求轮胎的回正力矩——侧偏角特性的数值解并绘制曲线1解析

1题目某轮胎额定载荷NFz8000，在此载荷作用下附着系数8.0y，侧偏刚度radNK/81000，转折系数1.0yE。该轮胎半径mR36.0，接地印迹长度ml3.0，载荷在印迹上的分布为抛物线)22,(2lxlbxaP，沿宽度分布为常数。设侧向力～侧偏角的关系为31yEzyyeFF式中,zyFKtg,是侧偏角。忽略轮胎侧向变形产生的附加回正力矩的情况下，求（1)回正力矩——侧偏角特性的解析解与数值解，并绘制曲线。（2)设轮胎的滚动阻力系数为01.0f，此时垂直压力沿印迹方向的分布为lxcbxaP2sin2求解此时的回正力矩——侧偏角特性的数值解并绘制曲线。解答一.第一个问题解答a)求轮胎印迹上的垂直力分布由于轮胎印迹上的垂直力分布沿宽度分布为常数，可以把所给的载荷在印迹上的分布函数理解为单位长度上的垂直力分布，如下22,2lxlbxaP（1－1）由该分布规律可以求的总的垂直力2/2/llzPdxF（1－2）将（1－1）式代入（1－2）式，可得，zFlbal312（1－3）考虑到实际情况下，02lxP（1－4）由（1－1）（1－4）式可以得到0412bla（1－5）由（1－3）（1－5）式联立求解得，3623lFblFazz2则载荷在印迹上的分布为)123(2223xllFPz（1－6）b)求侧向力分布设印迹上各点处沿轮胎的宽度方向的侧向力的合力，在不超过该处的最大允许侧向力沿轮胎的宽度方向的合力时，从轮胎的接地印迹前方到后方成线性分布，如图（1）中的直线A所示（)2(lxkfy）。-0.15-0.10-0.050.000.050.100.1505000100001500020000250003000035000x0CAByxk(x-L/2)uy*P图1.侧向力分布模型图设直线A与抛物线B（Pfyy）交于C点（此时0xx），则)123(2)2(20230xllFlxkzylxxllFkzy020232123（1－7）由此假设可以得到下面的各点处沿轮胎的宽度方向的侧向力的合力公式，002,2),2()),2(min()(xxlPlxxlxkPlxkxfyyy（1－8）则总的侧向力为2/2/llyydxfF（1－9）将（1－6）（1－8）式代入（1－9）式，可得423422020302303llxxklxlxlFFzyy（1－10）已知有如下侧向力公式31yEzyyeFF（1－11）式中，3zyFKtg（1－12）由（1－7）（1－11）代入（1－10）式可得，081612833022030yEelxllxx（1－13）从（1－12）（1－13）式可以求得2/2/),(00lxlgx（1－14）将（1－14）式代入（1－7）式，即可求得)(0xkk。c)求回正力矩通过上面的分析计算求得侧向力分布如下022302/),123(22/),2/(xxlxllFlxxlxkfzyy（1－15）由此可得回正力矩如下002/2232/2/2/)123(2)2/(xlzylxllyzxdxxllFxdxlxkxdxfM即)1617252910(240320230403lxlxllxxlFMzyz（1－16）上式中，0x如（1－14）式所示。d)数值求解结果数值计算的算法步骤如下：（1)给定题目中用到的常数和求解的侧偏角范围（0～600）和步长；（2)用非线性方程求解方法求解方程（1－13）式；（3)计算回正力矩（1－16）式；（4)输出计算结果（侧偏角，侧向力，回正力矩等）；用matlab软件设计程序，计算结果如下图2－4所示。程序见附录1。0102030405060-0.15-0.10-0.050.000.050.100.15x0/mslipangle/0x0(n)0102030405060-100001000200030004000500060007000Fy(N)slipangle/0Fy(n)图2.临界侧向滑移点的位置图3.侧向力随侧偏角的变化40102030405060-2000200400600800100012001400Mz(N.m)slipangle/0Mz(n)图4.回正力矩随侧偏角的变化二.第二个问题a)求轮胎印迹上的垂直力分布轮胎的滚动阻力系数为01.0f，此时垂直压力沿印迹方向的分布为lxcbxaP2sin2（2－1）则，和第一个问题同理，由下面的关系，2/2/llzPdxF（2－2）02lxP（2－3）可得，lxcxllFPz2sin)123(2223（2－4）由已知的滚动阻力特性可得，2/2/llzyPxdxfRFM（2－5）将（2－4）代入（2－5）可求得22lfRFcz（2－6）将（2－6）式代入（2－4）式可得lxlfRFxllFPzz2sin2)123(22223（2－7）b)求侧向力分布利用和第一个问题相同的侧向力模型假设，可得)),2(min()(Plxkxfyy（2－8）设直线A和曲线B交于点C（此时0xx），则可得下面的方程，lxlfRFxllFlxkzzy02202302sin2)123(2)2(5lxlfRFxllFlxkzzy02202302sin2)123(2)2/(（2－9）由于0c，结合图形分析，则（2－8）式可以写成002/,2/),2()(xxlPlxxlxkxfyy（2－10）总的侧向力为2/2/llyydxfF（2－11）将（2－10）式代入（2－11）式，可得)2sin()2(22cos14234200302020302303lxlxlfRlFlxlfRFllxxklxlxlFFyzzyzyy（2－12）已知有如下侧向力公式31yEzyyeFF（1－11）式中，zyFKtg（1－12）由（1－11）（2－9）式代入（2－12）式可得，081)2sin()2(42cos186128330002022030yEellxlxfRllxfRlxllxx（2－13）)(0gx（2－14）式中，g为某一个确定的函数关系。将0x代入（2－9）式，即可求得)(0xkk。c)求回正力矩通过上面的分析计算求得侧向力分布如下0222302/,2sin2)123(22/),2/(xxllxlFfRxllFlxxlxkfzyzyy（2－15）由此可得回正力矩如下002/22232/2/2/2sin2)123(2)2/(xlzyzylxllyzxdxlxlFfRxllFxdxlxkxdxfM即6)2sin()28(122cos2sin22)1617252910(202020200040320230403lxllxxlRfFlxxlxlllfRFlxlxllxxlFMzyzyzyz（2－16）式中，0x如（2－14）式所示。d)数值求解结果数值计算的算法步骤如下：（1)给定题目中用到的常数和求解的侧偏角范围（0～600）和步长；（2)用非线性方程求解方法求解方程（2－13）式；（3)计算回正力矩（2－16）式；（4)输出计算结果（侧偏角，侧向力，回正力矩等）；用matlab设计程序，计算结果如下图5－7所示。程序见附录2。0102030405060-0.15-0.10-0.050.000.050.100.15x0/mslipangle/0x0(n)0102030405060-100001000200030004000500060007000Fy(N)slipangle/0Fy(n)图5.临界侧向滑移点的位置图6.侧向力随侧偏角的变化0102030405060-2000200400600800100012001400Mz(N.m)slipangle/0Mz(n)图7.回正力矩随侧偏角的变化7三.附录1.数值计算第一个问题的matlab程序a)主程序clearall;formatlong;Fz=8000;uy=0.8;K=81000;Ey=0.1;R=0.36;L=0.3;alpha=[0:0.1:60];a=3*Fz/(2*L);b=-6.*Fz/(L^3);Q=K.*tan(alpha.*pi./180)./(uy*Fz);[tmp,N]=size(alpha);epslon=1.0e-6;x=zeros(N,3);forn=1:N[x(n,1:3),G,flag]=fminsearch(@g,0,[],Q(n),Ey,uy,Fz,L);if(flag~=1)'donotconverge...'n,x(n,1:3)endendx0=zeros(1,N);x0=x0+L/2.0;forn=1:Nforn1=1:3if((x(n,n1)=-(L/2+epslon))&(x(n,n1)=(L/2+epslon)))x0(n)=x(n,n1);endendendk=(-3*uy*Fz/(L^3)).*(2.*x0+L);Fy=uy*Fz.*(1-exp(-(Q+Ey.*Q.^3)));Mz=uy*Fz/(2.0*L^3).*(x0.^4-10*L.*x0.^3-4.5*L^2.*x0.^2+2.5*L^3.*x0+17.0/16*L^4);fid=fopen('prob-1.m','w');fprintf(fid,'nalpha(n)x0(n)Fy(n)Mz(n)\n');forn=1:Nfprintf(fid,'%5d%15.7f%15.7f%15.7f%15.7f\n',n,alpha(n),x0(n),Fy(n),Mz(n));endfclose(fid);clearallb)子程序functionG=g(x,Q,Ey,uy,Fz,L)G=8*x^3-12*L*x^2+6*L^2*x-L^3+8*L^3*exp(-(Q+Ey*Q^3));G=abs(G);2.数值计算第二个问题的matlab程序a)主程序clearall;formatlong;Fz=8000;uy=0.8;K=81000;Ey=0.1;R=0.36;L=0.3;f=0.01;alpha=[0:0.1:60];%alpha=alpha.*pi/180;a=3*Fz/(2*L);b=-6.*Fz/(L^3);Q=K.*tan(alpha.*pi./180)./(uy*Fz);[tmp,N]=size(alpha);epslon=1.0e-6;x=zeros(N,3);forn=1:N8[x(n,1:3),G,flag]=fminsearch(@h,0,[],Q(n),Ey,uy,f,R,Fz,L);if(flag~=1)'donotconverge...'n,x(n,1:3)endendx0=zeros(1,N);x0=x0+L/2.0;forn=1:Nforn1=1:3x(n,n1)if((x(n,n1)=-(L/2+epslon))&(x(n,n1)=(L/2+epslon)))x0(n)=x(n,n1);endendendk=(-3*uy*Fz/(L^3)).*(2.*x0+L);Fy2=uy*Fz/(8*L^3)*(8.*x0.