2013广东高考数学理科试题及解析

2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设集合2|20,MxxxxR,2|20,NxxxxR,则MN()A.0B．0,2C．2,0D．2,0,22．定义域为R的四个函数3yx,2xy,21yx,2sinyx中,奇函数的个数是()A.4B．3C．2D．13．若复数z满足24izi,则在复平面内,z对应的点的坐标是()A.2,4B．2,4C．4,2D．4,24．已知离散型随机变量X的分布列为X123P35310110则X的数学期望EX()A.32B．2C．52D．35．某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是()A.4B．143C．163D．66．设,mn是两条不同的直线,,是两个不同的平面,下列命题中正确的是()A.若,m,n,则mnB．若//,m,n,则//mnC．若mn,m,n,则D．若m,//mn,//n,则7．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为3,0F,离心率等于32,在双曲线C的方程是()A.22145xyB．22145xyC．22125xyD．22125xy12211正视图俯视图侧视图第5题图8．设整数4n,集合1,2,3,,Xn.令集合,,|,,,,,SxyzxyzXxyzyzxzxy且三条件恰有一个成立，若,,xyz和,,zwx都在S中,则下列选项正确的是()A.,,yzwS,,,xywSB．,,yzwS,,,xywSC．,,yzwS,,,xywSD．,,yzwS,,,xywS二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分(一)必做题(9～13题)9．不等式220xx的解集为___________．10．若曲线lnykxx在点1,k处的切线平行于x轴,则k______.11．执行如图所示的程序框图,若输入n的值为4,则输出s的值为______.12.在等差数列na中,已知3810aa,则573aa_____.13.给定区域D:4440xyxyx,令点集000000{,|,,,TxyDxyZxy，是zxy在D上取得最大值或最小值的点},则T中的点共确定______条不同的直线.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C的参数方程为2cos2sinxtyt(t为参数),C在点1,1处的切线为l,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l的极坐标方程为_____________.15.(几何证明选讲选做题)如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上,延长BC到D使BCCD,过C作圆O的切线交AD于E.若6AB,2ED,则BC_________.是否输入1,1is输出s结束开始in第11题图n1sis1ii三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）已知函数()2cos12fxx,xR.(Ⅰ)求6f的值；(Ⅱ)若3cos5,3,22,求23f．17．（本小题满分12分）某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.(Ⅰ)根据茎叶图计算样本均值；(Ⅱ)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人，根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；(Ⅲ)从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.18．（本小题满分14分）如图1,在等腰直角三角形ABC中,90A,6BC,,DE分别是,ACAB上的点,2CDBE,O为BC的中点.将ADE沿DE折起,得到如图2所示的四棱锥ABCDE,其中3AO.(Ⅰ)证明:AO平面BCDE；(Ⅱ)求二面角ACDB的平面角的余弦值.179201530第17题图.AEDCBO第15题图19．（本小题满分14分）设数列na的前n项和为nS.已知11a,2121233nnSannn,*nN.(Ⅰ)求2a的值；(Ⅱ)求数列na的通项公式；(Ⅲ)证明:对一切正整数n,有1211174naaa.20．（本小题满分14分）已知抛物线C的顶点为原点,其焦点0,0Fcc到直线l:20xy的距离为322.设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线,PAPB,其中,AB为切点.(Ⅰ)求抛物线C的方程；(Ⅱ)当点00,Pxy为直线l上的定点时,求直线AB的方程；(Ⅲ)当点P在直线l上移动时,求AFBF的最小值.21．（本小题满分14分）设函数21xfxxekx(其中kR).(Ⅰ)当1k时,求函数fx的单调区间；(Ⅱ)当1,12k时,求函数fx在0,k上的最大值M..COBDEACDOBEA图1图2参考答案一、选择题1．D；易得2,0M,0,2N,所以MN2,0,2,故选D．2．C；考查基本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为3yx与2sinyx,故选C．3．C；2442izii对应的点的坐标是4,2,故选C．4．A；33115312351010102EX,故选A．5．B；由三视图可知,该四棱台的上下底面边长分别为1和2的正方形,高为2,故22221141122233V,,故选B．6．D；ABC是典型错误命题,选D．7．B；依题意3c,32e,所以2a,从而24a,2225bca,故选B．8．B；特殊值法,不妨令2,3,4xyz,1w,则,,3,4,1yzwS,,,2,3,1xywS,故选B．如果利用直接法:因为,,xyzS，,,zwxS，所以xyz…①，yzx…②，zxy…③三个式子中恰有一个成立；zwx…④，wxz…⑤，xzw…⑥三个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时wxyz，于是,,yzwS，,,xywS；第二种：①⑥成立，此时xyzw，于是,,yzwS，,,xywS；第三种：②④成立，此时yzwx，于是,,yzwS，,,xywS；第四种：③④成立，此时zwxy，于是,,yzwS，,,xywS.综合上述四种情况，可得,,yzwS，,,xywS.9．2,1；易得不等式220xx的解集为2,1.10．1；求导得1ykx,依题意10k,所以1k.11．7；第一次循环后:1,2si；第二次循环后:2,3si；第三次循环后:4,4si；第四次循环后:7,5si；故输出7.12．20；依题意12910ad,所以57111334641820aaadadad.或:57383220aaaa13．6；画出可行域如图所示,其中zxy取得最小值时的整点为0,1,取得最大值时的整点为0,4,1,3,2,2,3,1及4,0共5个整点.故可确定516条不同的直线.14．sin24；曲线C的普通方程为222xy,其在点1,1处的切线l的方程为2xy,对应的极坐标方程为cossin2,即sin24.15．23；依题意易知ABCCDE,所以ABBCCDDE,又BCCD,所以212BCABDE,从而23BC.16．(Ⅰ)2cos2cos2cos1661244f；(Ⅱ)22cos22cos2cos2sin233124f因为3cos5,3,22,所以4sin5,所以24sin22sincos25,227cos2cossin25所以23fcos2sin272417252525.17．(Ⅰ)样本均值为1719202125301322266；(Ⅱ)由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为2163,故推断该车间12名工人中有11243名优秀工人.(Ⅲ)设事件A:从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人,则PA1148212CCC1633.18．(Ⅰ)在图1中,易得3,32,22OCACADxy441OCDOxEA向量法图yzB连结,ODOE,在OCD中,由余弦定理可得222cos455ODOCCDOCCD由翻折不变性可知22AD,所以222AOODAD,所以AOOD,理可证AOOE,又ODOEO,所以AO平面BCDE.(Ⅱ)传统法:过O作OHCD交CD的延长线于H,连结AH,因为AO平面BCDE,所以AHCD,所以AHO为二面角ACDB的平面角.结合图1可知,H为AC中点,故322OH,从而22302AHOHOA所以15cos5OHAHOAH,所以二面角ACDB的平面角的余弦值为155.向量法:以O点为原点,建立空间直角坐标系Oxyz如图所示,则0,0,3A,0,3,0C,1,2,0D所以0,3,3CA,1,2,3DA设,,nxyz为平面ACD的法向量,则00nCAnDA,即330230yzxyz,解得3yxzx,令1x,得1,1,3n由(Ⅰ)知,0,0,3OA为平面CDB的一个法向量,所以315cos,535nOAnOAnOA,即二面角ACDB的平面角的余弦值为155.19．(Ⅰ)依题意,12122133Sa,又111Sa,所以24a；(Ⅱ)当2n时,32112233nnSnannn,321122111133nnSnannn两式相减得2112213312133nnnananannnCDOBEAH整理得111nnnanann,即111nnaann,又21121aa故数列nan是首项为111a,公差为1的等差数列,所以111nannn,所以2nan.(Ⅲ)当1n时,11714a；当2n时,12111571444aa；当3n时,21111111nannnnn此时222121111111111111111434423341naaannn11171714244nn综上,对一切正整数n,有1211174naaa.20．(Ⅰ)依题意,设抛物线C的方程为24xcy,由023222c结合0c,解得1c.所以抛物线C的方程为24xy.(Ⅱ)抛物线C的方程为24xy,即214yx,求导得12yx设11,Axy,22,Bxy(其中221212,44xxyy),则切线,PAPB