数学建模中权重的确定方法

权重的确定方法标准化(归一化)•极值线形模式：新数据=（原数据-极小值）/（极大值-极小值）•均值标准差模式：新数据=（原数据-均值）/标准差•对数Logistic模式：新数据=1/（1+e^(-原数据)）•模糊量化模式：新数据=1/2+1/2sin[派3.1415/（极大值-极小值）*（X-（极大值-极小值）/2）]X为原数据权重•权重是一个相对的概念，是针对某一指标而言。某一指标的权重是指该指标在整体评价中的相对重要程度。•自重权数：以权数作为指标的分值（或分数），或者以权数直接作为等级的分值。•加重权数：在各指标的已知分值（即自重权数）前面设立的权数。a.专家咨询权数法（特尔斐法）•该法又分为平均型、极端型和缓和型。主要根据专家对指标的重要性打分来定权，重要性得分越高，权数越大。优点是集中了众多专家的意见，缺点是通过打分直接给出各指标权重而难以保持权重的合理性。b.因子分析权数法•根据数理统计中因子分析方法，对每个指标计算共性因子的累积贡献率来定权。累积贡献率越大，说明该指标对共性因子的作用越大，所定权数也越大。c.信息量权数法•根据各评价指标包含的分辨信息来确定权数。采用变异系数法，变异系数越大，所赋的权数也越大。计算各指标的变异系数，将CV作为权重分值，再经归一化处理，得信息量权重系数。d.独立性权数法•利用数理统计学中多元回归方法，计算复相关系数来定权的，复相关系数越大，所赋的权数越大。•计算每项指标与其它指标的复相关系数，计算公式为，R越大，重复信息越多，权重应越小。取复相关系数的倒数作为得分，再经归一化处理得权重系数。e.主成分分析法•一种多元分析法。它从所研究的全部指标中，通过探讨相关的内部依赖结构，将有关主要信息集中在几个主成分上，再现指标与主成分的关系，指标Xj的权数为：wj=dj·bij∑mj=1dj·bij其中bij为第i个主成分与第j个因素间的系数，di=λi/Σλk为贡献率。f.层次分析法（AHP法）•层次分析法是一种多目标多准则的决策方法，是美国运筹学家萨迪教授基于在决策中大量因素无法定量地表达出来而又无法回避决策过程中决策者的选择和判断所起的决定作用，于20世纪70年代初提出的。此法必须将评估目标分解成一个多级指标，对于每一层中各因素的相对重要性给出判断。它的信息主要是基于人们对于每一层次中各因素相对重要性作出判断。•这种判断通过引入1～9比率标度进行定量化。该法的优点是综合考虑评价指标体系中各层因素的重要程度而使各指标权重趋于合理；缺点是在构造各层因素的权重判断矩阵时，一般采用分级定量法赋值，容易造成同一系统中一因素是另一因素的5倍、7倍，甚至9倍，从而影响权重的合理性。g.优序图法•设n为比较对象（如方案、目标、指标）的数目，优序图是一个棋盘格的图式共有n×n个空格，在进行两两比较时可选择1，0两个基本数字来表示何者为大、为优。“1”表示两两相比中相对“大的”、“优的”、“重要的”，而用“0”表示相对“小的”、“劣的”、“不重要的”。以优序图中黑字方格为对角线，把这对角线两边对称的空格数字对照一番，如果对称的两栏数字正好一边是1，而另一边是0形成互补或者两边都为0.5，则表示填表数字无误，即完成互补检验。满足互补检验的优序图的各行所填的各格数字横向相加，分别与总数T（T=n(n-1)/2）相除就得到了各指标的权重。h.熵权法•熵最先由申农引入信息论，现已在工程技术、社会经济等领域得到比较广泛的应用。其基本思路是根据指标变异性的大小来确定客观权重。一般来说，某个指标的信息熵Ej越小，表明指标值的变异程度越大，提供的信息量越多，在综合评价中所起的作用越大，其权重也越大。相反，某个指标的信息熵Ej越大，表明指标值的变异程度越小，提供的信息量越少，在综合评价中所起的作用越小，其权重也越小。把实际数据进行标准化后转变为标准化数据dij后，依据以下公式计算第j项指标的信息熵：Ej＝-(lnm)-1∑mi=1pijlnpij其中m为被评价对象的数目，n为评价指标数目，并且pij=dij∑mi=1dij，如果pij=0，则定义limpij→0pijlnpij=0。利用熵计算各指标客观权重公式为：•wj=1-Ejn-∑nj=1Ejj=1，2，3……ni.标准离差法•标准离差法的思路与熵权法相似。通常，某个指标的标准差越大，表明指标值的变异程度越大，提供的信息量越多，在综合评价中所起的作用越大，其权重也越大。相反，某个指标的标准差越小，表明指标值的变异程度越小，提供的信息量越少，在综合评价中所起的作用越小，其权重也应越小。其计算权重的公式为：•wj=σj∑nj,j=1，2，3，……nj.CRITIC法该法的基本思路是确定指标的客观权数以评价指标间的对比强度和冲突性为基础。对比强度以标准差的形式来表现，即标准差的大小表明在同一指标内，各方案取值差距的大小。标准差越大，各方案之间取值差距越大。而各指标间的冲突性是以指标之间的相关性为基础。若两个指标之间具有较强的正相关，说明两个指标冲突性较低。第j个指标与其它指标冲突性的量化指标为∑nt=1(1-rij)其中rij为评价指标t和j之间的相关系数。设Cj表示第j各指标所包含的信息量，则Cj可表示为：•Cj=σj∑nt=1(1-rij)j=1，2，3，……n•Cj越大，第j个评价指标所包含的信息量越大，该指标的相对重要性就越大。第j个指标的客观权重Wj应为：wj=Cj∑nj=1Cjj=1，2，3，……nk.非模糊数判断矩阵法•非模糊数判断矩阵法是通过把三角模糊数判断矩阵转化为非模糊数，将新矩阵调整为互反矩阵，同时对其一致性进行检验，再利用AHP法来确定权重的一种方法。设三角模糊数M1=（l1，m1，u1），M2=(l2，m2，u2)→建立单位模糊判断矩阵→集结单位模糊判断矩阵建立三角模糊判断矩阵→将三角模糊数转化为非模糊数→对互反性进行调整运用AHP法计算即可得到评价因素的权重集。该方法以三角模糊数判断矩阵为基础，通过一系列的数学处理转换，得到模糊综合评价因素权重，使确定因素权重过程中的主观判断更符合人们的思维习惯与表达方式，在一定程度上改善了传统模糊综合评价的某些缺陷，使该方法的准确性和有效性得到一定的提高。1.算术平均法12{,,,}njUuuuku设因素集个专家，每个专家独立给出的因素的权重12jjkjaaa§1专家评估统计法11211,2,,)(,,,)kjijinaajnkAaaa权重取加权平均：（即得权重集111212122211nnkkknkaaaaaaaaa个专家给出所有因素的权重排成矩阵2.频数统计法1212{,,,},,,)(1,2,,)niiiinUuuukuaaaik设因素集个专家(i=独立给出的因素的权重（121,2,jjjjkjjjuuaaaMmjn作单因素的权重统计:(1)在每个专家所给出的的权重中找出最大值和最小值（)；jjMmp（2）适当选择正整数p，由公式计算出组距，将权重由小到大分为p组；（3）计算落在每组内的权重的频数和频率；12(,,,)jjnuaAaaa（4）取最大频率所在的组的组中值作为因素的权重,得到权重集：3.加权统计法加权统计法的前两步（1），（2）同频数统计法。112,(1,2,,)(,,,)iiiiipjiiinixNNwwkaxwjnAaaa（3）设第组的组中值为，频数为频率为（），以每一组的频率作为组中值的权数，求加权平均值：得到权重集：层次分析是一种决策分析的方法。它结合了定性分析和定量分析，并把定性分析的结果量化。§2层次分析法(TheAnalyticHierarchyprocess,简称AHP)人们在日常生活和工作中，常常会遇到在多种方案中进行选择问题。例如假日旅游可以有多个旅游点供选择；毕业生要选择工作单位；工作单位选拔人才；政府机构要作出未来发展规划；厂长要选择未来产品发展方向；科研人员要选择科研课题……人们在选择时，最困难的就是在众多方案中都不是十全十美的,往往这方面很好，其它方面就不十分满意，这时，比较各方案哪一个更好些，就成为首要问题了。例1某家庭预备“五·一”出游，手上有三个旅游点的资料。u1点景色优美，但u1是一个旅游热点，住宿条件不十分好,费用也较高；u2点交通方便,住宿条件很好，价钱也不贵，只是旅游景点很一般；u3点旅游景点不错,住宿、花费都挺好，就是交通不方便。究竟选择哪一个更好呢？在这个问题中，首先有一个目标——旅游选择；其次是选择方案的标准——景点好坏、交通是否方便、费用高低、住宿条件等；第三个是可供选择的方案。一、建立递阶层次结构层次分析一般把问题分为三层，各层间关系用线连接。第一层称为目标层，第二层为准则层，第三层叫做方案层。如果有次级标准还可以增加次准则层等。例如，上面例子的递阶层次结构为：景点旅游住宿费用交通u1u2u3————目标层————准则层————方案层为了把这种定性分析的结果量化，20世纪70年代，美国数学家Saaty等人首先在层次分析中引入了九级比例标度和两两比较矩阵。二、构造两两比较判断矩阵两个元素相互比较时，以其中一个元素作为1(如ui)，如果相对上一层,ui与uj比较,好坏相同，则uj记为1；uj比ui较好,uj记为3;uj比ui好,uj记为5；uj比ui明显好，uj记为7;如果uj比ui好的多，则uj记为9;2,4,6,8则是介于1,3,5,7,9之间的情况。把与上层某元素有关系的所有下层元素逐一比较，且每一个元素与各元素比较的结果排成一行则可得到一个方阵A=(aij)n×n，称为两两比较矩阵。设ui与uj比为aij，则uj与ui比应为aji=1/aij,所以两两比较矩阵A也称为正互反矩阵。如例1建立层次分析模型：1A112121313112332,7,,2,;1;,(),/41721/711/41/241Aaa第三层相对第二层元素“景点”的两两比较矩阵中u比u明显的好记即=7；u比u强一些但不多记为=2u比u当然为了类似u比u差一些或u比u好一些记为1，于是得到矩阵：景点旅游住宿费用交通u1u2u3如果我们通过判断矩阵A1,可以准确的确定u1,u2,u3相对“景点”的权重,就可以通过对“景点”“住宿”“费用”“交通”等所有考虑到的因素权重,再通过这些因素相对目标的权重,最后确定出各方案对目标的权重。三、由判断矩阵计算元素对于上层支配元素的权重（或排序）用判断矩阵求权重的方法有很多种，下面介绍三种方法：1.和法2.最小夹角法3.特征向量法1.和法1211(1)2(,,,)1(1,2,,)nnijinjljlA=inna将矩阵的列向量归一化；（）计算归一化后的矩阵的各列的算术平均，得到权重(排序）向量：其中2.最小夹角法11112(1)()2(1,2,,)(,,,)ijn?nnijjinnijijnAB=bbw=inb将矩阵的列向量单位化，得到的矩阵设为；（）计算得到权重（排序）向量：3.特征向量法;maxA(1)计算判断矩阵的最大特征值(2)maxA求属于特征值的正特征向量（分量全大于0的特征向量，一定存在！）并将其归一化，所得向量即为权重（排序）向量。四、判断矩阵的一致性检验：.67(),,{1,2,,},ijikkjijAanijknaaaA定义设为阶判断矩阵，若对于任意的都有则称为一致性矩阵。但在实际问题中很难使A满足一致性。虽然AHP并不要求判断矩阵具有完全的一致性，但是偏离一致性要求过大的判断矩阵所作出的最终决策也会于实际情况偏差太大，因此有必要对判断矩阵进行一致性检验。1max:1CInCIn（）计算判断矩阵的一致性指标一致性检验的步骤：;RI（2）根据矩阵的阶数由下表查找平均随机一致性指标n3456789RI0.580.901.121.241.321.411.45:0.1,;CRCICRRICRAAAA（3）计算一致性比例若认