第一章：微分几何

2020/2/151数学物理方法概论主讲教师：白璐联系电话：[phone]Email:[e-mail]之——（微分几何）2020/2/152课程特点：数学物理方法是物理学类、电子信息科学类和通信科学类的重要公共基础课和工具。主要特色在于数学和物理的紧密结合，将数学用于实际的物理和交叉科学的实际问题的分析中，通过物理过程建立数学模型，通过求解和分析模型，对具体物理过程的深入理解。提高分析解决实际问题的能力。2020/2/153课程内容：第一章：微分几何（4）第二章：线性空间（4）第三章：渐近方法（5）第四章：格林函数法（5）第五章：积分方程的解法（5）2020/2/154课程学习目标：1、掌握微分几何、线性空间的相关定义和本征函数集的应用；2、掌握数学物理方程常规解法的技巧，以及特殊函数的应用；3、掌握格林函数在数学物理方法求解中的应用，掌握积分方程的数值求解方法，学习数值渐近方法。4、学习和提高编程分析实际问题的能力。2020/2/155学习要求：按时到课，完成作业，及时复习。考核方法：30%平时+70%期末（闭卷）推荐用书：《数学物理方法》王一平主编，电子工业出版社《微分几何的理论和习题》利普舒茨著，上海科学技术出版社《微分几何》梅向明黄敬之编，高等教育出版社《物理学中的数学方法》拜伦著，1982年，科学出版社2020/2/156第一章微分几何微分几何的产生和发展是与数学分析密切相连的，在这方面做出突出贡献的有瑞士数学家欧拉，法国的蒙日，德国的高斯、克莱因等。在波的辐射、传播、散射、反射等应用领域常遇到对物体几何形状的分析，而微分几何所阐明的概念和方法，在这一方面成为有力的工具。经近300年的发展，已逐渐成为数学上独具特色，应用广泛的学科。2020/2/157第一章微分几何微分几何是采用微积分的方法研究几何图形的学科。本章重点讨论曲面理论的基本原理。微分几何中，由于运用数学分析的理论，就可以在无限小的范围内略去高阶无穷小，一些复杂的依赖关系可以变成线性的，不均匀的过程也可以变成均匀的，这些都是微分几何特有的研究方法。学习本章的重点是掌握微分几何基本概念理解空间曲面的定义、定理及重要几何量的计算方法。2020/2/15第一章微分几何微分几何涉及用微积分方法了解空间形状及其性质。微分几何解决问题的一般思路是：参数方程定义几何体求导从微积分导出能说明几何学某些性质的几何量给定某些微分量求解确定几何体几何量满足的条件（微分方程）微分方程的解集即几何体2020/2/159第一章微分几何1、三维空间中的曲线；2、三维空间中的曲面；3、曲面的第一、二基本形式；4、曲面的曲率；5、测地线；6、张量简述。2020/2/1510：推荐用书：《数学物理方法》王一平主编，电子工业出版社《微分几何的理论和习题》利普舒茨著，上海科学技术出版社《微分几何讲义》陈省身陈维恒著，北京大学出版社《微分几何》梅向明黄敬之编，高等教育出版社第一章微分几何2020/2/1511§1.1三维空间中的曲线在E3中Descartes直角坐标系O-xyz下运动质点的位置为其中为单位正交基向量．空间曲线定义：区间(a,b)上点t在映射：t(x(t),y(t),z(t))下像的集合曲线C的表示：§1.1.1曲线的表示式中t称为C的参数C可用向量形式的参数方程表示为或写为分量形式的参数方程xx(t)yy(t)zz(t),t(a,b)．一、曲线的表示()()()()rtxtiytjztk=++,,ijk()()()()[(),(),()]rtxtiytjztkxtytzt=++=2020/2/1512§1.1三维空间中的曲线假定所研究的曲线至少是t的一阶连续可微函数。§1.1.1曲线的表示二、正则定义：如果给定参数曲线C:,t(a,b)．•若，则称tt0的对应点为C的一个正则点．•若，则称tt0的对应点为C的一个奇点；若曲线上所有点正则，则称C为正则曲线，并称参数t为正则参数．几何意义：•视参数曲线为动点轨迹，正则点的几何意义则是当参数在该点处作微小变动时动点的位置同时作真正的变动．()rrt=()rt0()0rt¢¹0()rt0()rt0()0rt¢=2020/2/1513§1.1三维空间中的曲线§1.1.1曲线的表示例1若参数曲线C:,tR，则其几何图形仅仅表示一点，而不是正常的曲线，此时所有的参数值对应于图形实体的同一点．这是非正则曲线的极端例子．例2半径为a，螺距为2πv的圆柱螺线，如视为动点的轨迹，表示为(t)(acos(wt),asin(wt),vt),tR，其中三个常数a0,w0和v0分别为动点运动的圆周半径、角速率和向上速率．此时(t)(awsin(wt),awcos(wt),v)0，说明该参数化使之成为正则曲线。或者称该曲线是（－,）上的正则曲线。()rrt常矢==rr2020/2/1514§1.1三维空间中的曲线§1.1.1曲线的表示例3半立方抛物线光滑曲线(t)(t3,t2,0),tR，则(t)(3t2,2t,0)，故此时其奇点有且仅有一个：r(0)．该曲线是（－,0）和（0,）上的正则曲线。同一条曲线可有不同的参数表示。如果曲线C为(t)，用t＝t(t1)引入新参量t1，则(t)(t(t1))＝1(t1)，为保障t,t1一一对应且为使t,t1增加的方向均相应于曲线正向，要求三、同一曲线的不同参数表示10dtdt曲线C上一点如取参数t时为正则点，则在取t1表示时也为正则点rrrrrr2020/2/1515§1.1三维空间中的曲线§1.1.1曲线的表示可以选取弧长作为曲线的参数并能够方便地确定曲线的切线．是曲线切矢量的长度。注意：•弧长是代数量；•弧长只依赖于曲线上所选取的始末点，而与参数的选择无关；•对正则曲线可选取弧长s作为表示曲线的新参数，这时切矢量为一单位矢量。四、正则曲线的意义设曲线C:(t),t(a,b)正则，则曲线从参数t0到t处的弧长为0ttdsdtdtr=ò()()()222()()()dxtdytdztdtdtdtddtr=++其中rr2020/2/1516§1.1三维空间中的曲线§1.1.1曲线的表示选取弧长作为参数的曲线称为单位速率曲线。单位速率曲线的意义类比：0ttdsdtdt=òr空间曲线——质点在空间的运动轨迹参数t——时间——质点的运动速度——质点经历的路程drdt选取弧长作为曲线的参数的好处是曲线上每一点的切向量都是单位向量。2020/2/1517§1.1三维空间中的曲线§1.1.1曲线的表示t为正则参数，且有ds|r(t)|dta2w2+v2dts(t)s(t0)tt0|r(u)|dutt0a2w2+v2dua2w2+v2(tt0)．点(a,0,0)对应于参数t＝0，故从点(a,0,0)计起的弧长参数s(t)s(0)=tsqrt(a2w2+v2)故一个螺纹对应于参数t取值区间为[t0，t0+|2π/ω|]的长度为s(2π/ω)s(0)=|2π/ω|sqrt(a2w2+v2)222()0rtavw+例4圆柱螺线参数化为(t)(acos(wt),asin(wt),vt),tR，其中三个常数a0,w0和v0．试求其从点(a,0,0)计起的弧长参数，并确定其一个螺纹的长度．r解：因2020/2/1518§1.1三维空间中的曲线§1.1.2空间曲线的重要几何量一、曲线的曲率r(t0)r(t0)[r(t0+t)r(t0)]r(t0+t)O考虑单位切向及其方向相对于弧长的变化率．定义：曲率ˆ()tsˆ()tss+DO()sr()ss+Dr曲率和曲率矢量的定义不依赖于正则参数的选取．ˆ()()()ksssⅱ?==tr曲率的意义——表征了曲线的切向量相对于弧长的转动速度。其值的大小代表了曲线的弯曲程度。2020/2/1519§1.1三维空间中的曲线§1.1.2空间曲线的重要几何量定义曲率半径；曲率矢量．其中，是与正交的单位矢。且指向曲线的凹向。曲率——ˆ()()()ksssⅱ?==tr曲率半径——()1/()sksr=曲率矢量——ˆˆ()()()()sskssⅱ?==trnˆ()snˆ()stˆ()tsˆ()tss+DO()sr()ssr+Dˆ()stˆ()sst+Dˆˆˆ//()//()ssttn¢Dq2020/2/1520§1.1三维空间中的曲线§1.1.2空间曲线的重要几何量一、曲线的曲率b(t)法平面Cr(t)n(t)密切平面t(t)从切平面O密切平面示意图密切面方程——如果密切面上的点用定义密切平面——曲线(s)在s点的所构成的平面ˆˆ,tn表示，则111(,,)xyz=ρ位于密切面内，即-ρr111ˆˆ(,,)0,,0xxyyzzxyzxyz-=---ⅱ?=ⅱⅱⅱρrtn命ˆˆˆ()()()sss=?btn为曲线在s处的从法向单位矢，它是密切面的法线。r2020/2/1521§1.1三维空间中的曲线§1.1.2空间曲线的重要几何量从切面曲线(s)在s点的ˆˆ,tn描述曲线密切面方向变化引入挠率ˆˆ()()()ssst¢=-bnb(s)法平面Cr(s)n(s)密切平面t(s)从切平面O密切平面示意图密切面ˆˆ,tb所构成的平面ˆˆ,nb法平面二、曲线的挠率由上式所确定的函数称为曲线在s点的挠率()st挠率的绝对值表示了曲线的密切面（或从法矢量）随s的旋转速率r2020/2/1522§1.1三维空间中的曲线§1.1.2空间曲线的重要几何量1）当曲线以弧长为参数表示时，即()[(),(),()]sxsyszsrr==三、曲线的曲率挠率的计算公式曲率挠率()()()222222222()()dydxdzdsdsdskssrⅱ==++()2(),,/()ssrrrrtⅱⅱⅱⅱ=2）当曲线以一般参数t表示曲率322()dddktdtdtdtrrr=?挠率2232232(),,dddddtdtdtdtdtdtt骣÷ç÷=?ç÷ç÷ç桫rrrrr2020/2/1523§1.1三维空间中的曲线§1.1.2空间曲线的重要几何量例5对曲率非零的曲线C而言，C为平面曲线的充要条件是其挠率函数恒等于零．证明：只要证明“从法向量恒等于常向量”等价于“挠率函数恒等于零”，而这由(s)，即可得证．如果曲线的挠率恒为零，则(s)常矢量。于是ˆˆ0()()ss¢轾¢=??犏臌brbr由此得ˆ()sconst?br设s0是曲线上任一点，则由上式得()0ˆ()()0ss-?rrb可见(s)位于通过s0，法线为的平面上，即其是一平面曲线。还可类似证明曲率恒为零的曲线为直线。ˆbˆbˆbrˆn2020/2/1524§1.1三维空间中的曲线§1.1.2空间曲线的重要几何量物理意义：•挠率是刻划曲线弯曲状况的又一个重要的几何量，因而又可称之为曲线的第二曲率；•由于挠率体现了密切平面的扭转状况，通常说它表示了曲线的扭曲程度．当挠率非零时，称其倒数为挠率半径2020/2/1525§1.1三维空间中的曲线§1.1.2空间曲线的重要几何量曲率、挠率的意义：沿曲线的变化告诉我们曲线自身在空间中是如何旋转弯曲的ˆnˆˆˆ,,tnbˆˆˆ,,tnb的变化又由微分决定。ˆˆˆ,,ⅱ?tnb由的定义ˆˆk¢=tn所以曲率描述了方向的变化。ˆt因为是三维空间R3中三个相互垂直的单位向量。故R3中ˆˆˆ,,tnb任一向量都是它们的线性组合，如果，如能确定ˆˆˆˆabc¢=++btnba,b,c则也就确定了ˆ¢b2020/2/1526§1.1三维空间中的曲线§1.1.2空间曲线的重要几何量ˆˆˆˆˆˆˆˆabca¢=++=tbtttntb同理的表达式中仅剩一个非零系数，既然不能用已知量刻画它，就把它定义为挠率。因为ˆˆ0=tb所以ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ()()()ⅱⅱ=++btbtnbnbbb由ˆ¢bˆˆˆˆˆˆˆˆabcb¢=++=nbntnnnbˆˆˆˆˆˆˆˆabcc¢=++=b