2012四川高考数学(理科)答案及解析

1DCAEB2012年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理科）参考公式：如果事件互斥，那么球的表面积公式()()()PABPAPB+=+24SRp=如果事件相互独立，那么其中R表示球的半径()()()PABPAPB?球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么343VRp=在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径()(1)(0,1,2,,)kknknnPkCppkn-=-=…第一部分（选择题共60分）注意事项：1、选择题必须使用2B铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上.2、本部分共12小题，每小题5分，共60分.一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、7(1)x的展开式中2x的系数是（）A、42B、35C、28D、212、复数2(1)2ii（）A、1B、1C、iD、i3、函数29,3()3ln(2),3xxfxxxx在3x处的极限是（）A、不存在B、等于6C、等于3D、等于04、如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使1AE，连接EC、ED则sinCED（）A、31010B、1010C、510D、51525、函数1(0,1)xyaaaa的图象可能是（）6、下列命题正确的是（）A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行7、设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使||||abab成立的充分条件是（）A、abB、//abC、2abD、//ab且||||ab8、已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点0(2,)My.若点M到该抛物线焦点的距离为3，则||OM（）A、22B、23C、4D、259、某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（）A、1800元B、2400元C、2800元D、3100元10、如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面内，过点O作平面的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面成45角的平面与半球面相交，所得交线上到平面的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足60BOP，则A、P两点间的球面距离为（）A、2arccos4RB、4RC、3arccos3RD、3RαCAODBP311、方程22aybxc中的,,{3,2,0,1,2,3}abc，且,,abc互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）A、60条B、62条C、71条D、80条12、设函数()2cosfxxx，{}na是公差为8的等差数列，125()()()5fafafa，则2313[()]faaa（）A、0B、2116C、218D、21316第二部分（非选择题共90分）注意事项：（1）必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚.答在试题卷上无效.（2）本部分共10个小题，共90分.二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题纸的相应位置上.）13、设全集{,,,}Uabcd，集合{,}Aab，{,,}Bbcd，则）（）（BCACUU_______.14、如图，在正方体1111ABCDABCD中，M、N分别是CD、1CC的中点，则异面直线1AM与DN所成角的大小是____________.15、椭圆22143xy的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点A、B，当FAB的周长最大时，FAB的面积是____________.16、记[]x为不超过实数x的最大整数，例如，[2]2，[1.5]1，[0.3]1.设a为正整数，数列{}nx满足1xa，1[][]()2nnnaxxxnN，现有下列命题：①当5a时，数列{}nx的前3项依次为5,3,2；②对数列{}nx都存在正整数k，当nk时总有nkxx；③当1n时，1nxa；④对某个正整数k，若1kkxx，则[]nxa.其中的真命题有____________.（写出所有真命题的编号）NMB1A1C1D1BDCA4三、解答题（本大题共6个小题，共74分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）17、(本小题满分12分)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为110和p.（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p的值；（Ⅱ）设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布列及数学期望E.18、(本小题满分12分)函数2()6cos3cos3(0)2xfxx在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且ABC为正三角形.（Ⅰ）求的值及函数()fx的值域；（Ⅱ）若083()5fx，且0102(,)33x，求0(1)fx的值.519、(本小题满分12分)如图，在三棱锥PABC中，90APB，60PAB，ABBCCA，平面PAB平面ABC.（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成角的大小；（Ⅱ）求二面角BAPC的大小.20、(本小题满分12分)已知数列{}na的前n项和为nS，且22nnaaSS对一切正整数n都成立.（Ⅰ）求1a，2a的值；（Ⅱ）设10a，数列110{lg}naa的前n项和为nT，当n为何值时，nT最大？并求出nT的最大值.ABCP621、(本小题满分12分)如图，动点M到两定点(1,0)A、(2,0)B构成MAB，且2MBAMAB，设动点M的轨迹为C.（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设直线2yxm与y轴交于点P，与轨迹C相交于点QR、，且||||PQPR，求||||PRPQ的取值范围.22、(本小题满分14分)已知a为正实数，n为自然数，抛物线22nayx与x轴正半轴相交于点A，设()fn为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距.（Ⅰ）用a和n表示()fn；（Ⅱ）求对所有n都有33()1()11fnnfnn成立的a的最小值；（Ⅲ）当01a时，比较11()(2)nkfkfk与27(1)()4(0)(1)ffnff的大小，并说明理由.yxBAOM7DCAEB参考答案一、选择题1[答案]D[解析]二项式7)1(x展开式的通项公式为1kT=kkxC7，令k=2，则2273xCT、21Cx272的系数为[点评]：高考二项展开式问题题型难度不大，要得到这部分分值，首先需要熟练掌握二项展开式的通项公式，其次需要强化考生的计算能力.2[答案]B.[解析]2(1)2ii12212iii[点评]突出考查知识点12i，不需采用分母实数化等常规方法，分子直接展开就可以.3[答案]A[解析]分段函数在x=3处不是无限靠近同一个值，故不存在极限.[点评]对于分段函数，掌握好定义域的范围是关键.4[答案]B1010cos1sin10103ECED2CD-ECEDCEDcos1CD5CBABEAEC2ADAEED11AE][22222222CEDCED，）（，正方形的边长也为解析[点评]注意恒等式sin2α+cos2α=1的使用，需要用α的的范围决定其正余弦值的正负情况.5[答案]C[解析]采用排除法.函数(0,1)xyaaaa恒过（1,0），选项只有C符合，故选C.[点评]函数大致图像问题，解决方法多样，其中特殊值验证、排除法比较常用，且简单易用.6[答案]C8[解析]若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确.[点评]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质，需要熟练掌握课本基础知识的定义、定理及公式.7[答案]D[解析]若使||||abab成立，则方向相同，与ba选项中只有D能保证，故选D.[点评]本题考查的是向量相等条件模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量，其模为0且方向任意.8[答案]B[解析]设抛物线方程为y2=2px(p0),则焦点坐标为（0,2p），准线方程为x=2p,32)22(2||22,222,132p2,32p-2.2202202OMMypyMM）（点解得：）（且）（线的距离到焦点的距离等于到准在抛物线上，[点评]本题旨在考查抛物线的定义:|MF|=d,(M为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，d为点M到准线的距离).9[答案]C[解析]设公司每天生产甲种产品X桶，乙种产品Y桶，公司共可获得利润为Z元/天，则由已知，得Z=300X+400Y且00122122YXYXYX画可行域如图所示，目标函数Z=300X+400Y可变形为Y=400zx43这是随Z变化的一族平行直线解方程组12y2x12yx24y4x即A（4,4）280016001200maxZ9[点评]解决线性规划题目的常规步骤：一列（列出约束条件）、二画（画出可行域）、三作（作目标函数变形式的平行线）、四求（求出最优解）.10[答案]A[解析]以O为原点，分别以OB、OC、OA所在直线为x、y、z轴，则A)0,23,21(),22,0,22(RRPRR42arccosAOP42arccosRPA[点评]本题综合性较强，考查知识点较为全面，题设很自然的把向量、立体几何、三角函数等基础知识结合到了一起.是一道知识点考查较为全面的好题.要做好本题需要有扎实的数学基本功.11[答案]B[解析]方程22aybxc变形得222bcybax，若表示抛物线，则0,0ba所以，分b=-3,-2,1,2,3五种情况：（1）若b=-3，2,1,0,233,1,0,2,23,2,0,2c,13,2,1,0,2或或或，或或或或或或或或或cacaaca;（2）若b=3,2,1,0,233,1,0,2,23,2,0,2c,13,2,1,0,2或或或，或或或或或或或或或cacaaca以上两种情况下有9条重复，故共有16+7=23条；同理当b=-2,或2时，共有23条；当b=1时，共有16条.综上，共有23+23+16=62种[点评]此题难度很大，若采用排列组合公式计算，很容易忽视重复的18条抛物线.列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法.要能熟练运用.12[答案]D[解析]∵数列{an}是公差为8的等差数列，且125()()()5fafafa∴5)coscos(cos2521521aaaaaa）（∴,0)coscos(cos521aaa即55223521aaaa）（αCAODBP422RPOAOAOPCOS10得43,4,2513aaa∴2313[()]faaa1613163)cos2(22251233aaaa[点评]本题难度较大，综合性很强.突出考查了等差数列性质和三角函数性质的综