第五章：积分方程

数学物理方法概论之——（积分方程法）主讲教师：白璐联系电话：[phone]Email:[e-mail]第五章积分方程积分方程是研究数学其它学科和各种物理问题的一个重要数学工具。它在弹性介质理论和流体力学中应用很广，也常见于电磁场理论物理中。本节将介绍求解积分方程的理论和一般方法。2020/2/1531、基本概念；2、迭代法；3、算子的范数；4、巴拿赫空间中的迭代法；5、非线性方程的迭代法；6、可分核；7、普遍的有限秩；8、全连续算子；9、全连续厄米算子；10、全连续算子的弗雷德霍姆择一定理；11、积分方程的数值计算；第五章积分方程2020/2/154§5积分方程法§5.1基本概念一、积分方程的定义在方程中，若未知函数在积分号下出现，则称这种方程为积分方程。一般的线性积分方程，可写为如下的形式()()(,)()()baxfxkxyfydygx其中，和已知。()x()fx()gx是未知函数，(,)kxy积分方程的核，也是已知函数。被称为本征值的作用）是常数因子（经常起一若未知函数仅出现在积分号内，称为第一类方程。若未知函数既出现在积分号内，又出现在积分号外称为第二类方程。积分限为常数的，称为Fredholm弗雷德霍姆方程。积分限中有一个是变数的，称为volterra伏特拉方程2020/2/155§5积分方程法§5.1基本概念(,)kxy积分方程的核，是的连续函数。或平方可积，称核为非奇性核或fredholm核。此外，还有弱奇性核及Cauchy奇性核,xy（）二、积分方程的分类1）按照积分上下限2）按照未知函数是否在积分内()0x第一类()1x第二类3）按照积分的核进行分类2020/2/156§5.1基本概念三、积分方程的算子形式积分方程也可采用算符的形式来表示。即fgKf其中K为积分算子(,)()baKfkxyfydy若算子方程的逆存在，则问题在形式上就解决了。此时()IKfg1()fIKg§5积分方程法2020/2/157§5.2退化核的方程的解法如果积分方程的核具有如下的形式1(,)()()niiikxyxy则被称为是退化的，具有退化的核的积分方程，可用初等的方法来求解。以下通过具体的例子来说明如何求解退化核方程。例.求解积分方程1220()()()fxxyxyfydyx解：令120()Ayfydy10()Byfydy则式(1)可以变为(1)2()fxxAxBx§5积分方程法(2)(3)2020/2/158§5积分方程法显然，采用迭代的方法，将式(3)代入(2)，得111445111B334AABAB这个方程组的解是260240120A280240120B代入式(3)就可以得到积分方程的解为22(24060)80()240120xxfx注意有两个的值可使上式的解变为无穷大。当取某些特殊值时，齐次积分方程有非零解，这样的值称为积分方程的本征值，而相应的非零解称作本征函数。§5.2退化核的方程的解法2020/2/159定理1.如果§5积分方程法齐次方程有唯一解；若是本征值，则齐次方程从上例可以看到，如果核是退化的，则解一个积分方程的问题就简化为解一个大家非常熟悉的代数方程组的问题。如果退化核有N项，显然将有N个本征值，当然它们不一定都不同。既然退化核方程的解是与相应的线性代数方程组密切相关的，所以退化核方程的许多性质可由相应的代数方程组的有关性质导出。弗雷德霍姆将之简化为一系列理论，这些理论被人们称为弗雷德霍姆定理，在此我们不作证明。不是本征值，则对于任何的非齐次项,非()gx()(,)()()bafxkxyfydygx()(,)()0bafxkxyfydy至少有一个非平凡解即本征函数，且与一个本征值相对于的，线性独立的本征函数只有一个。§5.2退化核的方程的解法2020/2/1510定理3.如果是一个本征值，那么非齐次方程有解的充要条件是：与转置齐次方程的一切解正交，即定理2.如果不是一个本征值，那么也不是转置方程§5积分方程法至少有一个平凡解。的一个本征值；如果是一个本征值，则也是转置方程的一个本征值，即()(,)()()bafxkxyfydygx()()0baxgxdx其中满足式()gx()(,)()0bafxkxyfydy()x()(,)()0bafxkxyfydy§5.2退化核的方程的解法2020/2/1511§5积分方程法并对x积分，便可得定理3的正交关系。()(,)()()bafxkxyfydygx()x事实上，定理2是这样一个事实的模拟，即矩阵和它的转置具有同样的本征值。如果我们以乘以需要指出的是弗雷德霍姆定理仅严格地适用于非奇异的积分方程。奇异积分方程的理论是一个不同的问题。对于具有退化核的伏特拉方程，常常能通过求微分变为微分方程。我们仍以一个具体的例子来说明。§5.2退化核的方程的解法2020/2/1512§5积分方程法例2.求解积分方程0()()xuxxyuydyx解：令0()()xgxyuydy代入原式，有()()uxxxgx所以'()()[()]gxxuxxxxgx解此微分方程可得33()1xgxce于是得33()xuxcxe把它再代入原方程可求得1c，因此33()xuxxe§5.2退化核的方程的解法2020/2/1513§5积分方程法到于是得§5.3具有位移核的方程的求解如果核仅仅是()xy的一个函数，即所谓的位移核且积分范围是，则可以应用傅立叶变换来求解。考虑方程()()()()fxKxyfydyx对此方程进行傅氏变换，并记[()]()Ffxf[(,)](,)()ixFKxyKxyedxK[()]()Fx则由卷积定理有[()()]()()FKxyfydyKf()()()()fKf2020/2/1514§5积分方程法§5.3具有位移核的方程的求解因此()()1()fK如果我们能求上式的逆变换，就能得到方程的解。如果积分区间是从0到x，具有一位移核，且被积函数对于0x则可用拉氏变换来求解，因为在这种情况下也有相应的卷积积分定理。2020/2/1515§5积分方程法§5.4迭代解法求解积分方程()()(,)()bafxgxKxyfydy的另一个直接方法就是迭代法，我们首先取近似0()()fxgx将此式代入原方程右边的积分中，便得到一级近似1()()(,)()bafxgxKxygydy再将一级近似代入原式的右边，便得到二级近似22()()(,)()(,)(,)()bbbaaafxgxKxygydydydyKxyKyygy零级近似2020/2/1516§5积分方程法§5.4迭代解法重复迭代，得级数1()()(,)()bnnanfxgxKxygydy其中11(,)(,)(,)(,)(,)bnnaKxyKxyKxyKxyKyydy(1,2,)n被称为诺依曼级数或积分方程的诺依曼解。可以证明，如果核和在区间(,)Kxy()fx,axyb上连续，对于足够小的，该级数解将收敛。2020/2/1517§5积分方程法§5.4迭代解法其中例3.求解描述粒子运动的薛定谔方程2()()()()2rVrrErm()r表示粒子的波函数，第一项表示粒子的动能，V(r)表示作用势，E表示系统的总能量，它可表为222kEm解：方程又可写为222()()()()mrkrVrr此方程具有边界条件()(,)ikrirerefrkr2020/2/1518§5积分方程法§5.4迭代解法其中222()()()()mrkrVrr边界条件()(,)ikrirerefrkr,第一项表示入射粒子的平面波，第二项表示入射粒子与V(r)的作用而散射的粒子的球面波。222kmEh于是，由格林函数法知亥姆霍兹方程的格林函数为1(,)4ikeGrrrrrr这样，我们可以将散射问题转变为积分方程22()()()4ikimeedVrrkrrrrrrr2020/2/1519§5积分方程法§5.4迭代解法其中,第一项是用来调整解使之满足边界条件的补充修正函数。解可以写为诺依曼级数11(,)(,)(,)(,)(,)bnnaKxyKxyKxyKxyKyydy由第一代迭代，即取0()ikrre我们可得到一非常重要的结果，被称作玻恩(Born)近似2()()2ikiimeedVerrkrkrrrrrr记12()()2ikimeVedrrkrrrrrr2020/2/1520§5积分方程法§5.4迭代解法继续迭代得222()()()()2ikikimeeVVeddrrrrrrkrrrrrrrr于是解可表示为级数012()()()()rrrr这个级数解当()Vr较小时，便能很快收敛。2020/2/1521§5积分方程法§5.4迭代解法通过迭代解法将g(x)作为f(x)的零级近似，代入得方程的一级近似，继续下去，得到由第二类的弗雷德霍姆方程这个级数解是非收敛的条件可以利用算子的性质进行讨论()()(,)()bafxgxKxyfydy0()()fxgx10()()(,)()bafxgxkxyfydy21()()(,)()bafxgxkxyfydy1()()(,)()bnnafxgxkxyfydy2020/2/1522§5积分方程法§5.4迭代解法将迭代解法表示为更为抽象的算子形式注意到虽然K是积分算子，但I不是。当K在某种意义下“小”，则我们可以将其展开为因为已经要求当K作用在V中的任何元素上时产生V中的另一个元素，所以可把Kn简单定义为K的连续作用：fgKf若算子方程的逆存在，则问题在形式上就解决了。此时()IKfg1()fIKg12()IKIKK232,KKKKKK2020/2/1523§5积分方程法§5.4迭代解法对于K的这个限制并不是无关紧要的，因为一些看上去合理的算子，当它作用在V上时，所产生的客体不在V中。例如：考虑在[0,1]上定义的单变量的平方可积函数空间L2[0,1]，将算子d/dx作用在这个空间上，显然，是属于L2[0,1]空间的，但不属于L2[0,1]，因此d/dx不能把L2[0,1]空间中的每一个元素变换成同一空间中的另一个元素，所以对我们的要求来说，它不是可允许的算子。()fxx1()2dfxdxx2020/2/1524§5积分方程法§5.4迭代解法收敛时，它就是方程的解。上述级数式，数学家称为诺依曼级数，而物理学家称为波恩级数，因为正是马克思波恩首先在量子力学中运用了基本迭代的想法。假设12()IKIKK的右边“收敛”(收敛上的引号是因为还没对算子的收敛性仔细加以定义)因此它收敛所趋近的算子是(I-K)的逆算子，这是因为将(I-K)从任意一边去乘2IKK都给出I，因此我们猜测，当级数23fgKgKgKgfgKf2020/2/1525则可以证明：当，那么由§5积分方程法§5.4迭代解法假设:a)级数解1()Mba()0gx23fgKgKgKg,xy收敛的条件：b)在[a,b]内，有界，即,kxy,[,]max,xyabkxyMc)bagxdx存在，且等于一个有限的常数C.2fgKgKg表