第三章：渐进方法

数学物理方法概论之——（渐进方法）主讲教师：白璐联系电话：[phone]Email:[e-mail]第三章渐近方法本章渐进方法着重介绍数学物理中的近似方法，内容包括积分的渐近展开分析与常微分方程的渐进解法两大部分。通过本章的学习目的是为提高数学分析的能力和将理论应用于解决实际问题的本领。该方法在力学、大气科学、物理海洋、光学、声学等研究领域具有广泛的应用。渐近计算是数学计算的近似方法之一，它是解析方法在一定条件下的发展，其与数值方法相结合可以提高计算的精确程度及计算速度，特别在非线性问题的处理中渐近方法具有重要的地位。1、量级符号；2、渐近展开；3、渐近展开式的运算；4、积分的渐近展开式；5、最陡下降法；6、驻定相位法；7、常微分方程的渐近解；第三章渐近方法由于某些特殊函数具有积分表示式，如果这些函数是微分方程的解，就可以得到一种以它们的拉普拉斯变换或傅立叶变换的积分表达式表达的解。因此求解积分的渐近展开式的问题在解析函数理论中就起特别重要的作用，它可以使我们得到积分解另一种表达，称此为渐近方法。Oo同量级量级最多为量级小于比较函数趋于某个极限时的性质常定义：0()/()1()()xxfxgxfxgx若时，，则称0,tanxxx例：§3渐近方法§3.1量级符号1)同量级0()/()()()()(())xxfxgxfxgxfxOgx若时，保持有界，则称的量级最多为，记为,()(),0,cos(1/)()nnnPxOxxxxOx例：0()()()limA()xxfxfxgxgxA或称函数f(x)至多与g(x)同阶。§3渐近方法§3.1量级符号2)量级最多为也可以说若存在某个常数A，使对定义域D某个内点x0的邻域V内的所有x，满足0()/()0()(())xxfxgxfxogx若时，，则记320,tan()(),,0,()nxxxoxxnxoe对例：的意义是说f(x)有界，而的意义是说f(x)趋于零。()(1)fxO()(1)fxo§3渐近方法§3.1量级符号3)量级小于也可以说若存在任一，定义域D内点x0总有一的邻域存在，使得所有，满足0VxV0x()()()lim0()xfxfxgxgx或称函数f(x)是函数g(x)的高阶小量。§3.2渐近展开下面给出渐近展开的定义和它的一些性质，讨论在扩充的复平面上进行。一、渐近序列设，是定义在区间D上的连续函数序列，是D中的一固定点，若对每一个固定的n，有01(),(),,()nwzwzwz0z10()(())()nnwzowzzz则称为点的渐进序列。渐近序列可以是有限项也可以是无限项的。例如：()nwz0z是对零点的渐近序列。21,,,zz§3渐近方法2111,,,zz是对于无穷的渐近序列。二、渐近展式设是一个给定的函数，而是点的一个渐近序列，如果对每个固定的整数n，有那么称此为在点的渐近展式。记为注意：渐近展式与函数的级数展式不同：对确定的z值，渐近展式的项数无限增多时，所得级数一般是发散的，但若满足渐近展式的定义式，则当时，取确定的项数n会得到对函数非常好的近似。()fx()nwz0z00110()()()()[())]nnnfzawzawzawzowzzz()fx0z0()()nnnfzawzzz0zz§3.2渐近展开§3渐近方法例1：求当时的积分值。x0()tedtfxxt即求时的渐近展式。x()fx解：2012234101()1123-(-1)(1)(1)!ttnnnnedtfxxtnedtnxxxxxxt利用分部积分法，多次分部积分x！！！＝余项：22100120(1)!()(1)!1(1)!(1)!txynnnnxynnedtnedyRxnxxtynnedyxxt=xy§3.2渐近展开§3渐近方法因此，取展开式的前n项，略去余项，当时，其误差量级小于所取的最后一项，符合渐近展式的定义，可记为x§3.2渐近展开§3渐近方法100()(-1)xtnnnedtnfxxtx！注意：这个级数对于有限的x值均不收敛。但是，取确定的项数，会得到对函数很好的近似。如果仅用一项，给出的相对误差为1/x,结果粗略一些，但已经足够用了。三、展开式系数：当时，的渐近展式的系数为110()()()limNnnnNfzawznwzzza0zz()fz()nnnawz证明略§3.2渐近展开§3渐近方法四、展开式的构成设在区域D中有定义，若有定义且不为零，则是时，的一个直到N项的渐近展开式。12(),(),(),,()Nfzwzwzwz011()()lim()knnnkzzkfzawzawz1()Nnnnawz0zz()fz证明：首先证明是一个渐近序列。由的定义得()nwzka1()()()()knnkknfzawzgzow§3.2渐近展开§3渐近方法111111()()()()()()knnkkkkkknfzawzawzhzawzow所以：1111()(/)()kkkkkkkwzahwwgow又因为：011lim/0,0,kkkzzhwa且故存在一个的邻域使z在其中时：0z11/0kkkahw所以。由此，各个都由这种方式定义得1()()()knnknfzawzow1()kkwowka1,2,,kN§3.2渐近展开§3渐近方法五、唯一性设是在D中，的一个已知渐近序列，若是当时，直到N项的一个渐近展式，则此展式是唯一的。1()Nnnnawz0zz()fz()nwz0zz注意：这个定理只表示用同一个已知渐近序列表示的展开式的唯一性。但是可能有多个不同的渐近序列对应同一个函数的渐近展式，它们可以不同，而且可以是收敛的也可是发散的。反过来，一个已知的渐近展式可以表示不止一种函数。的一个渐近幂级数展式，记为六、幂函数的展式000()()[()]Nnnnnfzazzozz则：00()()Nnnnfzazz00()Nnnnazz是D中，时，()fz0()(),0,1,2,,nnwzzzn当对个0在D中，若z→z,每一N有：§3.2渐近展开§3渐近方法0zz0zz其中一种重要的特殊情形是在D中，当时，如果0z0()()Nnnnnafzozz则在D中，当时z0()~Nnnnafzz§3.3渐近展式的运算若在D中，当时，直到N项有则：0zz00()()Nnnnfzazz00()()Nnnngzbzz和1.加法：00()()()()Nnnnnfzgzabzz2.乘法：000()()(),NNnnnknknkfzgzczzcab§3渐近方法本节讨论渐近展开式的普通运算，由于实际应用中，展式多用幂函数，以下均以幂函数作为渐近序列。3.除法：01001()/(),0NNNNaazazfzgzbbbzbz即除法为两个函数渐近展开式分别保留到N项相除。推论：0100100200()(),0()aababfzzzbgzbb§3.3渐近展式的运算§3渐近方法4.积分:当时，若则：01101()()Nznnznafdzzn其中积分沿从到的一条直线路径。0zz0zz100()()Nnnnfzazz推论:当时，若则：0zz00()()nnnfzazz0101()()znnznafdzzn§3.3渐近展式的运算§3渐近方法5.求导:当时，若，且当时，在D中存在并有0zz00()()Nnnnfzazz0zz()fz100()()Nnnnfzbzz则在D中渐近展开式满足可逐项积分的条件时，有0112231,2,3,,NNbabababNa推论1：在D中，当有00()()nnnfzazz且在D中00()()nnnfzbzz011223,2,3,bababa§3.3渐近展式的运算§3渐近方法0zz()fz存在并有若在D中，渐近幂级数满足逐项积分的条件，则推论2：对，当时有且存在于相同的区域，当时，有则z0()nnnfzaz()fz(1)1()nnnfznbzargzz,1,2,nnabn对于解析函数，若在区域当时有则在中，当有()fz||{|,arg}zrDzzzz0()nnnfzaz||11{|,arg}zrDzz(1)1()nnnfznaz§3.3渐近展式的运算§3渐近方法根据渐近展式的定义和相关运算法则，就可以讨论在解析函数理论中常用的积分的渐近展式。获得积分渐近展式的方法有两种(1)把被积函数的一部分展开为级数，然后形式上逐项积分；(2)重复地进行分布积分。一、逐项积分法：瓦特森引理：设100()(1)()(),0,1;(2)()||3,,|()|;(4)()arg|,2(1)()(0)/!abctztnnabnnnFtfttabfxxtMCFtMefxxzanabFtedtzafn对有麦克劳林展式；（）时存在常数和对所有的值为连续函数，则在|当z时，有其中§3.4积分的渐近展式§3渐近方法式对Re(z)0成立，因为在此定义域两边都解析且在实轴上它们一致。可应用瓦特森引理得到其积分的渐近展开式。做变量代换，令解：令则例：求当，的Γ函数的渐近展式。z10()tzzetdt0,zxtsxarg,022z1()ssse1lnuss1usese§3渐近方法则对给定的值上述变换给出两个解s(u)和σ(u)，其中§3.4积分的渐近展式11000011()()()tsxtxtxsxxxxsxxetdtetdtesxxdsxesedsxx10()()zzszzzeseds即且ue两个解分别位于最大值s=1的两边其中于是0u1,1s0()1su§3渐近方法§3.4积分的渐近展式1111001000()()()szszzuzuzuzsedssedseddsdddsedueduedududududu11ddssdudus可以证明且因当时，故在有界0u1()uddsdudu§3渐近方法§3.4积分的渐近展式则可得与的关系：剩下要证明的是其中对小的有一个abddsfuududufvv麦克劳林展开式。再做代换，令22,1us21ln12。它在处是解析的。因为当01时，有22221ln12234即12222134与的邻域有两个分支。根据复变函数理论：若fz解析，且00fz则在fz00fz的邻域存在解析的反函数zg现在ln1在0邻域解析，且dd在0点不等于零，故在§3渐近方法§3.4积分的渐近展式另一支是注意到则对足够小的有故0令00,0的邻域存在解析的反函数2323bb式中kb是处的留数，容易算出等。k234111,,336270bbb21121,1s22uu