第四章：格林函数

数学物理方法概论之——（格林函数）主讲教师：白璐联系电话：[phone]Email:[e-mail]第四章格林函数格林函数在电磁场理论中有广泛的应用，本节将在线性空间的框架下，建立格林函数的定义和应用分析。事实上，希尔伯特空间中的S-L系统（微分算子方程）与积分算子之间有着密切的联系，从这个联系中我们可以引入格林函数的定义，同时，利用这些格林函数，也就将微分方程的表述转化为积分方程，进而得到问题的求解。1、点源函数法回顾；2、格林函数的引入；3、格林函数与函数；4、一维格林函数；5、三维格林函数；6、格林函数在电磁学中的应用；7、并矢格林函数第四章格林函数§4.1点源函数法回顾§4格林函数经典的格林函数方法在力学、电磁场理论中有广泛的应用。从点源的概念出发（如质点、点电荷、点热源等），根据叠加原理，通过点源场的有限积分来得到任意源的场。这种求解数学物理方程的方法即经典的格林函数法，又称为点源函数法或影响函数法。§4格林函数4.1.1格林函数法的回顾首先，找到一个点源在一定边界条件和初值条件下所产生的场或影响，即点源的影响函数（格林函数）；然后，由于任意分布的源总可以看作是许许多多这样的点源的叠加，利用场的叠加原理，对格林函数在整个源域上积分，即可得到任意源的场，这就是格林函数法的主要思想。回顾内容包括：1、点源函数的性质；2、格林函数的一般求法（电像法）等；3、格林函数求解边值问题的途径。§4.1点源函数法回顾§4格林函数例如：空间中，静电荷产生的电势问题，MOXYZ,Mr0r0rr电荷源电荷密度M空间M处的电势满足泊松方程：2u实际上：由静电学可知，位于点的单位正电荷在r处的电势为0r0011(,)4||Grrrr§4.1点源函数法回顾§4格林函数0000()()(,)()4||VVrurdVGrrrdVrr表明：上方程的求解，可以通过以下思想获得：1）找到一个点源在一定边界或初值条件下的场—即格林函数（或称点源函数，影响函数）2）根据线性迭加原理，将各点源的场迭加起来，得到一般源的场—即通过有限积分表示原问题的解。——格林函数法（点源法）根据迭加原理，任意电荷分布的电势为：§4.1点源函数法回顾§4格林函数从以上例题的分析可见，格林函数法的主要特点是：1）直接求得问题的特解，（它不受方程类型和边界条件的局限），2）通常结果用一个含有格林函数的有限积分表示，物理意义清晰，便于以统一的形式研究各类定解问题；3）且对于线性问题，格林函数一旦求出，就可以算出任意源的场，这样将一个复杂的求解问题，就转换为关键是求解点源的相对简单的问题。§4.1点源函数法回顾§4格林函数4.1.2函数§4.1点源函数法回顾§4格林函数00()0xxx()1xdx2、定义——函数更普遍的定义为§4.1点源函数法回顾§4格林函数§4.1点源函数法回顾§4格林函数§4.1点源函数法回顾§4格林函数3、三维函数0000,(),MMMMMM0()1MMdv0000()(,,)MMxxyyzz其中为三维函数000000(,,)()()()xxyyzzxxyyzz且具有性质：这表明，高维函数等于一维情况的乘积，由此，高维函数也具有一维函数的所有的性质。§4.1点源函数法回顾§4格林函数100000()4[()],()0|()|6()0;()()0xx8)()17()();()(),()1()()||9xx1kiiiixxxxxxxxaxxxxxxdxxaaxxHxxHaxxxad5、函数是偶函数，函数是奇函数、、函数的、其中是的单付氏变根、（换为、，拉氏变换也为1。§4.1点源函数法回顾§4格林函数其中，为不同时为零的常数。为了得到定解问题(1)(2)§4.1点源函数法回顾4.1.3泊松方程的边值问题,的解的积分表达式，首先引入格林公式一、泊松方程的基本形式(,,)(,,)()uxyzvxyzuvduvduvduvd设函数和在区域直到边界上具有连续一阶导数，而在中具有连续的二阶导数，则由高斯格林公式有：第一公式§4格林函数§4.1点源函数法回顾二、格林公式此式称为化为体积分()()()()vudvudvuduvvuduvvudvuuvduvvudnn两式相减，有格同林理有：即：第二公式§4格林函数§4.1点源函数法回顾此式称为§4格林函数§4.1点源函数法回顾§4格林函数§4.1点源函数法回顾三、积分公式——格林函数法目标：求解§4格林函数§4.1点源函数法回顾由于其中为M与M0之间的距离(3)222000()()()rxxyyzz§4格林函数§4.1点源函数法回顾000000001(,)()(3),,)(,(,)()()(,)()()(,)()()()[))1((GMMuMMxyzGMGMMuMuMGMMMMMuMMMGMMhMuGGudGuuGdnnuM（）得：对（积分，注意以为奇点（在挖去的小球体体积元）同时利用第二格林函数，有00)(,)()]MMGMMhMd若能由此式化简整理得到u(M),则一定是方程（1）的解这里G就相当于格林第二公式中的v§4格林函数§4.1点源函数法回顾§4格林函数§4.1点源函数法回顾00()()(,)()uGGuduMGMMhMdnn于是有：§4格林函数§4.1点源函数法回顾负号来自内小球面的法向与矢径方向相反§4格林函数§4.1点源函数法回顾注意到格林函数的对称性：00(,)(,)GMMGMM上式的物理意义很难解释清楚，右边第一项，G(M,M0)代表M0点的点源在M点产生的场，而h(M)代表的却是M点的源。将上式中的G(M0,M)用G(M,M0)代替且，将M和M0在公式中互换，可得§4格林函数§4.1点源函数法回顾（4）0000,dMMn0其中，d分别表示在区域中体分布源和面分布源内对取体积元和面积元。表示对求导。0000000000()(,)()(,)()(,)uMGMMhMduGMMduMGMMdnn§4格林函数§4.1点源函数法回顾0000000000()(,)()(,)()(,)uMGMMhMduGMMduMGMMdnn物理意义：（1）右边第一项积分代表在积分区域中体分布源h(M0)在M点产生的场的总和；（2）右边第二、三积分项则是边界上的源所产生的场。这两种影响都是由同一格林函数给出的。上式给出了泊松方程解的积分表达，但由于G(M,M0)未知且不同边值条件也需做进一步的分析。§4格林函数§4.1点源函数法回顾2、泊松方程边值问题的积分公式(A)第一类边界条件01()()ugMfM基本公式变为0000000()(,)()()(,)uMGMMhMdfMGMMdn由边界条件变为只要G(M,M0)，满足定解问题，则上式u(M)就都为已知量表示000(,)(),(,)0GMMMMMGMMG(M,M0)所构成的定解问题即下式称为泊松方程的狄氏问题(),()uhMMufM满足狄氏问题的格林函数，简称为狄氏格林函数。§4格林函数§4.1点源函数法回顾0000000()(,)()()(,)uMGMMhMdfMGMMdn——狄氏积分公式0基本积分公式变为§4格林函数§4.1点源函数法回顾0000001()(,)()(,)()uMGMMhMdGMMgMd(B)第二类边界条件1()ugMn由边界条件变为但此式不存在，因为在第二类00(,)()GMMMM齐次边界条件下无解。0Gn表示在边界上是绝热的，由于边界绝热，从点源出来的§4格林函数§4.1点源函数法回顾从物理上看，其意义十分明显。方程可看成稳定的热传导方程在M0点有一个点热源，而边界条件热量，会使体积内的温度不断升高，而不可能达到稳定状态。00(,)()GMMMM显然，为了解决这一矛盾，或者修改格林函数所满足的方程0Gn00(,)()GMMMM使之与边界条件相容，0Gn这就要引入所谓的广义格林函数方程；或者修改边界条件使之与格林函数所满足的方程相容，这里不再详细讨论。§4.1点源函数法回顾§4格林函数0,0代入基本积分公式，得0000001()(,)()(,)()uMGMMhMdGMMgMd(C)第三类边界条件00(,)(,)0GMMGMMn若要求G(M,M0)满足第三类的齐次边界，即则当G(M,M0)乘，以u(M)乘上式再相减，得0001(,)()(,)(,)()uGMMuMGMMGMMgMnn§4.1点源函数法回顾§4格林函数由上面的讨论可见，在各类非齐次边界条件下解泊松方程(),uhMM可以先在相应的同类齐次边界条件下解格林函数所满足的方程00(,)()GMMMM再通过基本积分公式得到u(M)。1)格林函数的定解问题，其方程形式比原泊松方程简单，且边界条件又是齐次的，因此求解相对容易。2)且不同泊松方程的非齐次项h(M)和边界条件中的不同g(M)，只要属于同类边值问题，函数G(M,M0)都相同。这就将泊松方程的边值问题化为几种类型边界条件下求解格林函数的问题。§4.1点源函数法回顾§4格林函数4.1.4格林函数的一般求法一、无界空间的格林函数基本解00()Grr10GGG10G从前讨论可知，确定了G，就能利用积分表达式求得泊松方程边值问题的解。但一般求解G，并非易事。只有某些特殊情况下，比较容易求出。无界区域的格林函数G0,又称为相应方程的基本解。将一般边值问题的格林函数G分为：对于三维泊松方程，基本解G0满足G1则满足相应的齐次方程(拉普拉斯方程)它描述的是点的点源在无界空间产生的稳定场。以静电场为例，它描述在点电量为的点电荷在无界空间中所产生电场在点的电势，即§4.1点源函数法回顾§4格林函数及相应的边界条件，例如在第一边值问题中，00()GGGG0r0G从而有拉普拉斯方程的边值问题的求解是熟知的，至于方程类似的对于二维泊松方程，可用平面极坐标求得其基本解G0满足00()Grr0014Grr0r0r0011ln2Grr在接地导体球内放置电荷时，导体球面上将产生感应电荷。因此，球内电势应为球内电荷直接产生的电势与感应电荷所产生的电势之和。可将G写为边界条件为§4.1点源函数法回顾§4格林函数此处G便是泊松方程第一边值问题的格林函数。从电磁学知0G球面00()Mr考虑物理问题，设有一接地导体球内的点放置一电量为的点电荷。则球内电势满足泊松方程0()Grr001GGG二、用电像法求格林函数其中G0是不考虑球面边界影响的电势，G1是感应电荷引起的G1则可以由及上式的边界条件用分离变量法得到。以及边界条件§4.1点源函数法回顾§4格林函数这样G0就是基本解，100GGGG球面球面球面由前面的讨论可知，G0满足从而G1满足00()Grr10G但这样得到的解往往是无穷级数。以下介绍另一种方法即电像法，用电像法可以