数列求和习题及答案

§6.4数列求和（时间：45分钟满分：100分）一、选择题(每小题7分，共35分)1．在等比数列{an}(n∈N*)中，若a1＝1，a4＝18，则该数列的前10项和为()A．2－128B．2－129C．2－1210D．2－12112．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为()A．2n＋n2－1B．2n＋1＋n2－1C．2n＋1＋n2－2D．2n＋n－23．已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数，数列{bn}满足bn＝lgan，b3＝18，b6＝12，则数列{bn}的前n项和的最大值等于()A．126B．130C．132D．1344．数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于()A．200B．－200C．400D．－4005．数列1·n,2(n－1),3(n－2)，…，n·1的和为()A.16n(n＋1)(n＋2)B.16n(n＋1)(2n＋1)C.13n(n＋2)(n＋3)D.13n(n＋1)(n＋2)二、填空题(每小题6分，共24分)6．等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则a21＋a22＋…＋a2n＝________.7．已知数列{an}的通项an与前n项和Sn之间满足关系式Sn＝2－3an，则an＝__________.8．已知等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列1bnbn＋1的前n项和Sn＝________.9．设关于x的不等式x2－x2nx(n∈N*)的解集中整数的个数为an，数列{an}的前n项和为Sn，则S100的值为________．三、解答题(共41分)10．(13分)已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的n∈N*满足关系式2Sn＝3an－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}的通项公式是bn＝1log3an·log3an＋1，前n项和为Tn，求证：对于任意的正数n，总有Tn1.11．(14分)已知单调递增的等比数列{an}满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝anlog12an，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn＋n·2n＋150成立的最小正整数n的值．12．(14分)已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝1n(an＋3)(n∈N*)，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，是否存在最大的整数t，使得对任意的n均有Snt36总成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．答案1.B2.C3.C4.B5.A6.13(4n－1)7.1234n－18.nn＋19.1010010.(1)解由已知得2Sn＝3an－3，2Sn－1＝3an－1－3(n≥2)．故2(Sn－Sn－1)＝2an＝3an－3an－1，即an＝3an－1(n≥2)．故数列{an}为等比数列，且公比q＝3.又当n＝1时，2a1＝3a1－3，∴a1＝3.∴an＝3n.(2)证明∵bn＝1n(n＋1)＝1n－1n＋1.∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋11.11解(1)设此等比数列为a1，a1q，a1q2，a1q3，…，其中a1≠0，q≠0.由题意知：a1q＋a1q2＋a1q3＝28，①a1q＋a1q3＝2(a1q2＋2)．②②×7－①得6a1q3－15a1q2＋6a1q＝0，即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝12.∵等比数列{an}单调递增，∴a1＝2，q＝2，∴an＝2n.(2)由(1)得bn＝－n·2n，∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝－(1×2＋2×22＋…＋n·2n)．设Tn＝1×2＋2×22＋…＋n·2n，③则2Tn＝1×22＋2×23＋…＋n·2n＋1.④由③－④，得－Tn＝1×2＋1×22＋…＋1·2n－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2，∴－Tn＝－(n－1)·2n＋1－2.∴Sn＝－(n－1)·2n＋1－2.要使Sn＋n·2n＋150成立，即－(n－1)·2n＋1－2＋n·2n＋150，即2n26.∵24＝1626,25＝3226，且y＝2x是单调递增函数，∴满足条件的n的最小值为5.12解(1)由题意得(a1＋d)(a1＋13d)＝(a1＋4d)2，整理得2a1d＝d2.∵a1＝1，解得d＝2，d＝0(舍)．∴an＝2n－1(n∈N*)．(2)bn＝1n(an＋3)＝12n(n＋1)＝121n－1n＋1，∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝121－12＋12－13＋1n－1n＋1＝121－1n＋1＝n2(n＋1).假设存在整数t满足Snt36总成立，又Sn＋1－Sn＝n＋12(n＋2)－n2(n＋1)＝12(n＋2)(n＋1)0，∴数列{Sn}是单调递增的．∴S1＝14为Sn的最小值，故t3614，即t9.又∵t∈Z，∴适合条件的t的最大值为8.