数学物理方程与特殊函数课件ppt2

0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n1Email:[e-mail]数理方程与特殊函数任课教师：杨春数学科学学院0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n2(一)、物理规律与波动方程的建立第二章定解问题与偏微分方程理论本次课主要内容(二)、定解条件0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n3一、波动方程及其定解条件(一)、物理规律与波动方程第二章定解问题与偏微分方程理论1、什么叫物理规律？某物理量在空间和时间中的变化规律。它反映同一类物理现象的共同规律。若物理量仅随时间变化，其数学表达式为常微分方程；若与时空均有关，则为偏微分方程。0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n4数学物理方程是指从物理问题导出的函数方程，主要指偏微分方程与积分方程。我们将重点讨论物理上的三种典型的二阶线性方程的一些基本解法，以便借助于数学物理方程这一工具，更好地描述基本的物理现象，研究一些重要的物理规律。这些物理规律包括：弹性体的振动、热的传导和粒子扩散、电磁波的传播等。0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n5常用物理规律(一)1、牛顿第二定律2、虎克定律22dsdvFmmdtdtfkxxPYu0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n6对虎克定律的说明：xPYu公式中P称为协强或应力。它表示弹性物体单位截面所受作用力，P=F/S。公式中ux表示伸长率，称为协变。Y表示杨氏弹性模量，等于协强比协变。杨氏弹性模量由材料决定！0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n7常用物理规律(一)3、克希荷夫定律0kI(1).节点电流定律(2).回路电压定律kkkIR0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n82、波动方程如何建立偏微分方程？(1).明确物理过程与研究对象(待研究物理量);(2).进行微元分析；分析微元和相邻部分的相互作用，根据物理定律用算式表达这种作用。(3).化简、整理算式。0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n9例1、均匀细弦微小横振动问题一根均匀柔软的细弦线，一端固定在坐标原点，另一端沿x轴拉紧固定在x轴上的L处，受到扰动，开始沿x轴（平衡位置）上下作微小横振动（细弦线上各点运动方向垂直于x轴）。试建立细弦线上任意点位移函数u(x，t)所满足的规律。0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n10分析：(1).研究对象：u(x,t)(2).微元分析:在时刻t,取弦微元ds,其对应区间为：[x,x+dx];分析微元和相邻部分的相互作用，根据物理定律用算式表达这种作用。0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n11设细弦线各点线密度为ρ，细弦线质点之间相互作用力为张力T(x，t)水平合力为零=T2cos2－T1cos1=0T2≈T1≈T铅直合力:T(sin2－sin1)=T(tan2－tan1)uxT1T2OxdxρgdxdsT(tan2－tan1)=ρdxutt由牛二律得：0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n12utt=a2uxx其中2aT一维齐次波动方程:utt=a2uxx下面考虑强迫振动情形：T[ux(x+dx，t)－ux(x，t)]=ρdxuttTuxx(x+θdx，t)dx=ρdxutt考虑细绳在振动中受向上的恒外力密度F(x，t)的作用和细绳的重力作用。0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n13铅直合力为：f(x,t)=F(x,t)/ρ-g(,)(,)(,)xxTuxdxtuxtFxtdxgdx由牛二律得：(,)(,)(,)xxttTuxdxtuxtFxtdxgdxdxu整理后得：2(,)ttxxuaufxt其中：0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n14例2、细杆的纵向振动问题。设均匀细杆长为L，线密度为，杨氏模量为Y，杆的一端固定在坐标原点，细杆受到沿杆长方向的扰动（沿x轴方向的振动）。试建立杆上质点位移函数u(x，t)的纵向振动方程。u(x,t)u(x+dx,t)xx+dxLO0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n15由牛顿第二定律SY[ux(x+dx，t)－ux(x，t)]=Sdxutt令a2=Y/。化简，得utt=a2uxx0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n16例3长为l密度为ρ的均匀柔软细绳在x=0端固定，在重力作用下，垂直悬挂。横向拉它一下作微小横振动。写出振动方程。u(x,t)oxT(x)xx+dx12T(x+dx)0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n17取微元：[x,x+dx]竖直方向：21()cos()cos0(1)TxdxTxgdx水平方向：21()sin()sin(2)ttTxdxTxdxu对于(1)，α1与α2很小，于是得：()()0TxdxTxgdx0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n18即：在x=0处张力等于ρgl,于是得：()()Txgllx对于(2)，α1与α2很小，于是得：()(,)()(,)xxttTxdxuxdxtTxuxtdxu0()xdTgTxgdxgxCdx由有限增量公式得：[()]xxttTxuu0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n19例4、高频传输方程考虑双线传输线，把单位传输线所具有的导线电阻、线间电导、电容以及电感分别记作R,g,c和L.建立电压u(x,t)和电流强度i(x,t)所满足的微分方程。1、物理背景简介对于直流电或低频交流电，同一支路的电流相等。但对于高频交流电，电路中的自感和电容效应将使得电路中电流与电压不仅与时间有关，而且与空间位置有关。0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n20所以，对于高频传输线，我们要讨论传输线上电压与电流随时空的变化规律。分析(仍采用微元分析方法)：传输线上电阻、电感，线间电容、电导考虑为均匀分布，于是可画出微元等效电路图：也就是研究电压u(x,t)与电流i(x,t)所要满足的微分方程。i0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n21由克希荷夫定律得：(,)(,)(,)(,)ttuxtuxdxtRidxLdxiixtixdxtCdxugdxu由有限增量公式得：i0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n220.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n23(二)、具体物理过程描述——定解条件首先指出：具体物理系统所处物理状况除受一般物理规律支配外，还受系统所处的“环境”和系统的“历史状况”的影响。系统所处的“环境”状况：边界条件系统的“历史”状况：初值条件求解一个具体物理问题，都要考虑定解条件！0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n24II.第二类边界条件:),,,(tzyxnuSIII.第三类边界条件:),,,(][tzyxunuSI.第一类边界条件:),,,(tzyxuS1、三类边界条件0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n25L-εLF(t)例5细杆在x=0处固定，在x=L端受外力F(t)的作用，作微小纵振动。写出其边界条件。分析：环境影响通过的边界为：x=0与x=L.显然：u(0,t)=0.用微元法分析边界X=L的状况。()xxLFtuYS0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n26如何写出三类边界条件？(1)、明确环境影响通过的所有边界；(2)、分析边界所处的物理状况；(3)、利用物理规律写出表达边界状况的表达式。0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n27例6长为L的均匀杆两端受到拉力F的作用而振动，写出边界条件。分析：环境影响通过的边界是x=0与x=L杆的两端所受的拉力F等于两端面所受的杨氏弹性力。0LFFnnT1T2x0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n28102,xxLuuTYSFTYSFxx00xxuuYSYSFnxxLxLuuYSYSFnx0,.xxLuFuFnYSnYS0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n29注意：在例5，6中，如果端面自由，则课外思考：长为L的均匀杆，一端固定在车壁上，另一端自由。车子以速度v行驶突然停止，写出边界条件。00,0.xxLuunn00,0xxxLuu0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n302、初始条件初始条件是系统在t=0时的状态。初始条件的个数等于微分方程的阶数。例1、一根长为L，两端固定的弦，用手把它的中点横向拉开距离h，然后松手让其自由振动。写出其初始条件。0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n3100ttu0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n32例8、一根长为L，线密度为ρ，两端固定的弦，在中点受到冲量I的作用开始振动。写出其初始条件。分析：泛定方程是二阶偏微分方程，因此需要两个初始条件。解：作用瞬间，弦上点未离开平衡位置，所以：00tu0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n33弦的中点邻域(L/2-ε,L/2-ε)受到冲量I的作用，由动量定理：2tuI所以得到邻域内有：02ttIu邻域外有：00ttu0.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n341、有无边界条件的定解问题吗？如何理解？2、有无初始条件的定解问题吗？如何理解？习题2.1（P.22）1，2,3,50.810.60.40.20xt00.511.5210.500.51n35ThankYou!