矩阵分析

矩阵分析参考书矩阵分析引论罗家洪编矩阵论程云鹏编教材：矩阵分析史荣昌等编矩阵理论是一门最有实用价值的数学理论。在现代工程技术中有广泛的应用。算法处理，系统工程，优化方法，现代控制理论，自动化技术，稳定性理论等，都与矩阵理论有着密切的联系。矩阵理论在内容上也在不断的更新和发展。本课程只介绍矩阵理论中最经典的一部分。它是线性代数课程的继续和深化。为了学好这门课程，希望同学们好好复习一下线性代数，特别向量、矩阵、二次型的相关内容。第一节线性空间一：线性空间的定义与例子定义设是一个非空的集合，是一个数域，在集和中定义两种代数运算,一种是加法运算,用来表示;另一种是数乘运算,用来表示,并且这两种运算满足下列八条运算律：VFV第一章线性空间和线性映射实数域R复数域C运算的结果是F中的元素（1）加法交换律（2）加法结合律()()（3）零元素在中存在一个元素，使得对于任意的都有00VV（4）负元素对于中的任意元素都存在一个元素使得V01（5）记()()klkl（6）（7）()klkl（8）()kkk称这样的为数域上的线性空间。VF例1全体实函数集合构成实数域上的线性空间。RRR例2复数域上的全体型矩阵构成的集合为上的线性空间。CmnCmnmmC按函数的加法和数乘函数按矩阵的加法和数乘矩阵V中的元素称为向量例3实数域上全体次数小于或等于的多项式集合构成实数域上的线性空间Rn[]nRxR例4全体正的实数在下面的加法与数乘的定义下也构成线性空间：R:,,:,,kabababRkaaakR例5表示实数域上的全体无限序列组成的的集合。即RR123,[,,,]1,2,3,iaFRaaai在中定义加法与数乘：则为实数域上的一个线性空间。123123112233123123[,,,][,,,][,,,][,,,][,,,]aaabbbabababkaaakakakaRRR例6在中满足Cauchy条件的无限序列组成的子集合也构成上的线性空间。Cauchy条件是：使得对于都有0,0,N,mnNmnaaRR例7在中满足Hilbert条件的无限序列组成的子集合不构成上的线性空间。Hilbert条件是：级数收敛例8在中有界的无限序列组成的子集也构成上的线性空间。一个无限序列称为有界的，如果存在一个实数，使得21nnaRR123[,,,]aaar,1,2,iariRR定理1:线性空间有唯一的零元素,任一元素有唯一的负元素.121122:000000证设，是两个零元素,则有12,xxx设元素有两个负元素120,0xxxx110xx12()xxx12()xxx220xx，，，组实数，对于任何一给定向量组mmkkkA,,,,:2121定义１.,21个线性组合的系数称为这，，mkkk，称为向量组的一个向量2211mmkkk线性组合mmb2211，使，，一组数如果存在和向量给定向量组mmbA,,,,,:2121的线性组合，这时称是向量组则向量Ab向量能由向量组线性表示．bA二：线性空间的基本概念及其性质0,,,,,,,:22112121mmmmkkkkkkA使全为零的数如果存在不给定向量组定义2则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关．A定理3向量组（当时）线性相关的充分必要条件是中至少有一个向量可由其余个向量线性表示．m,,,212mm,,,211m.,,,,,:,,,,:121且表示式是唯一的线性表示必能由向量组向量则线性相关组而向量线性无关设向量组AbbBAmm定理4：0.它的秩为有最大无关组，规定只含零向量的向量组没，满足个向量中能选出，如果在设有向量组rArAA,,,:210定义3线性无关；）向量组（rA,,,:1210关，个向量的话）都线性相中有个向量（如果中任意）向量组（112rArA.的称为向量组数最大无关组所含向量个r;0）（简称的一个向量组是那末称向量组AA最大线性无关向量组最大无关组最大（线性）无关向量组秩最大无关组即其自身！注：线性无关向量组的基本性质：（1）含有零向量的向量组一定线性相关；（2）整体无关部分无关；部分相关整体相关；（3）如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向量组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相关；（4）向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关组并不唯一；（5）如果向量组（I）可以由向量组（II）线性表出，那么向量组（I）的秩向量组（II）的秩；（6）等价的向量组秩相同。例2实数域上的线性空间中，函数组是一组线性无关的函数，其中为一例1实数域上的线性空间中，函数组是一组线性无关的函数，其中为一组互不相同的实数。RRR12,,,nxxxeee12,,,nRRR12,,,nxxx12,,,nRRR1,cos,cos2,,cosxxnx也是线性无关的。例3实数域上的线性空间中，函数组组互不相同的实数。例4实数域上的线性空间空间中，函数组RRR21,cos,cos2xx22sin,cos,sin,cos,,sin,cos,4.nnxxxxxxn是线性相关的函数组。函数组是线性相关24212sin(1cos2),cos22cos1xxxx2cos22cos1xx定义设为数域上的一个线性空间。如果在中存在个线性无关的向量使得中的任意一个向量都可以由线性表出VFn12,,,nV12,,,nV1122nnkkk12,,,nV12(,,,)Tnkkk12,,,nVndim.Vn第二节线性空间的基底，维数与坐标变换则称为的一个基底；为向量在基底下的坐标。此时我们称为一个维线性空间，记为１．向量的坐标是唯一的２．向量的相关性与坐标的相关性一致R3R(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)例1实数域上的线性空间中向量组与向量组都是的基。是3维线性空间。(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)3R3R要验证：１．向量组无关．２．任一向量可以由它们表示．例2实数域上的线性空间中的向量组与向量组都是的基。是4维线性空间。10111111,,,0000101122R01101111,,,11110110R22R22R与向量组都是的基底。的维数为21,,,,nxxx21,2,(2),,(2)nxxx[]nRx[]nRx1.n22R例3实数域上的线性空间中的向量组R[]nRx注意：通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不唯一，但是维数是唯一确定的。利用维数的定义线性空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。目前，我们主要讨论有限维的线性空间。例4在4维线性空间中，向量组01101111,,,11110110与向量组是其两组基，求向量在这两组基下的坐标。解：设向量在第一组基下的坐标为10111111,,,000010111234AA1234(,,,)Txxxx解得123412011034111111110110xxxx12347412,,,3333xxxx12341,1,1,4yyyy于是可得同样可解出在第二组基下的坐标为设（旧的）与（新的）是维线性空间的两组基底，它们之间的关系为12,,,n12,,,nVn11221212,,,,1,2,,iiininiinniaaaaaina由此可以看出：一个向量在不同基底下的坐标是不相同的。基变换与坐标变换1112121222121212,,,,,nnnnnnnaaaaaaaaa将上式矩阵化可以得到下面的关系式：n称阶方阵记为Ｐ111212122212nnnnnnaaaaaaPaaa是由旧的基底到新的基底的过渡矩阵，那么上式可以写成1212,,,,,nnPP提示ＰＸ＝０只有零解定理：过渡矩阵是可逆的。任取，设在两组基下的坐标分别为与，那么我们有：V12,,,Tnxxx12,,,Tnyyy121211221212(,,,)(,,,)(,,,)nnnnnnxxxyyyyPyy1122nnxyxyPxy例1在4维线性空间中，向量组22R称上式为坐标变换公式。12340110,,11111111,,011012341011,,00001111,,1011与向量组1234A为其两组基，求从基到基的过渡矩阵，并求向量在这两组基下的坐标。解：容易计算出下面的矩阵表达式1234,,,1234,,,12341234,,,,,,211033311103331210333121133312347412,,,3333xxxx向量第一组基下的坐标为利用坐标变换公式可以求得在第二组基下的坐标为AA11122334421103331111013331211033341211333yxyxyxyx2121[],,,1,,(),,()nnnRxxxxxaxaxa例：在中,1,与为两组基，求前一组基到后一组基的过渡矩阵.22211232111()121()()1(1)()(1)(2)()2!nnnnnxaaxxaaaxxxaanaxnnaxx解：＝21231()012(1)()(1)(2)001()2!01nnnaaaanannPa412341234,,,R例：在中，求由基,,,到基的过渡矩阵1234(1,2,1,0)(1,1,1,1)(1,2,1,1)(1,1,0,1)TTTT1234(2,1,0,1)(0,1,2,2)(2,1,1,2)(1,3,1,2)TTTT12341234,,,xxxx并求＝（,,,）在基的坐标。123412341234123411112121)()1110011120211113(,,,)()02111222(,,,,,,,,,123412341123420211113(,,,)()021112221111202121211113)1110021101111222,,,(,,,123412343