.已知二次函数y=x2+3x-5，当x=2时，y=.54.(2014·安徽中考)某厂今年一月份新产品的研发资金为a元,以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x,则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系式为y=.解析:∵一月份新产品的研发资金为a元,二月份起,每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x,∴二月份研发资金为a×(1+x),∴三月份的研发资金y=a×(1+x)×(1+x)=a(1+x)2.故填a(1+x)2.a(1+x)2第二章二次函数学习新知在你打篮球或观看篮球比赛时,你是否注意投篮时篮球的运行路线是什么样的?这种运行路线所形成的图形在我们日常生活中无处不在,比如喷泉流经过的路线、一些拱形桥的桥拱的形状、导弹运行的路线等.xy0-4-3-2-11234108642-21y=x2画二次函数y=x2的图象(1)列表.(2)在直角坐标系中描点.(3)用光滑的曲线连接各点.x…-3-2-10123…y=x2…9410149…二次函数y=x2的性质(5)图象是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点,并与同伴进行交流.【议一议】对于二次函数y=x2的图象:(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.(2)图象与x轴有交点吗?如果有,交点坐标是什么?(3)当x0时,随着x值的增大,y的值如何变化?当x0时呢?(4)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的?函数表达式y=x2大致图象开口方向对称轴顶点坐标增减性最值二次函数y=x2的性质向上y轴(或直线x=0)原点(0,0)当x0时,y随x的增大而减小;当x0时,y随x的增大而增大当x=0时,y有最小值,最小值是0xy0-4-3-2-11234-10-8-6-4-22-1y=-x2【做一做】二次函数y=-x2的图象是什么形状?先想一想，然后画出它的图象.它与二次函数y=x2的图象有什么关系?指出二次函数y=-x2的正确图象,并指出其他图象的错误.不正确，连线不平滑.不正确，图象不对称.不正确，图象不完整.正确.画二次函数图象的注意事项:(1)列表时,选取的自变量的值,应以O为中心,左边取-1,-2,-3,右边对应取1,2,3(取互为相反数的一对数),不要一边多,一边少,不对称.(2)描点时要严格按照表中所列的对应值描点,绝对不能把点的位置描错.(3)按自变量从小到大的顺序依次画线,连线时用光滑的曲线连接各点,不能用折线连接.(4)图象是延伸的,不要画成有明确的端点.函数表达式y=-x2大致图象开口方向对称轴顶点坐标增减性最值二次函数y=-x2的性质向下y轴(或直线x=0)原点(0,0)当x0时,y随x的增大而增大;当x0时,y随x的增大而减小当x=0时,y有最大值,最小值是0[知识拓展]二次函数y=x2的图象与二次函数y=-x2的图象的关系:(1)二次函数y=x2的图象与二次函数y=-x2的图象关于x轴对称.(2)如果把两个图象看成一个图形,这个图形是中心对称图形,对称中心是坐标原点.检测反馈1.下列说法正确的是()A.二次函数y=x2图象上的点,其纵坐标的值随着x值的增大而增大B.二次函数y=-x2图象上的点,其纵坐标的值随着x值的增大而增大C.二次函数y=x2与y=-x2的图象开口方向不同，其对称轴都是y轴,y值都随着x值的增大而增大D.当x0时，y=x2中y随x的增大而减小；当x0时，y=-x2中y随x的增大而减小解析:二次函数y=±x2的函数图象在对称轴左右两边的增减性是不一样的,所以A，B，C均不正确.故选D.D2.已知点A(2，a)，B(b，9)在抛物线y=x2上，则a=，b=.解析:分别把x=2和y=9代入y=x2，解得a=4，b=±3.4±33.通过列表、描点、连线的方法画函数y=-x2的图象.解:列表:x…-3-2-10123…y…-9-4-10-1-4-9…描点,连线,如图所示.第二章二次函数学习新知观察下面的二次函数表达式:(1)y=x2；(2)y=-x2；(3)y=-2x2；(4)y=3x2；(5)y=x2.观察思考它们有什么共同点和不同点?(3)(4)(5)与我们学习过的(1)(2)又有什么不同点?12二次函数y=ax2的图象与性质探究活动一:画二次函数y=2x2的图象(1)完成下表:x-3-2-10123y188202818(2)在课本图2-4中画出y=2x2的图象.y=2x2(3)二次函数y=2x2的图象是什么形状?它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?y=x2y=2x23.二次函数y=2x2的图象与二次函数y=x2的图象的不同点:两个函数图象的开口大小不同,y=2x2的图象在y=x2的图象的内侧,开口较小,它的函数值的增长速度较快.1.二次函数y=2x2的图象是抛物线.2.二次函数y=2x2的图象与二次函数y=x2的图象的相同点:(1)开口方向相同,都向上.(2)对称轴都是y轴(或直线x=0).(3)顶点都是原点,坐标为(0,0).(4)在y轴左侧,y值随x值的增大而减小；在y轴右侧,y值随x值的增大而增大.(5)都有最低点,即原点.函数都有最小值.【想一想】在同一坐标系中作二次函数y=-x2和y=-2x2的图象,会是什么样?探究活动二:画出y=x2的图象12【想一想】在课本图2-4中画出y=x2的图象.12y=x2y=2x212y=x2【问题】它与二次函数y=x2，y=2x2的图象有什么相同和不同?小结:1.相同点:(1)开口方向相同,都向上.(2)对称轴都是y轴(或直线x=0).(3)顶点都是原点,坐标为(0,0).(4)在y轴左侧,y值随x值的增大而减小;在y轴右侧,y值随x值的增大而增大.(5)都有最低点,即原点.函数都有最小值.2.不同点：y=x2的图象在y=2x2和y=x2的图象的外侧，开口较大.y=x2中函数值的增长速度较慢.1212强调：二次函数y=ax2(a≠0)中,二次项系数a的作用:(1)a确定了抛物线的开口方向:①a0时,开口向上；②a0时,开口向下.(2)a确定了抛物线的开口大小:①︱a︱越大,开口越小,函数值变化得越快；②︱a︱越小,开口越大,函数值变化得越慢.[知识拓展]二次函数y=ax2的图象和性质:1.当a0时:(1)开口向上.(2)对称轴都是y轴(或直线x=0).(3)顶点都是原点,坐标为(0,0).(4)在y轴左侧,y值随x值的增大而减小;在y轴右侧,y值随x值的增大而增大.(5)当x=0时,y最小=0.2.当a0时:(1)开口向下.(2)对称轴都是y轴(或直线x=0).(3)顶点都是原点,坐标为(0,0).(4)在y轴左侧,y值随x值的增大而增大;在y轴右侧,y值随x值的增大而减小.(5)当x=0时,y最大=0.二次函数y=ax2+c的图象与性质y=2x2y=2x2+1二次函数y=2x2+1的图象与二次函数y=2x2的图象的关系:1.相同点:(1)它们的图象都是抛物线,且形状相同,开口方向都向上.(2)它们都是轴对称图形,且对称轴都是y轴.(3)在y轴左侧,y随x的增大而减小;在y轴右侧,y随x的增大而增大.(4)都有最低点,y都有最小值.2.不同点:(1)它们的顶