数学物理方程与特殊函数第四章

数学物理方程与特殊函数第4章格林函数法第四章拉普拉斯方程的格林函数法一拉普拉斯方程边值问题的提法1第一边值问题（狄氏问题）2第二边值问题（牛曼问题）ufufn3内问题与外问题4调和函数：具有二阶偏导数并且满足拉普拉斯方程的连续函数。数学物理方程与特殊函数第4章格林函数法二格林公式及其结论2()dddVSVvuvVuSuvVn22()d()dVSvuuvvuVuvSnn格林公式的结论：1调和函数的积分表达式拉普拉斯方程的基本解222000220011()()()11lnln()()rxxyyzzkrxxyy三维二维数学物理方程与特殊函数第4章格林函数法2牛曼内问题有解的必要条件3平均值公式4拉普拉斯方程解的唯一性问题调和函数在区域内任一点的值可以通过积分表达式用这个函数在区域边界上的值和边界上的法向导数来表示。0111()(())d4SuuMuSnrrnufn22()d()dVSvuuvvuVuvSnnd0SuSn取1vd0SfS021()d4akuMuSa狄氏问题的解唯一确定，牛曼问题的解除了相差一常数外也是唯一确定的。数学物理方程与特殊函数第4章格林函数法三格林函数r)(2Mu1()4uMr02)(rrMu01()4MMuMr0原点处点电荷电量，r0点电荷密度M),,(zyx处点电位00M),,(000zyx0r即处点电荷电量00rr点电荷密度M),,(zyx处点电位1M101rrF112)(rrFMu11()4MMFuMr2M202rrF222)(rrFMu22()4MMFuMr11222)(rrrrFFMu121244MMMMFFrr0()F2()()uMF001()()d4MMuMFVr20u数学物理方程与特殊函数第4章格林函数法),(0MMG纯点源产生的场（不计初始条件和边界条件的影响）0001()()d4MMuMFMVr001(,)4MMGMMr自由空间的格林函数线性系统()t()ht线性系统()ft()()ftht0000000011(,)()()d()d44MMMMGMMFMFMMFMMrrr1格林函数定义数学物理方程与特殊函数第4章格林函数法0|,)(02uMu内rr000()(,)()duMGMMFMV0|,)(2uMFMu内0(,)GMM)(|,)(2MfuMFMu内）（2()0,|()uMufM内000(,)()()dGMMuMfMSn对泊松问题对拉普拉斯问题000000(,)()(,)()d()dGMMuMGMMFMVfMSn数学物理方程与特殊函数第4章格林函数法2拉普拉斯方程的格林函22()d()dVSvuuvvuVuvSnn()d0SvuuvSnnu，v均为调和函数0111()(())d4SuuMuSnrrn0001111()(()()d44SMMMMvuuMuvSnnrrn0114MMvrv为调和函数，且满足0011()(()d4SMMuMuvSnr0()dSGuMuSn0011()4MMGMvr第二格公式调和函数的积分表达式数学物理方程与特殊函数第4章格林函数法2()0,|()uMufM内0114MMvrv为调和函数，且满足0011(,)4MMGMMvr0()dSGuMuSn00(,)()()dGMMuMfMSn02()0,11|4MMvMvr内格林函数仅依赖于区域，和边界条件无关。对于某些特殊区域，格林函数可以用初等方法求出。0011(,)4MMGMMvr数学物理方程与特殊函数第4章格林函数法3区域的格林函数和狄氏问题的解电象法求格林函数在区域外找出区域内一点关于边界的象点，在这两个点放置适当的电荷，这两个电荷产生的电位在曲面边界上相互抵消。这两个电荷在区域中形成的电位就是所要求的格林函数。101141),(0MMMMrrMMG半空间的格林函数zddqqpxo0MMr1MMrzddqqxo0MMr1MMr1M0MM数学物理方程与特殊函数第4章格林函数法yxyxfyxuzyxzuyuxu,),,()0,,(0,,,0222222101141),(0MMMMrrMMG2020202020204141zzyyxxzzyyxx00(,)()()dGMMuMfMSn00(,)|(,)dzGMMfxySz例1求解下列定解问题解：数学物理方程与特殊函数第4章格林函数法20202020202004141),(zzyyxxzzyyxxMMG00(,)()|(,)dzGMMuMfxySz0003/2222000003/2222000(,)|4|4zzzzGMMzxxyyzzzzxxyyzz03/222200012zxxyyz003/22220001()(,)dd2zuMfxyxyxxyyz数学物理方程与特殊函数第4章格林函数法yxyxfyxuzyxzuyuxu,),,()3,,(3,,,0222222),,(0000zyxM)6,,(0001zyxM104141),(0MMMMrrMMG00(,)()()dGMMuMfMSn20202020202064141zzyyxxzzyyxx03(,)|(,)dzGMMfxySz3z例2求解下列定解问题解：数学物理方程与特殊函数第4章格林函数法格林函数的性质：3、在区域内，下面的不等式成立。00,10(,)4MMGMMr2、在边界上格林函数恒等于零。0(,)GMM1、格林函数在除去M=M0一点外处处满足拉普拉斯方程。当M趋于M0时，趋于无穷大。0(,)GMM0(,)GMM4、在区域内，格林函数具有对称性。1221(,)(,)GMMGMM数学物理方程与特殊函数第4章格林函数法四分之一空间的格林函数3210111141),(0MMMMMMMMrrrrMMG数学物理方程与特殊函数第4章格林函数法球内的格林函数210RrrOMOM010PMPMOMrrrR0114OMPMRrr014PMr001011(,)44MMOMMMRGMMrrrR0M1MoP0M0点处点电荷电量，00OMrRM1点处点电荷电量R0M1MoM